Chapter 08 力法

1、第八章力法第八章力法8-18-1超靜定結(jié)構(gòu)概述超靜定結(jié)構(gòu)概述一、一、超靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)是是具有多余約束具有多余約束的幾何不變體系。的幾何不變體系。二、二、結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)結(jié)構(gòu)的多余約束數(shù)。結(jié)構(gòu)的多余約束數(shù)。三、結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)的判定方法（拆除約束法）三、結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)的判定方法（拆除約束法）一般從約束數(shù)少的約束開(kāi)始拆（截?cái)啵钡揭话銖募s束數(shù)少的約束開(kāi)始拆（截?cái)啵?，直到使結(jié)構(gòu)成為一個(gè)無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜使結(jié)構(gòu)成為一個(gè)無(wú)多余約束的幾何不變體系（靜定結(jié)構(gòu)）為止。定結(jié)構(gòu)）為止。）去掉一根支座鏈桿或截?cái)嘁桓旒軛U，相當(dāng)）去掉一根支座鏈桿或截?cái)嘁桓旒軛U，相當(dāng)拆除個(gè)約束；拆除個(gè)約

2、束；）去掉一個(gè)固定鉸支座或切開(kāi)一個(gè)單鉸，相當(dāng)）去掉一個(gè)固定鉸支座或切開(kāi)一個(gè)單鉸，相當(dāng)拆除個(gè)約束；拆除個(gè)約束；）去掉一個(gè)固定支座或切開(kāi)一根梁式桿，相當(dāng)）去掉一個(gè)固定支座或切開(kāi)一根梁式桿，相當(dāng)拆除個(gè)約束；拆除個(gè)約束；）在一根梁式桿上加一個(gè)單鉸，相當(dāng)拆除個(gè)）在一根梁式桿上加一個(gè)單鉸，相當(dāng)拆除個(gè)約束。約束。去掉一個(gè)鏈桿或切去掉一個(gè)鏈桿或切斷一根桁架桿，拆斷一根桁架桿，拆除一個(gè)約束，代之除一個(gè)約束，代之以一個(gè)未知力以一個(gè)未知力拆除一個(gè)鉸節(jié)點(diǎn)，拆除一個(gè)鉸節(jié)點(diǎn)，去掉兩個(gè)約束去掉兩個(gè)約束拆除一個(gè)固定拆除一個(gè)固定支座或切斷一支座或切斷一根剛架梁，去根剛架梁，去掉掉3個(gè)約束個(gè)約束拆除一個(gè)鉸支座，拆除一個(gè)鉸支座，去

3、掉去掉1個(gè)約束；切個(gè)約束；切斷一根剛架梁，斷一根剛架梁，代之以單鉸，去代之以單鉸，去掉掉1個(gè)約束個(gè)約束例例8-18-1判斷圖示結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。判斷圖示結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。x1x2x3x5x7x4x4x6x7x7x1x2x3x5x68-28-2力法基本概念力法基本概念一、力法基本思路一、力法基本思路有多余約束是超靜定與靜定的根本區(qū)別，解決多余有多余約束是超靜定與靜定的根本區(qū)別，解決多余約束中的多余約束力是解超靜定的關(guān)鍵約束中的多余約束力是解超靜定的關(guān)鍵。x1x1 D D1=0 D D11 + D D1P =0 D D11=d d11x1 d d11x1+ D D1P =01 1、力法基本未知量、

4、力法基本未知量多余力多余力結(jié)構(gòu)的多余約束產(chǎn)生的多余未知力。結(jié)構(gòu)的多余約束產(chǎn)生的多余未知力。2 2、力法基本體系、力法基本體系力法基本結(jié)構(gòu)力法基本結(jié)構(gòu): :原結(jié)構(gòu)拆除多余約束后得到的原結(jié)構(gòu)拆除多余約束后得到的靜定結(jié)構(gòu)；靜定結(jié)構(gòu)； 力法基本體系：力法基本體系：是原結(jié)構(gòu)拆除多余約束后得是原結(jié)構(gòu)拆除多余約束后得到的基本結(jié)構(gòu)在荷載（原有各種因素）和多余到的基本結(jié)構(gòu)在荷載（原有各種因素）和多余力共同作用的體系。力共同作用的體系。3 3、力法基本方程、力法基本方程變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件力法基本體系在多余力位置及力法基本體系在多余力位置及方向與原結(jié)構(gòu)方向與原結(jié)構(gòu)位移一致位移一致的條件。的條件。方程中的系數(shù)和

5、自由項(xiàng)均是靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)方程中的系數(shù)和自由項(xiàng)均是靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算問(wèn)題，超靜定轉(zhuǎn)化為靜定問(wèn)題。算問(wèn)題，超靜定轉(zhuǎn)化為靜定問(wèn)題。例例8-2 8-2 用力法計(jì)算圖示梁，并作用力法計(jì)算圖示梁，并作MM圖。圖。解：）確定力法基本未知量、基本體系解：）確定力法基本未知量、基本體系）力法方程）力法方程 d d11x1+ D D1P =0M1圖圖X1=1）作）作M1圖，計(jì)算圖，計(jì)算d d11圖乘法圖乘法d d11= l/3EI）作）作MP圖，計(jì)算圖，計(jì)算D D1P D D1P =ql3/24EI）代入力法方程，求）代入力法方程，求x1 x1 = - D D1P /d d11 = -ql2/8 ）作）作M圖圖

6、MP圖8- 3 8- 3 力法典型方程力法典型方程力法典型方程，指用于多次（有限次）超靜定力法典型方程，指用于多次（有限次）超靜定結(jié)構(gòu)的力法一般方程。結(jié)構(gòu)的力法一般方程。一、兩次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程一、兩次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程兩次超靜定剛架在荷載及支座移動(dòng)作用下原結(jié)構(gòu)兩次超靜定剛架在荷載及支座移動(dòng)作用下原結(jié)構(gòu)和力法基本體系。和力法基本體系。D D1 1= = 0 D D1111+D+D1212+D+D1 1P+D+D1D1D=0D D2 2= -D= -DB B D D2121+D+D2222+D+D2 2P+D+D2D2D= - D DB B因?yàn)椋阂驗(yàn)椋?D Dij=d dij xj 所以：

7、所以：d d11x1+ d d12x2+ D D1P + D D1D D =0 d d21x1+ d d22x2+ D D2P + D D2D D = - D DB B ( (a)兩次超靜定結(jié)構(gòu)在荷載和支座位移共同作用下的兩次超靜定結(jié)構(gòu)在荷載和支座位移共同作用下的力法方程。力法方程。有支座移動(dòng)因素時(shí)，力法方程的右邊項(xiàng)可能不為有支座移動(dòng)因素時(shí)，力法方程的右邊項(xiàng)可能不為零。零。 根據(jù)位移互等定理根據(jù)位移互等定理，有：，有：d d12=d d21二、力法典型方程二、力法典型方程 n n次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程：次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程：d d11x1+ d d12x2+d d1ixi+ d d1jxj+

8、 d d1nxn+ D D1P + D D1D D= D D1d d21x1+ d d22x2+d d2ixi+ d d2jxj+ d d2nxn+ D D2P + D D2D D= D D2 2d di1x1+ d di2x2 +d diixi + d dijxj+ d dinxn + D DiP + D DiD D = D Did dj1x1+ d dj2x2 +d djixi + d djjxj+ d djnxn + D DjP + D DjD D = D Djd dn1x1+d dn2x2+d dnixi+ d dnjxj+ d dnnxn+ D DnP + D DnD D= D Dn

9、 系數(shù)、自由項(xiàng)的物理意義：dii基本結(jié)構(gòu)在xi= 1作用下，沿xi 方向的位移；dij基本結(jié)構(gòu)在xj= 1作用下，沿xi 方向的位移；DiP基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下，沿xi 方向的位移；DiD 基本結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)下，沿xi 方向的位移； Di基本結(jié)構(gòu)沿xi 方向的總位移原結(jié)構(gòu)在xi 方向上的實(shí)際位移。 力法方程的系數(shù)矩陣是一個(gè)對(duì)稱方陣。力法方程的系數(shù)矩陣是一個(gè)對(duì)稱方陣。物理意義：物理意義：主系數(shù)主系數(shù) d dii恒大于零，位于方陣左上角到右下角的恒大于零，位于方陣左上角到右下角的主對(duì)角線上；主對(duì)角線上；副系數(shù)副系數(shù) d dij 可大于、等于、小于零，位于主對(duì)角線可大于、等于、小于零，位于主對(duì)角線兩

10、側(cè)對(duì)稱位置上；兩側(cè)對(duì)稱位置上；由于由于d dii = d dij ，獨(dú)立的系數(shù)為獨(dú)立的系數(shù)為 n+(n2-n)/2 個(gè)個(gè)。 11121112122222121212ijnijniiiiijinjjjijjjnnnninjnndddddddddddddddddddddddddd=8- 4 8- 4 力法計(jì)算示例力法計(jì)算示例例例8-38-3用力法計(jì)算圖示剛架，并作用力法計(jì)算圖示剛架，并作MM圖。圖?；倔w系基本體系解：）確定力法基本未知量和基本體系解：）確定力法基本未知量和基本體系力法方程：力法方程： d d11x1+ d d12x2+ D D1P=0 d d21x1+ d d22x2+ D D2

11、P=0 ）作）作M1、M2、MP圖圖基本體系基本體系M1MP）計(jì)算系數(shù)、自由項(xiàng)）計(jì)算系數(shù)、自由項(xiàng) d d11=5l/12EI d d22=3l/4EI d d12=d d21 =0 D D1P= FPl2/32EI D D2P = 0）代入力法方程，求多余力）代入力法方程，求多余力x x1 1、x x2 2 （5l/12EI）x1 + FPl2/32EI =0 x1 = -3FPl/40 ( 3l/4EI )x2= 0 x2= 0）疊加作）疊加作MM圖圖 MAC=x1M1+x2M2+MP= (-3FPl/40)/2= -3FPl/80( (右側(cè)受拉）右側(cè)受拉）說(shuō)明：力法計(jì)算剛架時(shí)，說(shuō)明：力法計(jì)

12、算剛架時(shí)，力法方程中系數(shù)和自由力法方程中系數(shù)和自由項(xiàng)只考慮彎曲變形的影響：項(xiàng)只考慮彎曲變形的影響： d dii = l (Mi2 /EI)ds d dij = l (Mi Mj /EI)ds D DiP= l (Mi MP /EI)ds例例8-4 8-4 計(jì)算圖示桁架的內(nèi)力，各桿計(jì)算圖示桁架的內(nèi)力，各桿E E= =常數(shù)常數(shù)。解：）力法基本體系，基本解：）力法基本體系，基本方程：方程： d d11x1+ D D1P =0 ）計(jì)算計(jì)算Fni、FNP及及d d11、D D1P d d11 = FN12 l/EA =4a(1+2)/EA D D1P = FN1 FNPl/EA =2FPa(1+2)/E

13、A3)3)代入力法方程中，求解代入力法方程中，求解x x1 1 x1 = - D D1P /d d11 = -FP/24) 4) 疊加計(jì)算個(gè)桿軸力疊加計(jì)算個(gè)桿軸力 FN21=FN1x1+FNP=-2FP/2 FN02=FP/2說(shuō)明：力法計(jì)算桁架時(shí)，力法方程中系數(shù)說(shuō)明：力法計(jì)算桁架時(shí)，力法方程中系數(shù)和自由項(xiàng)只考慮軸向變形的影響：和自由項(xiàng)只考慮軸向變形的影響：d dii = FNi2 l/EA d dij = FNiFNjl/EA D DiP= FNiFNPl/EA 例例8-58-5計(jì)算圖示排架，并作計(jì)算圖示排架，并作MM圖。圖。解：）力法基本體系，力法方程：解：）力法基本體系，力法方程：d d1

14、1x1+ D D1P =0）作）作M1、MP圖圖, ,計(jì)算計(jì)算d d11、D D1P d d11 =144/EI D D1P =3240/EI3) 代入力法方程，求代入力法方程，求x x1 1 x1 = - D D1P /d d11 = -22.5kN4) 4) 作作MM圖圖8m8- 5 8- 5 超靜定結(jié)構(gòu)的位移和力法結(jié)果校核超靜定結(jié)構(gòu)的位移和力法結(jié)果校核一、超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算一、超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算、荷載作用下的位移計(jì)算、荷載作用下的位移計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)和靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)超靜定結(jié)構(gòu)和靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式是相同的。如梁和剛架的位移計(jì)算公式：算公式是相同的。如梁和剛架

15、的位移計(jì)算公式： D D= l (MM/EI) ds超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算要點(diǎn)：超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算要點(diǎn)：虛單位力設(shè)在原結(jié)構(gòu)的任意一個(gè)基本結(jié)構(gòu)上。虛單位力設(shè)在原結(jié)構(gòu)的任意一個(gè)基本結(jié)構(gòu)上。例例8-6 8-6 求示梁端的轉(zhuǎn)角位移求示梁端的轉(zhuǎn)角位移 B B。EI=EI=常數(shù)常數(shù), ,桿桿長(zhǎng)為長(zhǎng)為l l。解：）作解：）作M、M圖圖 ）計(jì)算）計(jì)算 B B = (ql2/8)l/2-(2/3) (ql2/8) /2/EI=-ql3/48EI () 或：或： B = (ql2/8)l/2(1/3)1-(2/3) (ql2/8) /2/EI =-ql3/48EI ()=tu7-6-2力法計(jì)算圖力法計(jì)算圖2 2、

16、支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算、支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算例例8-68-6求圖示梁中點(diǎn)處的豎向位移求圖示梁中點(diǎn)處的豎向位移D DCV。解：）作超靜定梁解：）作超靜定梁MM圖圖）作）作M圖圖）該基本結(jié)構(gòu)支座發(fā)）該基本結(jié)構(gòu)支座發(fā)生位移時(shí)有剛體位移。生位移時(shí)有剛體位移。）計(jì)算位移）計(jì)算位移D DCV D DCV = (MM/EI)ds-FRc=l2/4/2(-3EIa/l2/2)(a/2)=5a/16 ()或或：D DCV =(l/2) 2/2(5/6) (3EIa/l2)=5a/16 ()二、力法計(jì)算結(jié)果校核二、力法計(jì)算結(jié)果校核例例8-78-7校核圖示剛架力法所求內(nèi)力圖。校核圖示剛架力法所求內(nèi)力圖。N NMMQ

17、Q解：解： ）校核靜力平衡條件）校核靜力平衡條件）校核截開(kāi)）校核截開(kāi)BCBC桿后桿后兩截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角位移兩截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角位移等于零位移條件：等于零位移條件： (MM/EI)ds = 0 (-6041/2 3041/2)/2EI(-2041/24041/21541/2 3041/2)/EI=40/EI可見(jiàn)，不滿足位移條件?？梢?jiàn)，不滿足位移條件。說(shuō)明：力法計(jì)算結(jié)果的主說(shuō)明：力法計(jì)算結(jié)果的主要校核條件，是位移條件。要校核條件，是位移條件。例例8-88-8計(jì)算圖示剛架，作計(jì)算圖示剛架，作MM圖并用位移條件校核；圖并用位移條件校核；求求B B點(diǎn)的水平位移點(diǎn)的水平位移D DBH BH 。解：）力法計(jì)算解：

18、）力法計(jì)算d d11x1+ D D1P =0d d11 =5a/6EI, D D1P =qa3/24EIx1 = - D D1P /d d11 = -qa2/20MBC=- qa2/20 ( (上側(cè)受拉）上側(cè)受拉）MM1MP）校核支座處的豎向位移條件：）校核支座處的豎向位移條件：CV=0 (qa3/20/2)(-2a/3)+(2/3)(qa3/8)(a/2)/EIqa4/20/2EI=0,滿足滿足 M）求點(diǎn)的水平位移）求點(diǎn)的水平位移D DBH D DBH =(qa2/20)a(a/2)/2EI=qa4/80EI() M 8- 68- 6力法的對(duì)稱性利用力法的對(duì)稱性利用結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性時(shí)應(yīng)滿足：結(jié)

19、構(gòu)具有對(duì)稱性時(shí)應(yīng)滿足：）結(jié)構(gòu)的）結(jié)構(gòu)的幾何形狀幾何形狀和和支座形式支座形式正對(duì)稱于某一軸線；正對(duì)稱于某一軸線；）結(jié)構(gòu)的）結(jié)構(gòu)的材料性質(zhì)及截面形狀特征材料性質(zhì)及截面形狀特征（E E、I I、A A）也）也對(duì)稱于同一軸線。對(duì)稱于同一軸線。如果結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的，利用對(duì)稱性力法計(jì)算可獲得如果結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的，利用對(duì)稱性力法計(jì)算可獲得簡(jiǎn)化。簡(jiǎn)化。力法對(duì)稱性利用要點(diǎn)：力法對(duì)稱性利用要點(diǎn)：取對(duì)稱的力法基本結(jié)構(gòu)；并使其上的多余力具取對(duì)稱的力法基本結(jié)構(gòu)；并使其上的多余力具有對(duì)稱性和（或）反對(duì)稱性。有對(duì)稱性和（或）反對(duì)稱性。一、一般荷載作用下（不考慮荷載情況）一、一般荷載作用下（不考慮荷載情況） 取滿足上述要點(diǎn)的基本體系

20、，力法方程：取滿足上述要點(diǎn)的基本體系，力法方程： d d11x1+ d d12x2+ d d13x3 + D D1P=0d d21x1+ d d22x2+ d d23x3+ D D2P = 0 d d31x1+ d d32x2+ d d33x3+ D D3P = 0 (a)一般情況下，該一般情況下，該方程是聯(lián)立方程。方程是聯(lián)立方程。考慮對(duì)稱性后考慮對(duì)稱性后： d d13= d d31= d d23= d d32= 0 0代入式（代入式（a a），得：），得：d d11x1+d d12x2+D D1P=0d d21x1+d d22x2+D D2P=0 d d33x3+D D3P=0 ( (b)

21、原方程分解成兩相原方程分解成兩相互獨(dú)立的方程?；オ?dú)立的方程。d d11x1+d d12x2+D D1P=0 D D3P=0 x3 =0 d d21x1+d d22x2+D D2P=0 d d11x1+d d12x2+D D1P=0 d d33x3+D D3P=0 d d21x1+d d22x2+D D2P=0二、荷載具有正或反對(duì)稱性二、荷載具有正或反對(duì)稱性（考慮荷載情況）（考慮荷載情況）正對(duì)稱荷載作用下：正對(duì)稱荷載作用下：只有正對(duì)稱的多余力只有正對(duì)稱的多余力反對(duì)稱荷載反對(duì)稱荷載作用下：只有作用下：只有反對(duì)稱的多余力反對(duì)稱的多余力d d11x1+d d12x2+D D1P=0 D D1P1P=

22、=D D2P2P= =0 d d21x1+d d22x2+D D2P=0 x1 = =x2 = = 0 d d33x3+D D3P=0 d d33x3+D D3P=0 例例8-98-9利用對(duì)稱性計(jì)算圖示剛架，并作利用對(duì)稱性計(jì)算圖示剛架，并作MM圖。圖。解法：）取對(duì)稱的力法基本體系解法：）取對(duì)稱的力法基本體系）作）作Mi、MP圖并計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)圖并計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng) d d11=144/EI ，d d22=126/EI，d d12=d d21 =0，D D1P= 1350/EI， D D2P =-810/EI ）代入力法方程，并計(jì)算多余力）代入力法方程，并計(jì)算多余力 d d11x1+ d d12x2+ D D1P=0 x1=-9.375 d d21x1+ d d22x2+ D D2P=0 x2=6.429 ）疊加作彎矩圖）疊加作彎矩圖 MAB =-36.963kNm( (右側(cè)受拉右側(cè)受拉) ) MMBA BA = 19.287= 19.287kNmkN