單調(diào)有界定理及其應(yīng)用

1、. . . . 資料 . .本科生畢業(yè)論文本科生畢業(yè)論文設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)題 目： 單調(diào)有界定理及其應(yīng)用 學(xué)生：學(xué) 號(hào)：專業(yè)班級(jí)：指導(dǎo)教師：完成時(shí)間：2021 年 5 月 10 日 目目 錄錄0 引言 31 單調(diào)有界定理的容及其證明 3 2 單調(diào)有界定理的應(yīng)用 4 2.1 定理在證明區(qū)間套定理中的應(yīng)用4 2.2 定理在證明柯西收斂準(zhǔn)則中的應(yīng)用5 2.3 定理在證明致密性定理中的應(yīng)用6 2.4 定理在證明有限覆蓋定理的應(yīng)用6 2.5 定理在證明級(jí)數(shù)的斂散性的應(yīng)用73 總結(jié)12參考文獻(xiàn)13 致13-. z【摘要】單調(diào)有界定理是極限理論中的一個(gè)重要定理，它在數(shù)學(xué)分析中應(yīng)用廣泛.本文淺淡單調(diào)有界定理在實(shí)數(shù)完備性

2、中的應(yīng)用，即運(yùn)用單調(diào)有界定理證明實(shí)數(shù)完備性的幾大定理.同時(shí)在數(shù)列的單調(diào)有界定理根底上，利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì)，論證了非正常積分和正項(xiàng)級(jí)數(shù)可以互為比擬對(duì)象，判斷對(duì)方的斂散性，并推廣應(yīng)用之.【關(guān)鍵詞】單調(diào)有界,連續(xù),收斂 ,可積.【Abstarct】【Abstarct】 Monotone bounded theorem is an important theorem in the theory of limit which has e*tensive applications in mathematical analysis. In this article, we study its a

3、pplications in the real number pleteness. For e*ample, we can make use of the theorem to prove some theorems about real number pleteness. Furthermore, on the base of monotone bounded theorem of series, we prove that non-regular integral and positive series can be denoted as parable object for each o

4、ther in order to justify the other convergence by the monotonicity and integral of non-negative functions.【Keywords】【Keywords】monotone bounded , continuous , convergence, integrable.0.引言在現(xiàn)行的?數(shù)學(xué)分析?教材中, 通常都把確界原理作為公理給出, 用來(lái)反映實(shí)數(shù)集的連續(xù)性(完備性).以此公理作為理論根底, 先證單調(diào)有界定理, 用以判別單調(diào)數(shù)列極限的存在性.至于判別更一般的數(shù)列極限是否存在, 就要引用柯西準(zhǔn)則, 但

5、柯西準(zhǔn)則的充分性證明, 卻要放到很后的位置, 作為較難的問(wèn)題專門(mén)處理, 與此相關(guān)的判別函數(shù)極限存在的柯西準(zhǔn)則, 以及在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)具有的各種性質(zhì)的證明, 也就建立在這樣一種不甚踏實(shí)的根底之上.因此，我們應(yīng)該用的技能是一個(gè)多元關(guān)系的觀點(diǎn)，自覺(jué)的開(kāi)發(fā)技能，引導(dǎo)師生開(kāi)發(fā)技能.1.單調(diào)有界定理的容及其證明所謂單調(diào)有界定理指的是，實(shí)數(shù)圍有界的單調(diào)數(shù)列必然存在極限，也就是說(shuō)當(dāng)實(shí)數(shù)數(shù)列單調(diào)上升或單調(diào)下降且有上界或下界時(shí)，該數(shù)列極限必存在.注：在本篇論文中以單調(diào)上升有上界的情況作為論述對(duì)象，單調(diào)下降有下界情況與此一樣現(xiàn)對(duì)單調(diào)有界定理進(jìn)展證明，證明如下：-. z不妨設(shè)為有上界的遞增數(shù)列，由確界原理，數(shù)列有

6、上界，記.nana supnaa=下面證明就是的極限.事實(shí)上，任給,按上確界的定理，存在數(shù)列中*ana0na一項(xiàng),使得.又由的遞增性，當(dāng)時(shí)有.NaNaananNNnaaa另一方面，由于是的一個(gè)上界，故對(duì)一切都有.所以當(dāng)anananaaa時(shí)有,這就證得.同理可證有下界的遞減數(shù)列必有極限，nNnaaalimnnaa且其極限即為它的下確界.通過(guò)以上對(duì)單調(diào)有界定理的證明，對(duì)單調(diào)有界定理有了一定的認(rèn)識(shí)與了解，單調(diào)有界定理在數(shù)學(xué)理論證明中應(yīng)用很廣,接下來(lái)我將應(yīng)用單調(diào)有界定理來(lái)證明區(qū)間套定理、柯西收斂準(zhǔn)則、致密性定理、有限覆蓋定理及數(shù)列的斂散性.2.單調(diào)有界定理的應(yīng)用2.1 以單調(diào)有界定理來(lái)證明區(qū)間套定理設(shè)

7、是一個(gè)區(qū)間套，根據(jù)區(qū)間套定理可知在實(shí)數(shù)系中存在唯一的一個(gè)點(diǎn)nna b，n=l,2,即：，n=l,2.這樣根據(jù)，n=l,2就可知nbnbnanbn=l,2.nanb下面證明的唯一性.設(shè)同樣滿足不等式，n=l,2,根據(jù)N時(shí)有.nmaa具體證明如下：必要性證明：當(dāng)有極限時(shí)設(shè)極限為a，0，NN 為正整數(shù).當(dāng)n，mN 時(shí)，|-nanaa|,|-a|，所以|-|-a|+|-a|時(shí)，有|-|時(shí)|+1，即0N0Nna01Na+0Nna01Na+有界.然后設(shè)ab，我們可用如下方法取得的一個(gè)單調(diào)子列，nananakna1取，這樣就使得a,或,b中都含有無(wú)窮多的的項(xiàng).knanaknaknana2在a,或,b的區(qū)間中

8、取且滿足條件1，并且讓.knakna1kna+na1kknn+ 3在取頂時(shí)要保持方向的一致性，即要么由，要么由，這時(shí)通過(guò)數(shù)列abba的性質(zhì)可知，以上三點(diǎn)可以做到，這樣取出的一個(gè)數(shù)列，且是一naknanakna個(gè)單調(diào)有界數(shù)列，由此可知該數(shù)列必存在極限，設(shè)該極限值為a.接下來(lái)要證明的是數(shù)列收斂于a.na由于，則對(duì)于任意給定的0，都存在正整數(shù)K，在當(dāng)kK 時(shí)存在|-limknnaaknaa|N 時(shí)|-|N 和k+lk，所以當(dāng)nN 時(shí)，|-a|-0n0n1kn +0nnana|+|-a|，由此可知收斂于a.通過(guò)必要性及充分性的證明可知數(shù)列0nna0nnanana收斂的充分必要條件為為柯西數(shù)列.na 這

9、個(gè)定理從理論上完全解決了數(shù)列極限的存在問(wèn)題.柯西準(zhǔn)則的條件稱為柯西條件，它反映這樣的事實(shí): 收斂數(shù)列各項(xiàng)的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值可小于預(yù)先給定的任意小正數(shù).或者形象地說(shuō)，收斂數(shù)列的各項(xiàng)越到后面越是“擠在一起.另外，柯西收斂準(zhǔn)則把定義中的與的關(guān)系換Nnaa成了與的關(guān)系，其好處在于無(wú)需借助數(shù)列以外的數(shù)，只要根據(jù)數(shù)列本身的特征namaa就可以鑒別其收斂發(fā)散性.2.3 以單調(diào)有界定理證明致密性定理致密性定理：有界數(shù)列必含有收斂子列.下面通過(guò)單調(diào)有界定理來(lái)證明該定理，先要證明的是有界數(shù)列必含有單調(diào)子列.首先設(shè)為有界數(shù)列，記=sup,，=inf,，nanana1na+

10、nana1na+下證為遞減有界數(shù)列，為遞增有界數(shù)列.nana由定義知=sup，,=sup,，而=inf,，nana1na+1na1na+2nanana1na+=inf,，,因?yàn)?，,所以n，則存在1na+1na+2na1na+2nana1naN及，即為遞減數(shù)列，為遞增數(shù)列，又因?yàn)闉橛薪鐢?shù)列，1nana1na+nananana及為其子列，所以及也是有界數(shù)列，即為遞減有界數(shù)列，為nanananana遞增有界數(shù)列.na以上是對(duì)致密性的證明，致密性定理在很多方面都有應(yīng)用，如用它證數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則中的充分性，在此不給以證明.2.4 以單調(diào)有界數(shù)列證明有限覆蓋定理有限覆蓋定理：設(shè)H為閉區(qū)間a,b的一個(gè)無(wú)

11、限開(kāi)覆蓋，則從中可選出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋a,b.-. z下面用單調(diào)有界數(shù)列來(lái)進(jìn)展證明，具體證明如下：用反證法：假設(shè)定理的結(jié)論不成立，即不能用H中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間的覆蓋a,b.將a,b等分為兩個(gè)子區(qū)間，則在這兩個(gè)子區(qū)間中至少有一個(gè)子區(qū)間不能用H 中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋，將這個(gè)子區(qū)間記為,，則,包含于a,b，且-=.1a1b1a1b1b1a1()2ba再講等分為兩個(gè)子區(qū)間，同樣，其中至少有一個(gè)子區(qū)間不能用H 中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋，記這個(gè)子區(qū)間為,，且.2a2b1a1b2221()2baba接著講上述的步驟重復(fù)進(jìn)展就可以得到一個(gè)閉區(qū)間列，所以得出為nna bna遞增有界數(shù)列，然后根據(jù)單調(diào)有界數(shù)列可知存在極

12、限，同理可得遞減有界數(shù)列na也存在極限且.nblimlimnnnnba通過(guò)上述的證明可知，只需要H中的一個(gè)開(kāi)區(qū)間就能覆蓋，這與挑選nanb( ,) ，時(shí)的假設(shè)“不能用H中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間的覆蓋矛盾，由此可知當(dāng)H為閉區(qū)間nanba,b的一個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋，則從中可選出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋a,b.注：注：此定理只對(duì)閉區(qū)間a,b成立，而對(duì)開(kāi)區(qū)間則不一定成立.例如，開(kāi)區(qū)間集合構(gòu)成了開(kāi)區(qū)間的一個(gè)開(kāi)覆蓋，但不能從中選出有限個(gè)開(kāi)區(qū)1(,1)1n(1,2,3)n=(0,1)間蓋住.(0,1)2.5 級(jí)數(shù)的斂散性在高等數(shù)學(xué)中，如何判別級(jí)數(shù)的斂散性，我們一般采用達(dá)郎貝爾判別法，柯西判別法，比擬原則等.然而這些方法在解決*些

13、級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題時(shí)，有時(shí)顯得不則方便，不則有力，為此將以單調(diào)有界原理為根底給出一個(gè)應(yīng)用廣泛，行之相當(dāng)有效的定理，并就此定理及其應(yīng)用展開(kāi)討論.定理：假設(shè)If(*)在1,+)上單調(diào)遞減且f(*)為非負(fù)函數(shù)，II，11( )( )(1,2,3)nnnkaf kf x dxn則1,0(1) ()nafnZ-. z2,1(1,2,3)nnaan3收斂記, nalimnna4,0(1)f5,(0,)nnnan 6,11( )( )(0,)nnnnkf kf x dxn 7,11( )( )nnnkf x dxf k8收斂收斂,1( )nkf k1( )nf x dx9收斂收斂,1( )nf n1( )f

14、x dx單調(diào)有界原理：任何有界的單調(diào)數(shù)列一定有極限.換言之：1假設(shè)是遞增有上界數(shù)列，則收斂且極限為sup=， na na na即.limnna2假設(shè)是遞減有下界數(shù)列，則收斂且極限為inf=， na na na即.limnna 有關(guān)單調(diào)有界原理的證明方法很多，這里我們略去不證.在滿足單調(diào)有界條件后，運(yùn)用單調(diào)有界原理處理有些問(wèn)題是很方便的.更為重要的是由單調(diào)有界原理出發(fā)可以證明前面開(kāi)篇給出的定理.證明定理分兩步進(jìn)展：（1） 先證有下界 na11( )( )nnnkaf xf x dx這說(shuō)明有下界. na（2） 再證單調(diào): na-. z因?yàn)?1111111( )( )( )( )nnnnnnkkaa

15、f kf x dxf kf x dx單調(diào)遞減 na1nnaa因?yàn)閱握{(diào)遞減有下界,據(jù)單調(diào)有界原理 na收斂 , 記 nalimnna(0,)nnnan 又由 0(1)naf0(1)f從 11( )( )nnnkaf kf x dx可以推出不難得出 收斂收斂1( )nkf k1( )nf x dx收斂收斂1( )nf n1( )f x dx完成定理的證明后，我們不妨來(lái)看一下華師大數(shù)學(xué)分析上冊(cè)P46的一個(gè)例題：例1：設(shè),這里實(shí)數(shù)2，證明收斂.11111,2,323nann na書(shū)中是這樣證明的：因?yàn)檫f增na又 222111123nan 于是由單調(diào)有界定理收斂.na 顯然，在2 時(shí)用上述方法證明是完全

16、可取的，但如果問(wèn)當(dāng)01時(shí)收斂，當(dāng)p1 時(shí)11111,2,323npppanpRn na發(fā)散.I當(dāng)p=1 時(shí)即是我們常見(jiàn)的調(diào)和級(jí)數(shù)，它是發(fā)散的.運(yùn)用定理，111123nan -. z同樣可以判斷它是發(fā)散的.因?yàn)樵?,+)單調(diào)遞減且非負(fù)1( )f xx極限存在 記11( )( )nnnkAf kf x dxlimnnA又 111( )lnnnf x dxdxnx當(dāng)n時(shí)，是發(fā)散的，所以1( )lnnf x dxnlimnna 即 在p=1 時(shí)是發(fā)散的na取在1,+)，p0 時(shí)是遞減的且非負(fù)，極限存在 1( )pf xx11( )( )nnnkAf kf x dx記為，limnnA111111( )1

17、23nnnppppkkaf kkn =.1( )nnf x dxII當(dāng)p1 時(shí)11nnnpadxx因?yàn)?，且p1，所以當(dāng)n時(shí)，11111111111npnppdxxnxppp有 趨于11111111nppdxxpp n11p即 收斂在p1 時(shí)收斂.11npdxx1( )nnkaf kIII當(dāng)0p1 時(shí)，11nnnpadxx因?yàn)?，?p1，所以當(dāng)n時(shí)，11111111111npnppdxxnxppp有 發(fā)散，11111111nppdxxpp n即在0p1 是發(fā)散的.1( )nnkaf k-. zIV當(dāng)p0 時(shí)是單調(diào)遞增無(wú)上界,所以是發(fā)散的.nalimnna 通過(guò)對(duì)例2 的討論，我們可以看出運(yùn)用定理

18、不僅解決了2 的情況而且當(dāng)2 的情況也清楚了.從中不難發(fā)現(xiàn)運(yùn)用定理將級(jí)數(shù)斂散性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為積分與數(shù)列的斂散性問(wèn)題，從而降低了難度，也使許多問(wèn)題歸納成系統(tǒng).所以在今后判斷斂散性問(wèn)題上，可依據(jù)題意要求靈活運(yùn)用定理加以判斷.3.總結(jié)單調(diào)有界定理是極限理論中的一個(gè)重要定理，它在數(shù)學(xué)分析中常用于數(shù)列及函數(shù)的收斂性，并且單調(diào)有界定理與實(shí)數(shù)完備性也密切相關(guān).以上通過(guò)利用單調(diào)有界定理在實(shí)數(shù)完備性中的應(yīng)用，即運(yùn)用單調(diào)有界定理證明了實(shí)數(shù)完備性的幾大定理區(qū)間套定理、柯西收斂準(zhǔn)則、致密性定理、有限覆蓋定理;同時(shí)在數(shù)列的單調(diào)有界定理根底上，利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì)，論證了非正常積分和正項(xiàng)級(jí)數(shù)可以互為比擬對(duì)象，判斷對(duì)方的斂散性，并推廣應(yīng)用之.參考文獻(xiàn)1胡永生.淺談致密性定理的不同證明方法J.中國(guó)校外教育,2021,(3).2馬愛(ài)江.單調(diào)有界數(shù)列必有極限與柯西收斂準(zhǔn)則等價(jià)性證明J.*教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，55-57).3華東師大學(xué)數(shù)學(xué)系