方差分析(包括三因素)

1、1方差分析方差分析2如某種農(nóng)作物的收獲量受作物品種、如某種農(nóng)作物的收獲量受作物品種、肥料種類及數(shù)量等的影響；選擇不同肥料種類及數(shù)量等的影響；選擇不同的品種、的品種、肥料種類及數(shù)量進(jìn)行試驗(yàn)，肥料種類及數(shù)量進(jìn)行試驗(yàn)，日常生活中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，影日常生活中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，影響一個(gè)事物的因素很多，響一個(gè)事物的因素很多，希望找到影響最顯著的因希望找到影響最顯著的因素素3看哪一個(gè)影響大？并需要知道看哪一個(gè)影響大？并需要知道起顯著作用的因素在什么時(shí)候起顯著作用的因素在什么時(shí)候起最好的影響作用。起最好的影響作用。方差分析就是解決這方差分析就是解決這些問題的些問題的一種有效方法。一種有效方法。4因素（因子） 可以控制的試驗(yàn)

2、條件因素的水平 因素所處的狀態(tài)或等級(jí)單（雙）因素方差分析討論一個(gè)（兩個(gè)）因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有沒有顯著影響。第一節(jié)第一節(jié) 概述概述5例如：某廠對(duì)某種晴棉漂白工藝中酸液濃度（例如：某廠對(duì)某種晴棉漂白工藝中酸液濃度（g/kg/k）進(jìn)）進(jìn)行試驗(yàn)，以觀察酸液濃度對(duì)汗布沖擊強(qiáng)力有無顯著影行試驗(yàn)，以觀察酸液濃度對(duì)汗布沖擊強(qiáng)力有無顯著影響。響。序號(hào)序號(hào)沖擊強(qiáng)力沖擊強(qiáng)力濃度濃度1 2 3 4 5 6A1 16.2 15.1 15.8 14.8 17.1 15.0 A2 16.8 17.5 17.1 15.9 18.4 17.7A3 19.0 20.1 18.9 18.2 20.5 19.7方差分析就是把總的方差分析

3、就是把總的試驗(yàn)數(shù)據(jù)的波動(dòng)分成試驗(yàn)數(shù)據(jù)的波動(dòng)分成1、反映、反映因素水平因素水平改變引起的波動(dòng)。改變引起的波動(dòng)。2、反映、反映隨機(jī)因素隨機(jī)因素所引起的波動(dòng)。所引起的波動(dòng)。然后加以比較進(jìn)行統(tǒng)然后加以比較進(jìn)行統(tǒng)計(jì)判斷，得出結(jié)論。計(jì)判斷，得出結(jié)論。6方差分析的基本思想：把全部數(shù)據(jù)關(guān)于總均值的離差平方和方差分析的基本思想：把全部數(shù)據(jù)關(guān)于總均值的離差平方和分解成幾部分，每一部分表示某因素諸水平交互作用所產(chǎn)生分解成幾部分，每一部分表示某因素諸水平交互作用所產(chǎn)生的效應(yīng)，將各部分均方與誤差均方相比較，從而確認(rèn)或否認(rèn)的效應(yīng)，將各部分均方與誤差均方相比較，從而確認(rèn)或否認(rèn)某些因素或交互作用的重要性。某些因素或交互作用的

4、重要性。 用公式概括為：用公式概括為： 總變異總變異= =組間變異組間變異+ +組內(nèi)變異組內(nèi)變異各因素引起由個(gè)體差異引起（誤差）種類：種類：常用方差分析法有以下常用方差分析法有以下4 4種種1 1、完全隨機(jī)設(shè)計(jì)資料的方差分析（單因素方差分析）、完全隨機(jī)設(shè)計(jì)資料的方差分析（單因素方差分析）2 2、隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)資料的方差分析（二因素方差分析）、隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)資料的方差分析（二因素方差分析）3 3、拉丁方設(shè)計(jì)資料的方差分析（三因素方差分析）、拉丁方設(shè)計(jì)資料的方差分析（三因素方差分析）4 4、R R* *C C析因設(shè)計(jì)資料的方差分析（有交互因素方差分析）析因設(shè)計(jì)資料的方差分析（有交互因素方差分析）7第二

5、節(jié)第二節(jié) 單因素方差分析單因素方差分析一、假設(shè)檢驗(yàn)一、假設(shè)檢驗(yàn) 設(shè)：設(shè)：A1A1、A2A2、A3A3、為三個(gè)總體、為三個(gè)總體X1X1、X2X2、X3X3，每個(gè)總體有，每個(gè)總體有6 6個(gè)樣個(gè)樣本本Xi1Xi1、Xi2Xi2、Xi6 ( i=1,2,3 )Xi6 ( i=1,2,3 )。注：要判斷酸液濃度的注：要判斷酸液濃度的3 3種水平對(duì)汗布的沖擊強(qiáng)力是否有顯著影響，實(shí)種水平對(duì)汗布的沖擊強(qiáng)力是否有顯著影響，實(shí)質(zhì)上就是檢驗(yàn)質(zhì)上就是檢驗(yàn)3 3種不同水平所對(duì)應(yīng)的種不同水平所對(duì)應(yīng)的3 3個(gè)總體是否有顯著差異的問題。即個(gè)總體是否有顯著差異的問題。即檢驗(yàn)檢驗(yàn)3 3個(gè)總體數(shù)學(xué)期望是否相等。個(gè)總體數(shù)學(xué)期望是否相

6、等。以后就是求解問題，為了說明一般解的公式（方法），如下作一般分析。以后就是求解問題，為了說明一般解的公式（方法），如下作一般分析。8一般形式：一般形式：序號(hào)序號(hào)結(jié)果結(jié)果水平水平1 2 nA1 X11 X12 X1n A2 X21 X22 X2nA3 Xm1 Xm2 Xmn。假定：數(shù)據(jù)滿足正態(tài)性、獨(dú)立性、方差齊性。假定：數(shù)據(jù)滿足正態(tài)性、獨(dú)立性、方差齊性。 （進(jìn)行方差分析的條件）（進(jìn)行方差分析的條件） 要檢驗(yàn)因素要檢驗(yàn)因素A對(duì)指標(biāo)是否顯著影響，就是檢驗(yàn)假設(shè)：對(duì)指標(biāo)是否顯著影響，就是檢驗(yàn)假設(shè)： H0： 1= 2= m 接受接受H0：即認(rèn)為來自同一總體，差異由隨機(jī)因素所造成。：即認(rèn)為來自同一總體，差

7、異由隨機(jī)因素所造成。 若拒絕若拒絕H0：表明它們之間差異顯著，差異有因素水平的改變所引起。：表明它們之間差異顯著，差異有因素水平的改變所引起。做法：為了檢驗(yàn)假設(shè)做法：為了檢驗(yàn)假設(shè)H0，要從總的誤差中將系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差分開。，要從總的誤差中將系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差分開。9二、離差平方和的分解與顯著檢驗(yàn)二、離差平方和的分解與顯著檢驗(yàn) 記：記：njijiXnX11 minjijXmnX111minjXXijQ112)(將將Q進(jìn)行分解：進(jìn)行分解： minjiiijXXXXQ112)()(minjiiijminjminjiiijXXXXXXXX11111122)(2)()(由于由于 minjiiijXXX

8、X11)(0)()()(111miiiiminjiijiXnXnXXXXXX10故：故： minjminjiiijXXXXQ111122)()( minjmiiiijXXnXX11122)()(下面通過比較下面通過比較QE和和QA來檢驗(yàn)假設(shè)來檢驗(yàn)假設(shè)H0。在假設(shè)在假設(shè)H0成立的條件下，可以證明：成立的條件下，可以證明：)1(22mnQ)1(22nmQE) 1(22mQA相互獨(dú)立相互獨(dú)立11方法：（檢驗(yàn)方法）方法：（檢驗(yàn)方法）（1）當(dāng)）當(dāng)H0： 1= 2= m 成立時(shí)。成立時(shí)。（2）統(tǒng)計(jì)量：）統(tǒng)計(jì)量：)1(,1()1()1(22nmmFnmQmQFEA)1(,1()1()1(nmmFnmQmQF

9、EA即：即：12（3）給定顯著性水平給定顯著性水平 ，查表得臨界值，查表得臨界值（4）由樣本觀察值計(jì)算出）由樣本觀察值計(jì)算出F（5）若）若F ，則拒絕，則拒絕H0。 （說明因素（說明因素A各水平間有顯著性差異）各水平間有顯著性差異）（6）若）若F ，則接受，則接受H0。（說明因素。（說明因素A各水平間無顯著性差異）各水平間無顯著性差異）)1(, 1(nmmF)1(, 1(nmmF)1(, 1(nmmF三、計(jì)算的簡化三、計(jì)算的簡化1、 對(duì)對(duì)Q、QE、QA計(jì)算簡化。（給出一個(gè)簡化的計(jì)算公式和數(shù)據(jù)簡化的方法）計(jì)算簡化。（給出一個(gè)簡化的計(jì)算公式和數(shù)據(jù)簡化的方法） 令：令：njijiXT1minjmii

10、ijTXT111 minjminjijijijXXXXXXQ1111222)2()(minjminjminjijijijXmnXXmnX1111112222)(1minjijmnTX112213同樣可推出：同樣可推出：minjmiiijETnXQ111221mnTTnQmiiA21212、數(shù)據(jù)的簡化：數(shù)據(jù)的簡化： 試驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)過變換試驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)過變換 )(aXbXijij數(shù)據(jù)簡化后對(duì)數(shù)據(jù)簡化后對(duì)F值的計(jì)算沒有影響，不會(huì)影響檢驗(yàn)的結(jié)果值的計(jì)算沒有影響，不會(huì)影響檢驗(yàn)的結(jié)果四、方差分析表四、方差分析表方差來源方差來源 離差平方和離差平方和 自由度自由度 F值值 F0.05 F0.01 顯著性顯著性因素因

11、素A QA m-1 )1()1(nmQmQFEA試驗(yàn)誤差試驗(yàn)誤差 QE m(n-1)總誤差總誤差 Q mn-114例：前例題例：前例題 1、對(duì)數(shù)據(jù)的簡化、對(duì)數(shù)據(jù)的簡化 )17(10ijijXX得下表：得下表：序號(hào)序號(hào)沖擊強(qiáng)力沖擊強(qiáng)力濃度濃度1 2 3 4 5 6 A1 -8 -19 -12 -22 1 -20 -80 1454 A2 -2 5 1 -11 14 7 14 396A3 20 31 19 12 35 27 144 3820iT612 jiX)17(10ijijXX由表中數(shù)據(jù)可算出由表中數(shù)據(jù)可算出31612 5670ijijX78316131ijiiijTXT27332312iiT1

12、5計(jì)算計(jì)算7 .1114273326156706131231612 iiijijETXQ3 .4217186084273326163612312TTQiiA53323 .42177 .1114AEQQQ計(jì)算出計(jì)算出F值：值：38.2857.111423.4217)16(3()13(EAQQ16方差來源方差來源 離差平方和離差平方和 自由度自由度 F值值 F0.05 F0.01 顯著性顯著性因素因素A 4217.3 2 28.38 3.68 6.38 *(十分顯著）十分顯著） 試驗(yàn)誤差試驗(yàn)誤差 1114.7 15總誤差總誤差 5332 17列表：列表：說明：說明： ，說明酸液濃度對(duì)汗布沖擊強(qiáng)力有

13、十分顯著的影響。，說明酸液濃度對(duì)汗布沖擊強(qiáng)力有十分顯著的影響。)15, 2(FF 17五、各水平下試驗(yàn)次數(shù)不等時(shí)的方差分析五、各水平下試驗(yàn)次數(shù)不等時(shí)的方差分析設(shè)第設(shè)第 i個(gè)水平試驗(yàn)次數(shù)為個(gè)水平試驗(yàn)次數(shù)為ni, 則有則有 minjminjijijiinTXXXQ1111222)(minjminjmiiiijiijEiinTXXXQ11111222)(mimiiiiiAnTnTXXnQ11222)(miinn1injijiXT1miinjijXT11iiinTX nTX 自由度分別為自由度分別為f=n-1, fE=n-m, fA=m-1 . 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為式中：式中：), 1()() 1

14、(mnmFmnQmQFEA18第三節(jié)第三節(jié) 雙因素方差分析雙因素方差分析例如：某廠對(duì)生產(chǎn)的高速鋼銑刀進(jìn)行淬火工藝試驗(yàn)，考察回火溫度例如：某廠對(duì)生產(chǎn)的高速鋼銑刀進(jìn)行淬火工藝試驗(yàn)，考察回火溫度A和淬火溫度和淬火溫度B兩兩個(gè)因素對(duì)強(qiáng)度的影響。今對(duì)兩個(gè)因素各個(gè)因素對(duì)強(qiáng)度的影響。今對(duì)兩個(gè)因素各3個(gè)水平進(jìn)行試驗(yàn)，得平均硬度見表：個(gè)水平進(jìn)行試驗(yàn)，得平均硬度見表：BjAi試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)結(jié)果B1（1210C）B2（1235C）B3（1250C）A1（280C） 64 66 68 A2（300C） 66 68 67A3（320C） 65 67 68假設(shè)：美中不足組合水平下服從正態(tài)分布、互相獨(dú)立、方差相等。假設(shè)：美中

15、不足組合水平下服從正態(tài)分布、互相獨(dú)立、方差相等。所需要解決的問題是：所有所需要解決的問題是：所有Xij的均值是否相等。的均值是否相等。19假設(shè)檢驗(yàn)：假設(shè)檢驗(yàn)：1）在假設(shè)）在假設(shè)H0成立的條件下。成立的條件下。2）統(tǒng)計(jì)量）統(tǒng)計(jì)量)1)(1( , 1()1)(1()1(lmmFlmQmQFEAA)1)(1( , 1()1)(1()1(lmlFlmQlQFEBB3）給定顯著水平 ，查表得臨界值)1)(1( , 1(lmmF4）由樣本觀察值計(jì)算）由樣本觀察值計(jì)算FA、FB5）若）若 時(shí)，接受時(shí)，接受H0，因素的影響不顯著。，因素的影響不顯著。 若若 時(shí)，拒絕時(shí)，拒絕H0。 對(duì)因素對(duì)因素B同理說明。同理

16、說明。 )1)(1(, 1(lmFFA)1)(1(, 1(lmFFA miljijmlTXQ1122miiAmlTTlQ122.1ljjBmlTTmQ122.1BAEQQQQ20方差分析表：方差分析表：方差來源方差來源 離差平方和離差平方和 自由度自由度 F值值 F0.05(2,4) F0.01(2,4) 顯著性顯著性因素因素A 1.56 2 FA=1.01 6.94 18.0因素因素B 11.56 2 FB=7.46 6.94 18.0 *試驗(yàn)誤差試驗(yàn)誤差 3.1 4總誤差總誤差 16.22 8 31312222.1633ijijTXQ56.133313122.iiATTQ3122.56.1

17、13331jjBTTQ1 . 3BAEQQQQ)4,2(05.0FFAA影響不顯著。影響不顯著。)4 , 2()4 , 2(01. 005. 0FFFBB影響顯著，由于影響顯著，由于高速鋼洗刀的硬度越大越好，因此因素高速鋼洗刀的硬度越大越好，因此因素B可取可取B3水平，即淬火溫度水平，即淬火溫度1250C為好，因素為好，因素A水平的確定，應(yīng)考慮經(jīng)濟(jì)方便，取水平的確定，應(yīng)考慮經(jīng)濟(jì)方便，取A1水平為好。水平為好。21SASSAS系統(tǒng)中區(qū)分兩種情況：系統(tǒng)中區(qū)分兩種情況：1 1、每組觀測(cè)數(shù)據(jù)相等，可用、每組觀測(cè)數(shù)據(jù)相等，可用ANOVAANOVA過程處理過程處理以上四種情形的方差分析。以上四種情形的方差

18、分析。2 2、若每組觀測(cè)數(shù)據(jù)不相等，可用、若每組觀測(cè)數(shù)據(jù)不相等，可用GLMGLM過程處過程處理以上四種情形的方差分析。理以上四種情形的方差分析。22均衡數(shù)據(jù)的方差分析（均衡數(shù)據(jù)的方差分析（ANOVAANOVA過程）過程）過程說明：過程說明：1 1、PROC ANOVAPROC ANOVA；2 2、CLASS CLASS 變量表；變量表；3 3、MODEL MODEL 因變量表因變量表= =效應(yīng)；效應(yīng)；4 4、MEANS MEANS 效應(yīng)效應(yīng)/選擇項(xiàng)選擇項(xiàng) ；5 5、ALPHA=p ALPHA=p 顯著性水平（缺省值為顯著性水平（缺省值為0.050.05）CLASSCLASS和和MODELMOD

19、EL是必需的，是必需的，CLASSCLASS必須的必須的MODELMODEL之前。之前?？梢允菙?shù)值型和字符可以是數(shù)值型和字符型型是指因變量與自變量效應(yīng)，模型如下：是指因變量與自變量效應(yīng)，模型如下：1 1、主效應(yīng)模型、主效應(yīng)模型 MODEL y=a b c; (a b cMODEL y=a b c; (a b c是主效應(yīng)，是主效應(yīng)，y y是因變量）是因變量）2 2、交互模型、交互模型 MODEL y=a b c aMODEL y=a b c a* *b ab a* *c bc b* *c ac a* *b b* *c;c;3 3、嵌套效應(yīng)、嵌套效應(yīng) MODEL y=a b c(a b);MODE

20、L y=a b c(a b);4 4、混合效應(yīng)模型號(hào)、混合效應(yīng)模型號(hào) MODEL y=a b(a) c(a) bMODEL y=a b(a) c(a) b* *c(a);c(a);輸出因變量均數(shù)，對(duì)主效應(yīng)均數(shù)間的檢輸出因變量均數(shù)，對(duì)主效應(yīng)均數(shù)間的檢驗(yàn)。驗(yàn)。23例：例：1 1、單因素方差分析、單因素方差分析 某勞動(dòng)衛(wèi)生組織研究棉布、府綢、的確涼、尼龍四種衣料內(nèi)棉花吸附某勞動(dòng)衛(wèi)生組織研究棉布、府綢、的確涼、尼龍四種衣料內(nèi)棉花吸附十硼氫量。每種衣料做五次測(cè)量，所得數(shù)據(jù)如下。試檢驗(yàn)各種衣料見棉花十硼氫量。每種衣料做五次測(cè)量，所得數(shù)據(jù)如下。試檢驗(yàn)各種衣料見棉花吸附十硼氫量有沒有顯著差別？吸附十硼氫量有沒

21、有顯著差別？棉布棉布 府綢府綢 的確涼的確涼 尼龍尼龍 2.33 2.48 3.06 4.00 2.00 2.34 3.06 5.13 2.93 2.68 3.00 4.61 2.73 2.34 2.66 2.80 2.33 2.22 3.06 3.60 24單因素方差分析單因素方差分析SASSAS程序的輸入：程序的輸入：循環(huán)語句刪除變量CLASS和MODEL語句是必需的，CLASS必須出現(xiàn)在MODEL語句前。25組間占總的比例單因素方差分析單因素方差分析SASSAS程序輸出結(jié)果：程序輸出結(jié)果：結(jié)論：在CLASS語句中指出的P值。P0.003,可得出各衣料組間有非常顯著差異。262 2、兩因素

22、方差分析、兩因素方差分析例：用例：用4 4種不同方法治療種不同方法治療8 8名病者，其血漿凝固時(shí)間的資料如表，名病者，其血漿凝固時(shí)間的資料如表， 試分析影響血漿凝固的因素。試分析影響血漿凝固的因素。受試者編號(hào)（區(qū)組）受試者編號(hào)（區(qū)組）處理組處理組 1 2 3 41 8.4 9.4 9.8 12.22 12.8 15.2 12.9 14.43 9.6 9.1 11.2 9.84 9.8 8.8 9.9 12.05 8.4 8.2 8.5 8.56 8.6 9.9 9.8 10.97 8.9 9.0 9.2 10.48 7.9 8.1 8.2 10.027兩因素方差分析兩因素方差分析SASSAS程

23、序的輸入：程序的輸入：28兩因素方差分析兩因素方差分析SASSAS程序輸出結(jié)果：程序輸出結(jié)果：結(jié)論：總誤差：結(jié)論：總誤差：F=14.04，P0.0001，故總體有非常顯著差異。，故總體有非常顯著差異。 A因素：因素：F=6.62，P0.0025，故認(rèn)為因素，故認(rèn)為因素A（治療方法）對(duì)血漿凝固時(shí)間影響很大。（治療方法）對(duì)血漿凝固時(shí)間影響很大。 B因素：因素：F=17.2，P0.0001，故認(rèn)為因素，故認(rèn)為因素B（不同病者）對(duì)血漿凝固時(shí)間影響很大。（不同病者）對(duì)血漿凝固時(shí)間影響很大。293 3、三因素方差分析（交互作用不存在）、三因素方差分析（交互作用不存在）例：五種防護(hù)服，由五人各在不同的五天中

24、穿著測(cè)定脈搏數(shù)，如表。例：五種防護(hù)服，由五人各在不同的五天中穿著測(cè)定脈搏數(shù)，如表。 試比較五種防護(hù)服對(duì)脈搏數(shù)有無不同。試比較五種防護(hù)服對(duì)脈搏數(shù)有無不同。試驗(yàn)日期試驗(yàn)日期受試者受試者甲甲 乙乙 丙丙 丁丁 戊戊1 A129.8 B116.2 C114.8 D104.0 E100.62 B144.4 C119.2 D113.2 E132.8 A115.23 C143.0 D118.0 E115.8 A123.0 B103.84 D133.4 E110.8 A114.0 B 98.0 C110.65 E142.8 A110.6 B105.8 C120.0 D109.830三因素方差分析三因素方差分析

25、SASSAS程序的輸入：程序的輸入：31三因素方差分析三因素方差分析SASSAS程序輸出結(jié)果：程序輸出結(jié)果：結(jié)論：因F=6.80,P0.0011,故總體有非常顯著差異。其中K因素影響極大F=16.27,P0.001。因素P、C都無顯著差異。324 4、有交互因素的方差分析、有交互因素的方差分析 例：治療缺鐵性貧血病人例：治療缺鐵性貧血病人1212例，分為例，分為4 4組給予不同治療，一個(gè)月組給予不同治療，一個(gè)月后觀察紅細(xì)胞增加（百萬后觀察紅細(xì)胞增加（百萬/mm/mm），資料如表。試分析兩種藥物對(duì)），資料如表。試分析兩種藥物對(duì)紅細(xì)胞增加的影響。紅細(xì)胞增加的影響。甲藥（甲藥（A）不用（不用（A0）

26、 用（用（A1）乙藥（乙藥（B）不用不用B0用用 B10.8 0.9 0.7 1.3 1.2 1.10.9 1.1 1.0 2.1 2.2 2.033有交互因素方差分析有交互因素方差分析SASSAS程序的輸入：程序的輸入：34有交互因素方差分析有交互因素方差分析SASSAS程序輸出結(jié)果：程序輸出結(jié)果：結(jié)論：因F=98.75,P=0.00010.01,故總體有非常顯著的差異，因素A、B、A*B都對(duì)紅細(xì)胞增加數(shù)有非常大的影響。35非平衡數(shù)據(jù)的方差分析（非平衡數(shù)據(jù)的方差分析（GLMGLM過程）過程）在在SAS/STATSAS/STAT中中GLMGLM（General Linear Models)General Linear Models)過程分析功能最多。包括：過程分析功能最多。包括：1 1、簡單回歸（一元）、簡單回歸（一元）2 2、加權(quán)回歸、加權(quán)回歸3 3、多重回歸及多元回歸、多重回歸及多元回歸4 4、多項(xiàng)式回歸、多項(xiàng)式回歸5 5、方差分析（尤其不平衡分析）、方差分析（尤其不平衡分析）6 6、偏相關(guān)分析、偏相關(guān)分析7 7、協(xié)方差分析、協(xié)方差分析8 8、多元方差分析、多元方差分析9 9、反應(yīng)面模型分析、反應(yīng)面模型分析1010、重復(fù)測(cè)量方差分析、重復(fù)測(cè)量方差分析3