一、隨機(jī)變量方差的定義及性質(zhì)

1、一、隨機(jī)變量方差的定義及性質(zhì)一、隨機(jī)變量方差的定義及性質(zhì)三、例題講解三、例題講解二、常見概率分布的方差二、常見概率分布的方差四、矩的概念四、矩的概念第第3.23.2節(jié)節(jié) 隨機(jī)變量的方差和矩隨機(jī)變量的方差和矩五、小結(jié)五、小結(jié)).(,)(.)()()(),()(,)(,)(,XXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX記為記為為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差稱稱即即或或記為記為的方差的方差為為則稱則稱存在存在若若是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量設(shè)設(shè)22222 1. 方差的定義方差的定義 (定義定義3.3)一、隨機(jī)變量方差的定義及性質(zhì)一、隨機(jī)變量方差的定義及性質(zhì)方差描述了隨機(jī)變量方差描述了隨機(jī)變量X取

2、值對(duì)于取值對(duì)于數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)期望期望的分散程度的分散程度.如果如果D(X)值大值大, 表示表示X 取取值分散程度大值分散程度大, E(X)的代表性差的代表性差;而如果而如果D(X) 值小值小, 則表示則表示X 的取值比較集中的取值比較集中,以以E(X)作為隨機(jī)變量的代表性好作為隨機(jī)變量的代表性好.2. 方差的意義方差的意義離散型隨機(jī)變量的方差離散型隨機(jī)變量的方差 ,)()(12kkkpXExXD 連續(xù)型隨機(jī)變量的方差連續(xù)型隨機(jī)變量的方差,d)()()(2xxpXExXD 3. 隨機(jī)變量方差的計(jì)算隨機(jī)變量方差的計(jì)算 (1) 利用定義計(jì)算利用定義計(jì)算 .)(的概率密度的概率密度為為其中其中Xxp., 2

3、 , 1,的的分分布布律律是是其其中中XkpxXPkk .)()()(22XEXEXD 證明證明)()(2XEXEXD )()(222XEXXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE 22)()(XEXE (2) 利用公式計(jì)算利用公式計(jì)算).()(22XEXE 證明證明22)()()(CECECD 4. 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)(1) 設(shè)設(shè) C 是常數(shù)是常數(shù), 則有則有. 0)( CD22CC . 0 (2) 設(shè)設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量, C 是常數(shù)是常數(shù), 則有則有).()(2XDCCXD 證明證明)(CXD)(22XEXEC ).(2XDC )(2CXECXE ).()()(

4、YDXDYXD (3) 設(shè)設(shè) X, Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, D(X), D(Y) 存在存在, 則則證明證明)()()(2YXEYXEYXD 2)()(YEYXEXE )()(2)()(22YEYXEXEYEYEXEXE ).()(YDXD 推廣推廣).()()()(22221212211nnnnXDaXDaXDaXaXaXaD 則有則有相互獨(dú)立相互獨(dú)立若若,21nXXX即即取常數(shù)取常數(shù)以概率以概率的充要條件是的充要條件是,CX)X(D)(104 . 1 CXP25)()(),()(CXEXDXEC 則則若若(6)契比雪夫不等式契比雪夫不等式證明證明.,)(,)(222成成立立不不等等式式則則對(duì)

5、對(duì)于于任任意意正正數(shù)數(shù)方方差差具具有有數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量定定理理XPXDXEX 對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來證明對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來證明.則有則有的概率密度為的概率密度為設(shè)設(shè)),(xpX 契比雪夫不等式契比雪夫不等式契比雪夫契比雪夫.22XP xxpxd)()(221.122 xxpxxd)( 2222XP .122XP 得得XP xxxpd)(1. 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布 qpXE 01)(Xp01pp 1已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量 X 的分布律為的分布律為則有則有, p 22)()()(XEXEXD 222101p)p(p ppq 二、常見概率分布的方差二、常見概率分布的方差2.

6、 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 ), 2 , 1 , 0( ,)1(nkppknkXPknk . 10 p則有則有 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 n, p 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布,其分布律為其分布律為npppknkEXknknk )1(0)1()(2XXXEXE )()1(XEXXE npppCkkknknkkn )1()1(0npppknknkkknknk )1()!( !)1(0nppppnnn 22)1()1(.)(22nppnn 22)()()(XEXEXD 222)()(npnppnn ).1(pnp npppkknnpnnknknk )2()2(222)1()!2()!()!2()

7、1()1(pnp 3. 泊松分布泊松分布 . 0, 2 , 1 , 0,! kekkXPk則有則有 0!)(kkekkXE 11)!1(kkke ee . 且且分分布布律律為為設(shè)設(shè)),(PX )1()(2XXXEXE )()1(XEXXE 0!)1(kkekkk 222)!2(kkke ee2.2 所以所以22)()()(XEXEXD 22 . . 都等于參數(shù)都等于參數(shù)泊松分布的期望和方差泊松分布的期望和方差 4. 均勻分布均勻分布則有則有xxxpXEd)()( baxxabd1).(21ba ., 0,1)(其它其它bxaabxp其概率密度為其概率密度為設(shè)設(shè)),(baUX).(21ba 結(jié)論

8、結(jié)論 均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn)均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn).22)()()(XEXEXD 222d1 baxabxba.12)(2ab 12)(2ab 5. 指數(shù)分布指數(shù)分布 . 0. 0, 0, 0,)(, 其中其中其概率密度為其概率密度為服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量xxexpXx則有則有xxxpXEd)()( xexxd0 ./1 22)()()(XEXEXD 202/1d xexx22/1/2 ./1/12 和和分分別別為為指指數(shù)數(shù)分分布布的的期期望望和和方方差差21 6. 正態(tài)分布正態(tài)分布其概率密度為其概率密度為設(shè)設(shè)),(2NX則有則有xxxfXEd)()(

9、 xexxd21222)( tx 令令, tx ., 0,21)(222)( xexfx. ttetettd2d212222 xexXExd21)(222)( 所所以以tettd)(2122 xexxd21)(222)(2 xxfxXDd)()()(2 得得令令, tx tetXDtd2)(2222 tetettd222222 2202.2 .2 和和分別為兩個(gè)參數(shù)分別為兩個(gè)參數(shù)正態(tài)分布的期望和方差正態(tài)分布的期望和方差2分布名稱分布名稱參數(shù)參數(shù)數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望方差方差兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布泊松分布泊松分布均勻分布均勻分布指數(shù)分布指數(shù)分布正態(tài)分布正態(tài)分布幾何分布幾何分布10 pp)1(

10、pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba 2ba 12)(2ab 0 /12/1 0, 210 pp/12/ )1 (pp分布分布參數(shù)參數(shù)數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望方差方差Gamma分布分布0, /2/ ).(.,)(XDxxxxxpX求求其它其它具有概率密度具有概率密度設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 0101011解解 1001d)1(d)1()(xxxxxxXE, 0 三、例題講解三、例題講解例例1 1020122d)1(d)1()(xxxxxxXE,61 于是于是22)()()(XEXEXD 2061 .61 例例3.15 在每次試驗(yàn)中在每次試驗(yàn)中,事件事件A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為0.5.(1)利

11、用切比謝夫不等式估計(jì)在利用切比謝夫不等式估計(jì)在1000次獨(dú)立試驗(yàn)中次獨(dú)立試驗(yàn)中,事件事件A發(fā)生的次數(shù)在發(fā)生的次數(shù)在400 500之間的概率之間的概率;(2)要使要使A出現(xiàn)的頻率在出現(xiàn)的頻率在0.35 0.65之間的概率不小之間的概率不小于于0.95,至少需要多少次重復(fù)試驗(yàn)至少需要多少次重復(fù)試驗(yàn)?解解: 設(shè)設(shè)X表示表示1000次獨(dú)立試驗(yàn)中事件次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù), 則則 X B(1000,0.5), E(X)=1000 0.5=500, 975. 01002501100)(1100| )(|50060050050040060040022 XDXEXPXPXPD(X)=1000

12、0.5 0.5=250, 于是由切比謝夫于是由切比謝夫不等式得不等式得(2)設(shè)需要做設(shè)需要做n次獨(dú)立試驗(yàn)次獨(dú)立試驗(yàn),則則X B(n,0.5),求求n使得使得成立成立,由切比謝夫不等式得由切比謝夫不等式得故至少需要做故至少需要做223次獨(dú)立試驗(yàn)次獨(dú)立試驗(yàn). 95. 015. 05 . 05 . 065. 05 . 05 . 035. 065. 035. 0 nnXPnnnXnnPnXP 2 .222,95. 09 . 011)15. 0(25. 01)15. 0(115. 05 . 022 nnnnnDXnnXP只只要要)(., 2 , 1),(,kkkXEkkXkXEX 記記為為簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱的的稱

13、稱它它為為存存在在若若是是隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè)階階矩矩階階原原點(diǎn)點(diǎn)矩矩kkkXEXEkXkXEXE)(., 3 , 2 , 1,)( 記為記為的的稱它為稱它為存在存在若若階中心矩階中心矩四、矩的概念四、矩的概念定義定義3.4定義定義3.5.)(1,1的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望就就是是時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)顯顯然然XXEk ).(2XD 顯顯然然2. 說明說明 ;,)()(方方差差為為二二階階中中心心矩矩點(diǎn)點(diǎn)矩矩的的一一階階原原是是的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望隨隨機(jī)機(jī)變變量量XXEX2.; )(表表示示階階中中心心矩矩可可以以互互相相唯唯一一階階原原點(diǎn)點(diǎn)矩矩和和變變量量函函數(shù)數(shù)的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望以以上上數(shù)數(shù)字字特特征征都

14、都是是隨隨機(jī)機(jī)kk1.4,)3(階的矩很少使用階的矩很少使用高于高于在實(shí)際應(yīng)用中在實(shí)際應(yīng)用中.)(3機(jī)機(jī)變變量量的的分分布布是是否否有有偏偏主主要要用用來來衡衡量量隨隨三三階階中中心心矩矩XEXE . )( 4近近的的陡陡峭峭程程度度如如何何機(jī)機(jī)變變量量的的分分布布在在均均值值附附主主要要用用來來衡衡量量隨隨四四階階中中心心矩矩XEXE 五、小結(jié)五、小結(jié)1. 方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量X 取值分散程取值分散程度的量度的量. 如果如果D(X)值大值大,表示表示X 取值分散程度大取值分散程度大, E(X) 的代表性差的代表性差; 而如果而如果D(X)值小值小, 則表示

15、則表示X 的的取值比較集中取值比較集中, 以以E(X) 作為隨機(jī)變量的代表性好作為隨機(jī)變量的代表性好.,)()()(22XEXEXD 2. 方差的計(jì)算公式方差的計(jì)算公式,)()(12kkkpXExXD .d)()()(xxpXExXD 23. 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) ).()()(YX,3);()(2; 0)(10200YDXDYXDXDCCXDCD獨(dú)立時(shí)，獨(dú)立時(shí)，當(dāng)當(dāng)22XP .122XP 4. 契比雪夫不等契比雪夫不等式式.變變量量的的數(shù)數(shù)字字特特征征矩矩是是隨隨機(jī)機(jī)5.;)(方方差差為為二二階階中中心心矩矩的的一一階階原原點(diǎn)點(diǎn)矩矩是是的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望隨隨機(jī)機(jī)變變量量XXEXPafnut

16、y ChebyshevBorn: 16 May 1821 in Okatovo, RussiaDied: 8 Dec 1894 in St Petersburg, Russia契比雪夫資料契比雪夫資料)44(2 XXE44)(2 EXEXDX434352 .30 .30)2(2 XE所所以以解解)44()2(22 XXEXE4)(4)(2 XEXE.)2(, 5)(, 3)(2 XEXDXE求求已已知知例例1備份題備份題.)(;,)(:,)(.,)(的數(shù)學(xué)期望與方差的數(shù)學(xué)期望與方差隨機(jī)變量隨機(jī)變量的值的值求求且已知且已知其它其它的概率密度為的概率密度為設(shè)隨機(jī)量設(shè)隨機(jī)量XeYcbaXPXExbc

17、xxaxxpX 213431304220 解解,d)()(11 xxp因?yàn)橐驗(yàn)槔?xbcxxxaxxXEd)(d)(4220 , 2)( XE, 2 bca 35638,4331 XP,432523d)(d2132 bcaxbcxxax,262bca 2042dd1xbcxxax所以所以, 1 b,41 a解之得解之得.41 c .432523, 235638, 1622cbabcacba因此有因此有,)1(16124 e22)()()(XXXEeeEeD 得得22224)1(41)1(161 ee.)1(41222 eexxexxeeExxXd)141(d41)()2(4220 ,)1(4

18、122 exxexxeeExxXd)141(d41)(4222022 證明證明, 1 n.)(,., !)(1120000 nnnXPnxxnexxpXxn試證試證為正整數(shù)為正整數(shù)其中其中的分布密度為的分布密度為設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量xxpxXEd)()( 22xexxnxnd!102 例例3xexxnxxxpXExnd!d)()( 01因?yàn)橐驗(yàn)?) 1() 1)(2( nnn1) 1() 1( nnXnP1)1( nnXPxexxnxnd!102 ),1)(2( nn. 1 n22)()()(EXXEXD 所以所以)1(20 nXP又又因因?yàn)闉?)1(11 nn.1 nn.1)1(20 nnnXP)1()(1 nXEXP2)1()(1 nXD1)( nXEXP故得故得.,.,),04. 0,50.22(),03. 0 ,40.22()cm(22的概率的概率求活塞能裝入氣缸求活塞能裝入氣缸任取一只氣缸任取一只氣缸任取一只活塞任取一只活塞相互獨(dú)立相互獨(dú)立氣缸的直徑氣缸的直徑計(jì)計(jì)以以設(shè)活塞的直徑設(shè)活塞的直徑Y(jié)XNYNX解解),04. 0,50.22(),03. 0 ,40.22(22NYN