2012屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)推理與證明專項(xiàng)教案

1、2012屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)推理與證明專項(xiàng)教案推理與證明【專題要點(diǎn)】1.歸納推理:主要應(yīng)用于先由已知條件歸納出一個(gè)結(jié)論,并加以證明或以 推理作為題目的已知條件給出猜測(cè)的結(jié)論,并要求考生會(huì)應(yīng)用或加以證 明.2.類比推理:通過(guò)兩類事物的相似性或一致性,用一類事物的性質(zhì)去推測(cè) 另一類事物的性質(zhì),得出一個(gè)明確的結(jié)論.常見(jiàn)的有結(jié)論類比和方法類 比.3.演繹推理4.證明1綜合法和分析法:會(huì)用這兩種方法證明具體問(wèn)題;2反證法近幾年高考中加大了其考察力度.3數(shù)學(xué)歸納法.在有關(guān)正整數(shù)的問(wèn)題證明時(shí)常用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.【考綱要求】1合情推理與演繹推理1了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解

2、合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.2了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們 進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理.3了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異2直接證明與間接證明 了解直接證明的兩種基本方法 分析法和綜合法；了解分析法和 綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn).了解間接證明的一種基本方法 一反證法；了解反證法的思考過(guò)程、 特點(diǎn).3數(shù)學(xué)歸納法 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.【知識(shí)縱橫】【教法指引】高考的 “推理與證明 ”一般不單獨(dú)設(shè)題， 主要和其他知識(shí)結(jié)合在一起， 屬 于綜合題，可以綜合在諸如立體幾何、解析幾何、數(shù)列、函數(shù)、不等 式等內(nèi)容中，既有計(jì)算又有證明，解決此類題目時(shí)，

3、一定要建立合理 的解題思路，對(duì)典型的證明方法一定要掌握。在“推理與證明 ”的內(nèi)容中， “合情推理 ”是一種重要的歸納， 主要從已知 條件歸納出一個(gè)結(jié)論，可以是形式上的歸納，也可以是數(shù)學(xué)性質(zhì)的歸 納，一般以客觀題的形式出現(xiàn)；演繹推理則是邏輯思維能力的一個(gè)重 要體現(xiàn)，試題中考查該部分內(nèi)容的比例較大，命題時(shí)既可以使用選擇 題、填空題的形式， 又可以在解答題型中，以證明題的形式進(jìn)行考查， 立體幾何是考查 “演繹推理 ”的最好教材。“直接證明和間接證明 ”在高考中一般也不會(huì)直接命題， 仍然是以其他知 識(shí)為載體，在考查其他知識(shí)的同時(shí)，考查本部分內(nèi)容，是每年高考的考查重點(diǎn)，幾乎涉及數(shù)學(xué)的各方面知識(shí)，代表著研

4、究性命題的發(fā)展趨勢(shì)，選擇題、填空題、解答題都可能涉及。該部分命題的方向主要在 函數(shù)、三角恒等變換、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面，主要以考 查“直接證明 ”中的綜合法為主。由于 “數(shù)學(xué)歸納法 ”僅限于與自然數(shù)有關(guān)的命題， 故單獨(dú)命題的可能性不 大，多數(shù)以數(shù)列及不等式為載體來(lái)綜合考查。高考常見(jiàn)的題型有：證 明等式問(wèn)題、證明不等式問(wèn)題、證明整除問(wèn)題和解決數(shù)列中的探究性 問(wèn)題等，但不排除在客觀題中考查數(shù)學(xué)歸納法的原理和證明步驟。 【典例精析】1.考查類比推理例1（2003年全國(guó)卷）在平面幾何里，由勾股定理：“設(shè)的兩邊互相垂直， 則”，拓展到空間，類比平面幾何勾股定理， 可以得到的正確的結(jié)論是： “設(shè)

5、三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩互相垂直，則 ”。解：如圖，作，垂足為，連接由三個(gè)側(cè)面兩兩相互垂直可知 在中， 得，又；所以點(diǎn)評(píng):這道題目考察的是平面到空間的推廣類比解答這類題目不能只 滿足結(jié)論形式上的相似，還必須是真命題，結(jié)論的推導(dǎo)還是要從平面結(jié)論下手，一般在推導(dǎo)空間的結(jié)論時(shí)要用到平面的結(jié)論，或利用類似 平面結(jié)論推導(dǎo)的方法，如等面積法類比等體積，直線類比作平面等 例2（2009年浙江卷理科第15題）觀察下列等式：由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于，答案： 【解析】這是一種需類比推理方法破解的問(wèn)題，結(jié)論由二項(xiàng)構(gòu)成，第 二項(xiàng)前有，二項(xiàng)指數(shù)分別為，因此對(duì)于， 。2.考查歸納推理例3（2009年福建卷理科第1

6、6題）五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī) 定：1第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1.第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)也為1，之 后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和；2若報(bào)出的是為3的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手一次，當(dāng)?shù)?0個(gè)數(shù)被報(bào)出時(shí)，五位同學(xué)拍手的總次數(shù)為 答案：7次【解析】這樣得到的數(shù)列這是歷史上著名的數(shù)列，叫斐波那契數(shù)列.尋找規(guī)律是解決問(wèn)題的根本，否則，費(fèi)時(shí)費(fèi)力.首先求出這個(gè)數(shù)列的每一 項(xiàng)除以3所得余數(shù)的變化規(guī)律，再求所求就比較簡(jiǎn)單了.這個(gè)數(shù)列的變化規(guī)律是：從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始遞增，且是前兩項(xiàng)之和，那 么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987分

7、別除以3得余數(shù)分別是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0由此可見(jiàn)余數(shù)的變化規(guī)律是按1、1、2、0、2、2、1、0循環(huán)，周期是8.在這一個(gè)周期內(nèi)第四個(gè)數(shù)和第八個(gè)數(shù)都是3的倍數(shù)，所以在三個(gè)周期內(nèi)共有6個(gè)報(bào)出的數(shù)是三的倍數(shù)，后面6個(gè)報(bào)出的數(shù) 中余數(shù)是1、1、2、0、2、2，只有一個(gè)是3的倍數(shù)，故3的倍數(shù)總共 有7個(gè)，也就是說(shuō)拍手的總次數(shù)為7次.例4(2008湖北，1 5)觀察下列等式：可以推測(cè)，當(dāng)x2(kN*)時(shí)，ak-2=.解析：。例5(2008年江蘇10)將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第行()從左向右的第3個(gè)數(shù)為【解析】本小題考查歸納推理和等差數(shù)列

8、求和公式前n1行共有正整數(shù)1+2+(n1)個(gè)，即個(gè)，因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整 數(shù)中第3個(gè)，即為【答案】3.證明 例6（2008江蘇卷21）設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：證明：因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，由平均不等式可得即所以，而所以4反證法反證法是屬于 “間接證明法 ”一類，是從反面的角度思考問(wèn)題的證明方法， 即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得。反證法就是從否 定命題的結(jié)論入手，并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn) 行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或 者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯 定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。例7已知，求證

9、：不能同時(shí)大于。證法一：假設(shè)三式同時(shí)大于，即， ，三式同向相乘得，又同理，這與假設(shè)矛盾，故原命題得證。證法二：假設(shè)三式同時(shí)大于， ， 同理三式相加得，這是矛盾的，故假設(shè)錯(cuò)誤，所以原命題正確 點(diǎn)評(píng)：“不能同時(shí)大于 ”包含多種情形，不易直接證明，可用反證法證明。 即正難則反1）當(dāng)遇到否定性、唯一性、無(wú)限性、至多、至少、等類型問(wèn)題時(shí)，常用反證法。（2）用反證法的步驟是： 否定結(jié)論 而不合理3因此結(jié)論不能否定，結(jié)論成立。5數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法， 在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n=1（或n）時(shí)成立，這是

10、遞推的基礎(chǔ)；第二步是 假設(shè)在n=k時(shí)命題成立，再證明n=k+1時(shí)命題也成立，這是無(wú)限遞 推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí) 際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無(wú)限。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)， 缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定 對(duì)任何自然數(shù)（或nr且nN） 結(jié)論都正確 ”。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的， 屬于完全歸納。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是n=k+1時(shí)命題成立的推證，此 步證明要具有目標(biāo)意識(shí)， 注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較， 以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)完成解 題。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問(wèn)題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代 數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問(wèn)題、幾何問(wèn)題、整除性問(wèn)題等等。例8（2007上海文、理）設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足： “當(dāng) 成立時(shí)，總可推出成立 ”那么，下列命題總成立的是(D)A.若成立，則成立E.若成立，則成立C.若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立D.若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立