第六章 多元函數(shù)微分學(xué) 知識(shí)點(diǎn)

1、第六章第六章 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 知知 識(shí)識(shí) 點(diǎn)點(diǎn)一：多元函數(shù)的極限、連續(xù)一：多元函數(shù)的極限、連續(xù) 極限存在： Ayxfyxyx),(lim),(),(00函數(shù)連續(xù)： ),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx計(jì)算上可以使用一元函數(shù)求極限的方法：例如：換元，重要極限，等價(jià)無窮小等等。例例4 4 證明：證明： 證證362( , )(0,0)limx yx yxy 極極限限不不存存在在。取取,3kxy 263)0,0(),(limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在例例5 5

2、 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)例例6 6.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 二、偏導(dǎo)數(shù)二、偏導(dǎo)數(shù)),(yxfz 定義定義Axyxfyxxfxzxyyxx),(),(lim|0000000 Byyxfyyxfyzxyyxx),(),(lim|0000

3、000計(jì)算：計(jì)算： A)對對x求偏導(dǎo)，求偏導(dǎo)，y 看作常數(shù)看作常數(shù) B)在分段函數(shù)的分界點(diǎn)，不連續(xù)點(diǎn)在分段函數(shù)的分界點(diǎn)，不連續(xù)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)用定義求。的偏導(dǎo)數(shù)用定義求。22xz yxz2 C)高階偏導(dǎo)數(shù)（純偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)（純偏導(dǎo)數(shù)，混合偏導(dǎo)數(shù)，混合偏導(dǎo)數(shù)例P69 2、3222222ln 1.,.yuuuuxzxy xz y 例例9 9設(shè)設(shè)求求),(yxfz ),(00yx三、全微分三、全微分在 可全微分； 注：可全微分、可偏導(dǎo)、連續(xù)的關(guān)系1)定義： )(oyBxAz22yx0000|,|yyxxyyxxyzBxzA 多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)

4、連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo) 2)計(jì)算 dyyzdxxzdzyyxxyyxx0000|221.( , ),)() ,zf x yxy 若若可可微微 且且則則002.( , )(,)zf x yxy 函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù)和和存存在在偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是00(,)xy它它在在處處可可微微的的 條條件件. .0lim.zdz 3.( , )( , ),( , )xyf x yfx yfx y函函數(shù)數(shù)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)是是函函數(shù)數(shù)( , ).f x y 可可微微的的條條件件0必必要要充充分分21sin()03.( , ),(0,1).00 xx yxyxyf x yfxy

5、 設(shè)設(shè)求求0(0,1)(0,1)(0,1)limxxfxffx 解解 201sin()limxxxx 220sin()lim1.()xxx 例1 1） 222222,),2 ,(yzxzdzxyyxfz求2） 22),(xzyxxfz 3） yxzyxfu222),(四：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)四：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)(鏈?zhǔn)角髮?dǎo)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)) 4） ;,),(2yxuxeuyxufzy 5） 222,),(),(yzyxzxyfyxxyfz五、五、隱函數(shù)求導(dǎo)：隱函數(shù)求導(dǎo)：1、兩邊同時(shí)對、兩邊同時(shí)對x 求導(dǎo)，注：隱含求導(dǎo)，注：隱含y=f(x) （可適用于任意階數(shù)）（可適用于任意階數(shù)）2、隱函數(shù)求導(dǎo)公式（僅適用于一階

6、）、隱函數(shù)求導(dǎo)公式（僅適用于一階）令令則則,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 222(1)()()(1)()d yyxyxyydxxy 2232()()xyxy 例221),.2)ln,3) (,)0( , ),.zzzxyzexx yxzdzzyF xy yz zxzz x yzzdzxy 求求確定求， 及六：方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度0000(,)(,)(,)lxyxyfffelxy.),(kzfjyfixfzyxgradf2）梯度jyfixf ),(yxgradf2),(1,1)_xgra

7、dfy函數(shù)f(x,y)=arctan解解故故x軸到方向軸到方向l的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角4 .; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所求方向?qū)?shù)所求方向?qū)?shù))22(2221 lz.22 這這里里方方向向l即即為為1, 1 PQ,22(,)22PQe 21.3(1,2)zxxyMx函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處沿沿 軸軸正正向向的的方方向向?qū)?dǎo).Mzx 數(shù)數(shù)2.(5,1,2)(5,1,2)(9,4,14)uxyz 函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處沿沿從從點(diǎn)點(diǎn)到到點(diǎn)點(diǎn).的的方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)為為3. ( , , )arctan,grad(1,1,1).xf x y zzf

8、y則則8981311( ,)22 4 七七.多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用1）空間曲線的切線與法平面）空間曲線的切線與法平面2）曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線A)設(shè)空間曲線的方程設(shè)空間曲線的方程)()()(tztytx一、空間曲線的切線與法平面在點(diǎn) )(),(),(000tttT 000(,)xyz在000(,)M xyz切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量. 曲線在曲線在M處的切線方程處的切線方程.)()()(000000tzztyytxx 法平面：過法平面：過M點(diǎn)且與切線垂直的法平面點(diǎn)且與切線垂直的法平面.0)()()(000000

9、zztyytxxt 解解當(dāng)當(dāng)0 t時(shí)，時(shí)，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切線方程切線方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即1.空間曲線方程為空間曲線方程為,)()( xzxy ,),(000處處在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程為法平面方程為切線方程為切線方程為特殊地：特殊地：2.空間曲線方程為空間曲線方程為,0),(0),( zyxGzyxF切線方程為切線

10、方程為,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法平面方程為法平面方程為000000()()()0.yzxyzxzxyzxyFFFFFFxxyyzzGGGGGGzyxzyxGGGFFFkjiT 注：切向量注：切向量解解 1 1 直直接接利利用用公公式式;解解 2 2 將所給方程的兩邊對將所給方程的兩邊對x求導(dǎo)并移項(xiàng)，得求導(dǎo)并移項(xiàng)，得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz 225.(1,1,2)0zxyMxyz 曲曲線線上上點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線方方程程是是.法法平平面面方方程程為為.112110 xyz 0 xy設(shè)曲面方

11、程為設(shè)曲面方程為0),( zyxF二、曲面的切平面與法線nTM),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 切平面的法向量：切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法線方程為法線方程為),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 特殊地：特殊地：1.空間曲面方程形為空間曲面方程形為),(yxfz 曲面在曲面在M處的切平面方程為處的切平面方程為,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M處的法線方程為處的法線方程為.1),(

12、),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令(, 1)xynff解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法線方程法線方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx7.(2,1,2)zxyM 曲曲面面上上點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切平平面面方方程程是是;.法法線線方方程程為為212121xyz 220 xyz 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域

13、內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于有定義，對于該鄰域內(nèi)異于),(00yx的點(diǎn)的點(diǎn)),(yx：若滿足不等式若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)在在),(00yx有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)在，則稱函數(shù)在),(00yx有極有極小值；小值；1)1)二元函數(shù)極值的定義二元函數(shù)極值的定義極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. .使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). .八、多元函數(shù)的極值、最值八、多元函數(shù)的極值、最值2)駐點(diǎn)：000000(,)0,(,)0,(,)xyfxyfxyxy則為駐點(diǎn)極值點(diǎn)駐點(diǎn),駐點(diǎn)極值點(diǎn)(錯(cuò))駐點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)注意：注意：求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn)求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn).第二步第二步 對于每一個(gè)駐點(diǎn)對于每一個(gè)駐點(diǎn)),(0