在用分離變量法一章介紹了拉普拉斯方程在柱坐標(biāo)系下分

1、 在用在用分離變量法分離變量法一章介紹了拉普拉斯方程在柱坐標(biāo)系下一章介紹了拉普拉斯方程在柱坐標(biāo)系下分離變量得到了一種特殊類(lèi)型的常微分方程分離變量得到了一種特殊類(lèi)型的常微分方程:貝塞爾方程貝塞爾方程第二十章第二十章 貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù) 柱函數(shù)柱函數(shù) 通過(guò)冪級(jí)數(shù)解法得到了另一類(lèi)特殊函數(shù)，稱為通過(guò)冪級(jí)數(shù)解法得到了另一類(lèi)特殊函數(shù)，稱為貝塞爾函貝塞爾函數(shù)數(shù) 貝塞爾函數(shù)具有一系列性質(zhì)，在求解數(shù)學(xué)物理問(wèn)題時(shí)主貝塞爾函數(shù)具有一系列性質(zhì)，在求解數(shù)學(xué)物理問(wèn)題時(shí)主要是引用貝塞爾函數(shù)的要是引用貝塞爾函數(shù)的正交完備性正交完備性20.1 貝塞爾方程及其解貝塞爾方程及其解20.1.1 貝塞爾方程貝塞爾方程 拉普拉斯方程在

2、柱坐標(biāo)系下的分離變量得出了一般的拉普拉斯方程在柱坐標(biāo)系下的分離變量得出了一般的貝塞爾方程。貝塞爾方程。 考慮固定邊界的考慮固定邊界的圓膜振動(dòng)圓膜振動(dòng)，可以歸結(jié)為下述定解問(wèn)題，可以歸結(jié)為下述定解問(wèn)題222222200() (0,0)|0 (0)( , , )|( , )( , , )|( , )ttxxyyxyltttua uuxyltutu x y tx yu x y tx y （20.1.1） 其中其中l(wèi)為為已知正數(shù)已知正數(shù)，( , ),( , )x yx y為為已知函數(shù)已知函數(shù) 這個(gè)定解問(wèn)題宜于使用這個(gè)定解問(wèn)題宜于使用柱坐標(biāo)柱坐標(biāo)，從而構(gòu)成，從而構(gòu)成柱面柱面問(wèn)題問(wèn)題（由于是二維問(wèn)題，即（由

3、于是二維問(wèn)題，即退化為極坐標(biāo)退化為極坐標(biāo)） 設(shè)設(shè)( , , )( , , )() ( , )u x ytutT tU 對(duì)泛定方程對(duì)泛定方程分離變量分離變量（?。ㄈ?k）得）得 220Tka T （20.1.2）22110|0 lUUUk UU（20.1.3）再再令令 ( , )( ) ( )UR ，得到得到20 (20.1.4)22 22()0RRkR （20.1.5） 令令 , ( )( )kxRyx 于是于是(20.1.5)得到得到 22222dd()0ddyyxxxyxx （20.1.6）()|( )0ly ky kl方程（方程（20.1.6）稱為）稱為階貝塞爾微分方程階貝塞爾微分方程這

4、里這里x和和可以為任意數(shù)可以為任意數(shù)20.1.2 貝塞爾方程的解貝塞爾方程的解通過(guò)數(shù)學(xué)物理方程的通過(guò)數(shù)學(xué)物理方程的冪級(jí)數(shù)求解方法冪級(jí)數(shù)求解方法可以得出結(jié)論可以得出結(jié)論： （1）當(dāng)）當(dāng)整數(shù)時(shí)，貝塞爾方程整數(shù)時(shí)，貝塞爾方程(20.1.6)的的通解通解為為( )J ( )J ( )y xAxBx （20.1.7） 其中其中 ,A B為任意常數(shù)，為任意常數(shù)， J ( )x定義為定義為階階第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)第一類(lèi)貝塞爾函數(shù) 但是當(dāng)?shù)钱?dāng) n整數(shù)整數(shù)時(shí)，有時(shí)，有 J( )( 1) J ( )nnnxx 故上述解中的故上述解中的J( )nx 與J ( )nx是是線性相關(guān)線性相關(guān)的，所以的，所以(20.1.7)

5、成為通解必須是成為通解必須是整數(shù)整數(shù). （2）當(dāng)）當(dāng)取任意值取任意值時(shí)：時(shí)：定義定義第二類(lèi)貝塞爾函數(shù)第二類(lèi)貝塞爾函數(shù)N ( ) x，這樣這樣貝塞爾方程的通解貝塞爾方程的通解可表示為可表示為 ( )J ( )N ( )y xAxBx （20.1.8） (3) 當(dāng)當(dāng)取任意值取任意值時(shí)時(shí)： 由第一、二類(lèi)貝塞爾函數(shù)還可以構(gòu)成線性獨(dú)立的由第一、二類(lèi)貝塞爾函數(shù)還可以構(gòu)成線性獨(dú)立的第三類(lèi)貝塞爾函數(shù)第三類(lèi)貝塞爾函數(shù)H ( )x ，又稱為漢克爾函數(shù)又稱為漢克爾函數(shù) (1)(2)H ( )J ( )iN ( )H( )J ( )iN ( )xxxxxx （20.1.9） 分別將分別將(1)(2)H,H稱為稱為第一

6、種和第二種漢克爾函數(shù)第一種和第二種漢克爾函數(shù) 于是于是貝塞爾方程的通解貝塞爾方程的通解又可以表示為又可以表示為 (1)(2)(H( )H( )y xAxBx （20.1.10） 最后，總結(jié)最后，總結(jié)階貝塞爾方程的通解通常有下列階貝塞爾方程的通解通常有下列三種形式三種形式： （i）( )J ( )J( ) (y xAxBx整數(shù)） （ii）( )J ( )N ( ) (y xAxBx可以取任意數(shù)） （iii）(1)(2)( )H ( )H( ) (y xAxBx可以取任意數(shù)） 20.2 三類(lèi)貝塞爾函數(shù)的表示式及性質(zhì)三類(lèi)貝塞爾函數(shù)的表示式及性質(zhì)20.2.1 第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)的表示式的

7、表示式第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)J ( ) x的級(jí)數(shù)表示式為的級(jí)數(shù)表示式為20201J ( )( 1)( )! (1) 21J( )( 1)( )! (1) 2kkkkkkxxkkxxkk （20.2.1）式中 ( )x是是伽馬函數(shù)伽馬函數(shù)滿足關(guān)系滿足關(guān)系(1)()(1)(2)(1) (1)kkk當(dāng)當(dāng)為為正整數(shù)或零時(shí)正整數(shù)或零時(shí)，(1)()!kk當(dāng)當(dāng)取取整數(shù)整數(shù)時(shí)時(shí) (1),(0,1,2,1)kk 所以當(dāng)所以當(dāng) n整數(shù)時(shí)，上述的級(jí)數(shù)實(shí)際上是從整數(shù)時(shí)，上述的級(jí)數(shù)實(shí)際上是從kn的項(xiàng)開(kāi)始，即的項(xiàng)開(kāi)始，即201J ( )( 1)( ), (0)!()! 2knknkxxnk nk (20.2.2

8、)而而 2201J( )( 1)( )! (1) 21 ( 1)( 1)( ), ()! (1) 2knknk nnlnllxxknkxlknlnl (20.2.3)所以所以 J()(1) J ()nnnxx （20.2.4）同理可證同理可證 J( )J ()nnxx （20.2.5） 因此有因此有重要關(guān)系重要關(guān)系 J ()( 1) J ( )nnnxx （20.2.6）可得幾個(gè)典型的可得幾個(gè)典型的貝塞爾函數(shù)表示式貝塞爾函數(shù)表示式 24602235111J ( )1()()()2(2!)2(3!)211J ( )()()22! 22!3! 2xxxxxxxx當(dāng)當(dāng)x很小時(shí)很小時(shí)(0)x ，保留級(jí)

9、數(shù)中保留級(jí)數(shù)中前幾項(xiàng)前幾項(xiàng)，可得，可得1J ( )( ), (1, 2, 3,)2(1)xx （20.2.7） 特別是特別是 0J (0)1,J (0)0 ( =1,2,3,)nn (20.2.8)當(dāng)當(dāng)x很大時(shí)很大時(shí) 322J ( )cos()()42xxo xx （20.2.9）例例20.2.1 試證半奇階貝塞爾函數(shù)試證半奇階貝塞爾函數(shù)122J()sinxxx證明：由公式證明：由公式(20.2.1)有有 而而 131 3 5(21)()22kkk 故故 122102( 1)J ( )(21)!kkkxxxk2sinxx同理可證同理可證 122J( )cosxxx121212220J ( )(

10、 1)12! (1)2kkkkxxkk20.3 貝塞爾函數(shù)的基本性質(zhì)貝塞爾函數(shù)的基本性質(zhì)20.3.1 貝塞爾函數(shù)的遞推公式貝塞爾函數(shù)的遞推公式 由貝塞爾函數(shù)的級(jí)數(shù)表達(dá)式（由貝塞爾函數(shù)的級(jí)數(shù)表達(dá)式（20.2.1）容易推出）容易推出1J ( )J( )ddvvxxxxx (20.3.1)1dJ ( )J( )dvvvvxxxxx (20.3.2)以上兩式都是貝塞爾函數(shù)的以上兩式都是貝塞爾函數(shù)的線性關(guān)系式線性關(guān)系式. 諾伊曼函數(shù)諾伊曼函數(shù)N( )vx和漢克爾函數(shù)漢克爾函數(shù)也應(yīng)該滿足上述遞推關(guān)系也應(yīng)該滿足上述遞推關(guān)系 若用若用( )vZx代表代表v階的階的第一或第二或第三類(lèi)函數(shù)第一或第二或第三類(lèi)函數(shù),

11、總是有總是有 1d( )( )dvvvvx Zxx Zxx (20.3.3)1d( )( )dvvvvx Zxx Zxx (20.3.4)把把兩式左端展開(kāi)兩式左端展開(kāi), 又可改寫(xiě)為又可改寫(xiě)為 1()()()vvvZxZxZxx (20.3.5) 1( )( )vvvZZxZxx (20.3.6)從從(20.3.5)和和(20.3.6)消去消去Z或消去或消去Z可得可得11( )( )2( )vvvZxZxZx 112( )( )( )vvvvZxZxZxx 即為從即為從)(1xZv和和)(xZv推算推算)(1xZv的的遞推公式遞推公式.上式也可以寫(xiě)成為上式也可以寫(xiě)成為 11( )( )2( )v

12、vvvZxZxZ xx （20.3.7） 11( )( )2( )vvZxZxZ x （20.3.8） 任一滿足一組遞推關(guān)系的函數(shù)任一滿足一組遞推關(guān)系的函數(shù))(xZv統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為柱函數(shù)柱函數(shù) 例例20.3.1 證明柱函數(shù)滿足貝塞爾方程證明柱函數(shù)滿足貝塞爾方程【證明】【證明】 以滿足以滿足 （20.3.7）和）和 （20.3.8）這一組）這一組遞推公式遞推公式來(lái)進(jìn)行證明來(lái)進(jìn)行證明：將將 (20.3.7)與（與（20.3.8）相加或相減相加或相減消去消去1Z或或1Z分別得到分別得到 1( )( )( )ZxZxZxx (20.3.9)1( )( )( )ZxZxZxx （20.3.10）將將(20

13、.3.9) 式中的式中的換成換成1，得到得到111( )( )( )ZxZxZxx （20.3.11）將將 （20.3.10）代入上式，立即得到）代入上式，立即得到 ( )Zx滿足滿足階階貝塞爾方程貝塞爾方程例例 20.3.2 求求 2J ( )dxxx【解】【解】 根據(jù)公式根據(jù)公式 (20.3.8)(20.3.8) 11( )( )2( )vvZxZxZx 有有201J ( )J ( ) 2J ( )xxx20111111010J ( )dJ ( )d2 J ( )dJ ( ) 2 J ( )J ( )d J ( ) 2 J ( )J ( )d J ( ) 2J ( )xx xxx xxx

14、x xxxxx xxxxxx xxxxc 例例 20.3.3 證明下式成立證明下式成立 1110J ( )dJ( )xmmmmxx xxx (20.3.17)特別是特別是22120J ( )dJ ( )xxx xxx (20.3.18)【證明證明】利用遞推公式遞推公式(20.3.2) 即 1dJ ( )J( )dvvvvxxxxx，令令1m則則 111dJ( )J ( )dmmmmxxxxx1110J( )J( )dxmmmmxxxxx1m其中取其中取，即為（即為（22.3.18）式）式。20.3.2 貝塞爾函數(shù)與本征問(wèn)題貝塞爾函數(shù)與本征問(wèn)題 拉普拉斯方程在拉普拉斯方程在柱坐標(biāo)柱坐標(biāo)系下的系下

15、的分離變量分離變量，得到了方程，得到了方程(14.6.7) 即即2222d1 d()0ddRRR （20.3.19） 在自然周期邊界條件下在自然周期邊界條件下，m取整數(shù)，取整數(shù)，其它情況下其它情況下可取可取任意復(fù)數(shù)任意復(fù)數(shù) 對(duì)另一本征值對(duì)另一本征值分三種情況分三種情況：0，0和和0進(jìn)行討論進(jìn)行討論： （）（）0方程（方程（20.3.19）是）是歐拉方程歐拉方程； （）（） 0作代換作代換x，則得到，則得到22222dd0 ()ddRRxxxRxxx （20.3.21） 即為即為階階貝塞爾貝塞爾(Bessel)方程方程（）（）0記記20k，以以2k 代入，并作代換代入，并作代換xk則方程化為則方

16、程化為22222dd0ddRRxxxRxx (20.3.22) 這叫作這叫作虛宗量貝塞爾方程虛宗量貝塞爾方程如把貝塞爾方程（如把貝塞爾方程（20.3.22）的）的宗量宗量x改成虛數(shù)改成虛數(shù)ix，就就 成了方程成了方程（20.3.21） 貝塞爾方程本征值問(wèn)題貝塞爾方程本征值問(wèn)題（即本征值（即本征值0的情況）：的情況）： 1. 第一類(lèi)邊界條件的貝塞爾方程本征值問(wèn)題第一類(lèi)邊界條件的貝塞爾方程本征值問(wèn)題220201 dd() ( )0 (0)dd ()0 |(0)| RkRRRM (20.3.23)根據(jù)圓柱的根據(jù)圓柱的周期性邊界條件周期性邊界條件()(2+) ，則方程（，則方程（20.3.23）中的）

17、中的0,1,2,3,m 上述方程上述方程(20.3.23)可進(jìn)一步化為施可進(jìn)一步化為施劉型本征值問(wèn)題的形式劉型本征值問(wèn)題的形式2200dd ()( )0 (0)dd ()0 | (0)| RmR kRRRM (20.3.24) 相應(yīng)于相應(yīng)于施劉型方程施劉型方程中的中的22( ), ( ), ( ), mk xxq xxxkx 故施劉型本征值問(wèn)題的結(jié)論對(duì)于故施劉型本征值問(wèn)題的結(jié)論對(duì)于貝塞爾方程的本征值問(wèn)題貝塞爾方程的本征值問(wèn)題也也成立成立 貝塞爾方程貝塞爾方程(20.3.24)的通解的通解為為( )J ()N ()mmRAB (20.3.25) 若用若用()mnx表征表征J ( )0mx 的第的

18、第n個(gè)正根，于是個(gè)正根，于是本征值本征值()()()() 220 (1,2,3,)mmmmnnnnxkn (20.3.26)代入邊界條件決定本征值及本征函數(shù)代入邊界條件決定本征值及本征函數(shù)因?yàn)橐驗(yàn)?0)RM故故0B 又又0()0R，要，要0A ，則，則必須必須0J()0mk則則J()0mx就是就是決定本征值的方程決定本征值的方程.12n(2) 本征值可編成本征值可編成單調(diào)遞增單調(diào)遞增的序列的序列本征值本征值即即()()()22212000()()()mmmnxxx(20.3.27) 本征函數(shù)本征函數(shù)()()()12000J (),J (),J (),mmmnmmmxxx(20.3.28)()(

19、)2mmnnk()J()mmnk且本征函數(shù)且本征函數(shù) ()J()mmnk在在 00,區(qū)間上有區(qū)間上有 (1)n個(gè)個(gè)零點(diǎn)零點(diǎn) 即即()()()112000()()(),mmmnmmmnnnxxxxxx0 ,，則則貝塞爾函數(shù)有無(wú)窮個(gè)零點(diǎn)貝塞爾函數(shù)有無(wú)窮個(gè)零點(diǎn)J ( )mx的的零點(diǎn)零點(diǎn)與與 的的零點(diǎn)零點(diǎn)是彼此相間分布的，即是彼此相間分布的，即 1J( )mxJ ( )mx的任意兩個(gè)的任意兩個(gè)相鄰零點(diǎn)相鄰零點(diǎn)之間必有且僅有一個(gè)之間必有且僅有一個(gè) 1J( )mx1J( )mx的的零點(diǎn)零點(diǎn) ()mnx表示表示 J ( )mx的第的第n個(gè)正零點(diǎn)，則個(gè)正零點(diǎn)，則 ()()1lim mmnnnxx，即即 J (

20、 )mx幾乎是以幾乎是以2為周期的為周期的周期函數(shù)周期函數(shù)()24612(1)83(4 )15(4 )105(4 )mnBCDExAAAAA221(2 ) ,4 ,731,83982377922AmnBm CBDBB 32694915385515857436277237EBBB0()0R這個(gè)條件就是這個(gè)條件就是00dJ ()J ()0dmmkkk（20.3.30） 0k ，則，則本征值本征值 ()()20(/)mmnnx(20.3.31) 其中其中 ()mnx是是 J ( )mx的第的第n個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn).J ( )mx的零點(diǎn)在一般的數(shù)學(xué)用表中并未列出的零點(diǎn)在一般的數(shù)學(xué)用表中并未列出. 0m 的的

21、特例特例還是容易得到的：還是容易得到的： 由公式由公式(20.3.12)得到得到 01J()J ()xx 0J ( ) x的的零點(diǎn)零點(diǎn)不過(guò)就是不過(guò)就是 1J ( ) x的的零點(diǎn)零點(diǎn)，可從許多數(shù)學(xué)用表中查出，可從許多數(shù)學(xué)用表中查出0m 的情況的情況, J ( )mx的零點(diǎn)的零點(diǎn) ()mnx可以利用可以利用遞推公式遞推公式(20.3.8)111J()J()J()2mmmxxx這樣這樣 J ( )mx的零點(diǎn)可從曲線的零點(diǎn)可從曲線 1J( )mx和和 1J( )mx的交點(diǎn)得出的交點(diǎn)得出 0m J ( )mx的情況的情況, 的零點(diǎn)的零點(diǎn) ()mnx還可以用還可以用下面的公式計(jì)算下面的公式計(jì)算： ()mn

22、x 35386(4 )15(4 )BCDAAAA22321(2 ),4,78292283207530393537AmnBm CBBDBBB .0)()(00RHR()()()00J ()J ()0mmmmnnmnkHkk記記 ()000, /,mnxkhH并引用（并引用（20.3.5）可將上式改寫(xiě)為）可將上式改寫(xiě)為 0010J()J()mmxxxhm所以本征值所以本征值 ()()20(/)mmnnx()mnx20.3.3貝塞爾函數(shù)正交性和模貝塞爾函數(shù)正交性和模1正交性正交性對(duì)應(yīng)不同本征值的本征函數(shù)分別滿足對(duì)應(yīng)不同本征值的本征函數(shù)分別滿足2() 2()2dJd J ()0 ddmmmimimkk

23、(20.3.34)2()2()2dJdJ ()0 ddmmmjmjmkk（20.3.33）()J ()mmjk()J ()mmjk()J ()mmik()J ()mmik兩式相減，再積分，利用分部積分法得到兩式相減，再積分，利用分部積分法得到00( ) 2( ) 2( )( )0( )( )( )( )0 J ()J () ddd J ()J ()J ()J ()|0ddmmmmijmimjmmmmmimjmjmikkkkkkkk ()()mmijkk0()()0J ()J () d0mmmimjkk (20.3.36)()mnN 為了用為了用貝塞爾函數(shù)作基貝塞爾函數(shù)作基進(jìn)行廣義傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)

24、，需要先進(jìn)行廣義傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，需要先( )J ()mmnk計(jì)算貝塞爾函數(shù)計(jì)算貝塞爾函數(shù) 的模的模 ()mnN0()2()20J ()dmmnmnNk (20.3.37)()()()220 mmmnnnxk()0mnx()0mnx把把 ()mnk記為記為 x()0mnk記作記作 0 x00() 22220011J ( )dJ ( ) d()2xxmnmmnnNxx xxx002220011J ( )J ( )J ( )d2xxmmmnnxxxxxx00( ) 22 2220011 J ( ) J ( )J ( )J ( )J ( )d2xxmnmmmmmnnNxxxxxxmxx x00022

25、222000dJ ( )11 J ( ) J ( )(J ) dJ dJ2dxxxmmmmmmnnnxmxxxxxxx00022222200011J ( )dJ ( )J ( )222xxxmmmnnnmxxxxx00222220011()J ( )J ( )22xxmmnnxmxxx22()22()2000011()J ()J () .22mmmnmnnmkk()0J()0 ,mmnk() 22()2001J ()2mmnmnNk (20.3.39)以（以（20.3.5）代入上式，并且考慮到）代入上式，并且考慮到第一類(lèi)齊次邊界條件第一類(lèi)齊次邊界條件 ()0J ()0,mmnk故得故得 ()

26、22()20101J()2mmnmnNk（20.3.40）()0J()0 ,mmnk2()22()2001()J ()2mmnmnnmNk（20.3.41）第三類(lèi)齊次邊界條件第三類(lèi)齊次邊界條件 ()JJmmmnkH (20.3.38)成為成為22()22()20001()J ()2mmnmnnnmNkH（20.3.42）()J ()mmnk是是完備的完備的，可作為，可作為廣義傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的基廣義傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的基 定義在區(qū)間定義在區(qū)間 , 00上的函數(shù)上的函數(shù) )(f可以展開(kāi)為廣義的可以展開(kāi)為廣義的 傅立葉貝塞爾級(jí)數(shù)傅立葉貝塞爾級(jí)數(shù) ()1()J()mnmnnffk（20.3.43）其中其中

27、廣義傅氏系數(shù)廣義傅氏系數(shù) 0()() 201( )J () dmnmnmnffkN (20.3.44)00,上，以上，以 (0)0J ()nk為基，把函數(shù)為基，把函數(shù) 0()fu（常數(shù)）展開(kāi)為傅里葉貝塞爾級(jí)數(shù)（常數(shù)）展開(kāi)為傅里葉貝塞爾級(jí)數(shù). 說(shuō)明：說(shuō)明： 其中其中 (0)(0) 2nnk是本征函數(shù)是本征函數(shù) (0)0J ()nk對(duì)應(yīng)的本征值對(duì)應(yīng)的本征值. 【解】根據(jù)【解】根據(jù)(20.3.43)和和(20.3.44) 則則(0)001J ()nnnufk0( 0 )00( 0 )201J ()dnnnfukN(0)nN由由第一類(lèi)邊界條件所對(duì)應(yīng)的模公式第一類(lèi)邊界條件所對(duì)應(yīng)的模公式(20.3.40)

28、 給出給出 本征值本征值 ( 0 )( 0 )( 0 )220 nnnxk而而 (0)nx是是0階貝塞爾函數(shù)階貝塞爾函數(shù) 0J ( ) x的第的第 n個(gè)零點(diǎn)，個(gè)零點(diǎn)， 可由可由貝塞爾函數(shù)表貝塞爾函數(shù)表查出查出 0(0)002(0)200102J () dJ ()nnnuxfx (0)0nxx，則則 (0)(0)000010(0)(0)2(0)(0)2(0)(0)0111222J ( )d J ( )J ()J ()J ()nnxxnnnnnnnuuufxxxxxxxxxxx故故(0)000(0)(0)1102J ()J ()nnnnuxuxx考慮解析函數(shù)考慮解析函數(shù) )1(2),(zzxezx

29、G在 z0內(nèi)的羅朗展式內(nèi)的羅朗展式. 注意注意 此處的此處的 x為為參變數(shù)參變數(shù)，不是復(fù)變數(shù)，不是復(fù)變數(shù) z的的實(shí)部實(shí)部. 02!)2(kkkzxzkxe02)(!)2(1lllzxzlxe， 00)1(2)(!)2(!)2(klllkkzzxzlxzkxez z0，以上兩級(jí)數(shù)在，以上兩級(jí)數(shù)在 內(nèi)是可以相乘的，且可按任意方式并項(xiàng)內(nèi)是可以相乘的，且可按任意方式并項(xiàng) , 2, 1, 0,nnlk1()22000( 1)( 1)( , )( )( )! ! 2()! ! 2xllzk lk ll nnzklnlxxG x zezzk ln l l ( , )J ( )nnnG x zx z (20.

30、3.45)1(2zzxe為為貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)（或生成函數(shù)）（或生成函數(shù)） ii,zexkr式（式（20.3.45） icosiii01J ()iJ ()J ()iJ()ikrnnnnnnnnnnnekrekrkrekreicos01J ()2i J ()coskrnnnekrkrn （20.3.46）icoskrexkr為為實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)時(shí)，時(shí)， 在物理意義上在物理意義上, 021210cos(cos )J () 2( 1) J ()cos2sin(cos )2( 1) J()cos(21)mmmmmmkrkrkrmkrkrm(22.3.47)(22.3.48)( , )J (

31、)nnnG x zx z1()211()()22(, )J () ( , ) ( , )J ( )J ( )x yzmzmnxyzzknzzknknGx y zex y zeeGx z G y zx zy zmz項(xiàng)的系數(shù)，即得項(xiàng)的系數(shù)，即得加法公式加法公式J ()J ( )J( )mkm kkxyxy (20.3.49)利用利用母函數(shù)公式母函數(shù)公式(20.3.30)和羅朗展式的系數(shù)表達(dá)式和羅朗展式的系數(shù)表達(dá)式，得到，得到 1()211J ( )d (0, 1, 2,)2ixzzmmCexzmz C0z是圍繞是圍繞 點(diǎn)的任意一條閉曲線點(diǎn)的任意一條閉曲線 C為單位圓，為單位圓， 則在則在 C上，有

32、上，有 ize22i sini1ii( sin)0011J ( )()(i)dd2i2xmxmmxeeee201J ( )cos( sin)d , (0, 1, 2,)2mxxmm （20.3.50）其中積分式中的其中積分式中的 sin( sin)xm的項(xiàng)已的項(xiàng)已被省去被省去. 0,2上其積分為零上其積分為零 式式(20.3.35)就是就是整數(shù)階貝塞爾函數(shù)的積分表達(dá)式整數(shù)階貝塞爾函數(shù)的積分表達(dá)式0m 時(shí)，有時(shí)，有 001J ( )cos( sin )dxx20.4.1 虛宗量貝塞爾方程的解虛宗量貝塞爾方程的解 分離變量方程，在分離變量方程，在 0的情況下，的情況下， )(R應(yīng)滿足應(yīng)滿足 虛宗量

33、貝塞爾方程虛宗量貝塞爾方程即為（即為（20.3.22）式）式22222dd0ddRRxxxRxx (20.4.1)若令若令 i , ( )( )x yR x，代入上方程，代入上方程 2220yyy (20.4.2)ix即可得到即可得到虛宗量貝塞爾方程虛宗量貝塞爾方程(20.4.1)的解的解.定義虛宗量貝塞爾方程的解具有下列形式定義虛宗量貝塞爾方程的解具有下列形式 1I ()J ()(i) J (i )ixx式中式中 ( i)的引入是為了確保的引入是為了確保 I ( ) x是實(shí)函數(shù)是實(shí)函數(shù). 利用利用 ( )Jx的級(jí)數(shù)形式的級(jí)數(shù)形式(20.2.1) 201J ( )( 1)()!(1)2kkkx

34、xkk222001i1I ( ) ( i)( 1)( )( i) ii ( 1)( )! (1) 2! (1) 2kkkkkkkxxxkkkk 201 I ( )()!(1)2kkxxkk(20.4.4) I ( ) x階階第一類(lèi)虛宗量貝塞爾函數(shù)第一類(lèi)虛宗量貝塞爾函數(shù).也稱為也稱為第一類(lèi)修正貝塞爾函數(shù)第一類(lèi)修正貝塞爾函數(shù)(1)當(dāng)當(dāng) 整數(shù)時(shí)，方程整數(shù)時(shí)，方程(20.4.1)的通解為的通解為 ( )I ( )I( )y xCxDx (20.4.5),C D為任意常數(shù)為任意常數(shù). (2)當(dāng)當(dāng) 取任意值時(shí)：取任意值時(shí)： 由于任意值中可能包含由于任意值中可能包含 m整數(shù)整數(shù). I( )i J(i )i

35、( i) J (i )( i) J (i )I ( )mmmmmmmmmxxxxx I ( ),I( )mmxx因此要求方程因此要求方程 (20.4.1)的的通解通解，必須先求出與，必須先求出與 I ( )mx線性無(wú)關(guān)的線性無(wú)關(guān)的另一特解另一特解. 為此我們定義為此我們定義I( )I ( )K ( )2sinxxx(20.4.6)又稱為又稱為麥克唐納麥克唐納(Macdonale)函數(shù)函數(shù)， 或或第二類(lèi)修正貝塞爾函數(shù)第二類(lèi)修正貝塞爾函數(shù) 這樣定義后，不管這樣定義后，不管 是否為整數(shù)，是否為整數(shù)， K ( )x和和 I ( ) x一起總能構(gòu)成虛宗量貝塞爾方程一起總能構(gòu)成虛宗量貝塞爾方程(20.4.

36、1)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的通解的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的通解 故得到當(dāng)故得到當(dāng) 取任意值時(shí)球貝塞爾方程的取任意值時(shí)球貝塞爾方程的通解通解為為 ( )I ( )K ( )y xCxDx（ 任意值） ,C D其中其中 是兩任意常數(shù)是兩任意常數(shù) 階階第二類(lèi)虛宗量貝塞爾函數(shù)第二類(lèi)虛宗量貝塞爾函數(shù)， I ()( 1) I ( )mmmxx m 奇數(shù)奇數(shù)I ( )mx為奇函數(shù)為奇函數(shù) m偶數(shù)偶數(shù) I ( )mx為偶函數(shù)為偶函數(shù) 0m 246024262I ( )122 (2!)2 (3!)xxxx (20.4.8)0I (0)1, I (0)0 (0)mm（2）由級(jí)數(shù)表達(dá)式知，當(dāng)）由級(jí)數(shù)表達(dá)式知，當(dāng)x是大于零的實(shí)數(shù)時(shí)，是

37、大于零的實(shí)數(shù)時(shí)， I ( ) x沒(méi)有實(shí)零點(diǎn)沒(méi)有實(shí)零點(diǎn); ( 3 ) 遞推公式遞推公式1111112I( )I( )I ( ), I( )I( )2I ( )I ( )I ( ) = I( ), I ( )I ( )= I( )mmmmmmmmmmmmmxxxxxxxmmxxxxxxxx(20.4.9) 根據(jù)定義式根據(jù)定義式(20.4.5)，給出當(dāng)，給出當(dāng) m1120201(1)!K ( )( 1)lnI ( )( 1)( )22!2( 1)1 ()( )( )2!()!2mmkmkmmkmmkkxmkxxxkxmkkk mk (20.4.10) 0.577216是是歐拉常數(shù)歐拉常數(shù). 11(

38、)knkn1111112K ( ) K ( )K ( ), K ( ) K ( )2K ( )K ( )K ( )K ( ), K ( )K ( )K ( )mmmmmmmmmmmmmxxxxxxxmmxxxxxxxx用球坐標(biāo)系對(duì)亥姆霍茲方程進(jìn)行分離變量，得用球坐標(biāo)系對(duì)亥姆霍茲方程進(jìn)行分離變量，得 球貝塞爾方程球貝塞爾方程(14.4.25)即即 22222dd2(1)0ddRRrrk rl lRrr (20.5.1)稱為稱為l階階球貝塞爾方程球貝塞爾方程 0kr)(rRx)(xy和函數(shù)和函數(shù)分別換作分別換作和和，令令 krx ( )( )2R ry xx 則則22222dd10dd2yyxxx

39、lyxx(20.5.2)即為（即為（ 21l）階貝塞爾方程階貝塞爾方程 而對(duì)于而對(duì)于 0k，方程，方程(20.5.1)即為即為 歐拉型方程歐拉型方程,解為解為 1)(llrDCrrR12J( )lx12N( )lx或或12(1)H( )lx12(2)H( )lx再將它們每一個(gè)乘以再將它們每一個(gè)乘以 2x即得到下列定義：即得到下列定義： 12j ( )J( )2llxxx11221()n ( )N( )( 1)J( )22llllxxxxx (20.5.3)j ( )lx為第一類(lèi)球貝塞爾函數(shù)第一類(lèi)球貝塞爾函數(shù)， n ( )lx為第二類(lèi)球貝塞爾函數(shù)第二類(lèi)球貝塞爾函數(shù)或球諾依曼函數(shù)球諾依曼函數(shù)1212(1)(1)(2)(2)h ( )H( )j ( )i n ( )2h( )H( )j ( ) i n ( )2llllllllxxxxxxxxxx (20.5.4)( )j ( )n ( )lly xCxDx(1)(2)( )h( )h( )lly xCxDx (20.5.5)(20.5.6)其中其中,C D為兩個(gè)任意實(shí)數(shù)為兩個(gè)任意實(shí)數(shù) 20.5.3 球貝塞爾函數(shù)的級(jí)數(shù)表示球貝塞爾函數(shù)的級(jí)數(shù)表示根據(jù)球貝塞爾函數(shù)的定義式和貝塞爾函數(shù)的級(jí)數(shù)表示得到根據(jù)球貝塞爾函數(shù)的定義式和貝塞爾函數(shù)的級(jí)數(shù)表示得到20()!j ( )2( 1)!(21)!llkklkklxxxkkl (