四三個典型的分子速率統(tǒng)計平均值

1、Xian Jiaotong University Xu, Zhongfeng 2010Zhongfeng XuXian Jiaotong University Xu, Zhongfeng 2010四四. .三個典型的分子速率統(tǒng)計平均值三個典型的分子速率統(tǒng)計平均值 MRTkTP41. 12v（1 1）The most probable speed 例：求例：求 100PPvv解：解： 100PPvv之間的分子幾率？之間的分子幾率？ vvvkTekTNN2/22/32)2(4PPPvvvv100991005012Pvvvvvvvvv22234PeP%66. 1（2）The average spee

2、d NNiivvvvv0d)(1NfNNNdvvvv d)(dNfN 0d(dpvvvv)fXian Jiaotong University Xu, Zhongfeng 2010vvvv0d )( fMRTkT59. 18 21d032xexx21d)(vvvvvf思考：思考： 是否表示在是否表示在v1 v2 區(qū)間內的平均速率區(qū)間內的平均速率 ？vvvv0d)(fd21NNvvvvd )(21NNfvvvvv221)(d)(vvvv1vvvvvdff(3) The average of squared speed vvvvd )(21fNN022)d(vvvvfNNii22vv8/3d042x

3、exxkT3kT32vXian Jiaotong University Xu, Zhongfeng 2010一般三種速率一般三種速率用途用途各不相同各不相同 說明說明MRTkT73. 132vMRT59. 1vMRTP41. 1v三個典型速率的比較：三個典型速率的比較： v討論討論速率分布速率分布一般用一般用pv討論分子的討論分子的碰撞次數碰撞次數用用2v討論分子的討論分子的平均平動動能平均平動動能用用氦氣的速率分布曲線氦氣的速率分布曲線例例1 1 求求(2)(2)氫氣在該溫度時的最概然速氫氣在該溫度時的最概然速率和方均根速率率和方均根速率(1)(1)畫出同溫度下氫氣的速率分畫出同溫度下氫氣的

4、速率分 布曲線的情況布曲線的情況; ; 1000He2H)(vf)m/s(vO OXian Jiaotong University Xu, Zhongfeng 2010解解10001023RT3H10)(2RTpvm/s1041.13MRT3)(2H2vm/s1073. 13MRT2pv有有N 個個粒子，其速率分布函數為粒子，其速率分布函數為00000202)(0vvvvvvvvvvafa例例2 2 (1) 求歸一化常數求歸一化常數 a(2) 速率大于速率大于v0 和速率小于和速率小于v0 的粒子數的粒子數求求解解032va12100aavv(1)(1)1dd000200vvvvvvvaa33

5、10210RT0va)(vf02vvOXian Jiaotong University Xu, Zhongfeng 2010(2)(2)分布曲線下的面積分布曲線下的面積 速率區(qū)間內分子與總分子數的比率速率區(qū)間內分子與總分子數的比率323200vv因此，因此，v v0 的分子數為的分子數為( 2N / 3 )同理同理 v v0 的分子數為的分子數為 ( N / 3 )a0vNN0vv NN32的分子比率為：的分子比率為：0va)(vf02vvO Ov1根據定義，速率倒數的平均值為根據定義，速率倒數的平均值為 解解例例3 3 0d)(1)1(vvvvfvvvd)2(4022/32kTekT由麥克斯

6、韋速率分布律，求速率倒數的平均值由麥克斯韋速率分布律，求速率倒數的平均值 。 )2(d)()2(42022/32vvkTekTkTkTv4482kTkT Xian Jiaotong University Xu, Zhongfeng 2010根據麥克斯韋速率分布率，試證明分子速率在最概然速率根據麥克斯韋速率分布率，試證明分子速率在最概然速率T22/2/32)2(4)(vvvkTekTf2/3224vvvvpep114)(efppvv例例4 證：證：vvv124)(ekTNNfNpTN1vpvp+v 區(qū)間內的分子數與溫度區(qū)間內的分子數與溫度 成反比成反比 ( 設設v 很小很小)證明了分子數與溫度的

7、關系證明了分子數與溫度的關系 將將vp 代入速率分布定律中，有代入速率分布定律中，有思考：思考：下列各式的意義下列各式的意義vv d)(fvvv0d)(f2vvvv1d)(Nf0d)(vvNfNNdNNNN02d)(21vvv f21d)(vvvvvf?v? Xian Jiaotong University Xu, Zhongfeng 2010vvvkTekTNN2/22/32)2(4 221vvvkTekTNN/2123)(2兩邊微分兩邊微分五五. . 氣體分子按平動動能的分布規(guī)律氣體分子按平動動能的分布規(guī)律表明理想氣體在平衡態(tài)下，分子動能在表明理想氣體在平衡態(tài)下，分子動能在 + 區(qū)間區(qū)間內

8、的分子數與總分子數的比率。內的分子數與總分子數的比率。意義：意義：思考：思考：(1)(1)最概然平動動能最概然平動動能等于等于最概然速率所對應的平動動能最概然速率所對應的平動動能? ?kTkTP221212Pv? kTP21(2)(2)平均平動動能平均平動動能kT23)(f結果：當氣體處于平衡態(tài)時，其分子的運動結果：當氣體處于平衡態(tài)時，其分子的運動方向和速率是多種多樣的，但分子速率遵循方向和速率是多種多樣的，但分子速率遵循一個完全穩(wěn)定的統(tǒng)計分布規(guī)律。一個完全穩(wěn)定的統(tǒng)計分布規(guī)律。Xian Jiaotong University Xu, Zhongfeng 2010討論討論kTekTF/2/12/

9、3)(2)(1) 最概然平動動能最概然平動動能0d)(dPF0121/2/1/2/1kTkTekTekTP21221PPv？理想氣體在平衡態(tài)下，分子動能分布在理想氣體在平衡態(tài)下，分子動能分布在 p 附近，附近，單位動能區(qū)間內的分子數占分子數的百分比單位動能區(qū)間內的分子數占分子數的百分比(2) 平均平動動能平均平動動能kTxexkTxexkTkTekTkTekTFxxkTkT23d23d2 )/d()/(2 d)(2d)(02/102/30/2/30/2/32/30Xian Jiaotong University Xu, Zhongfeng 201012.4 溫度的微觀本質溫度的微觀本質一一.

10、理想氣體溫度與分子平均平動動能的關系理想氣體溫度與分子平均平動動能的關系221vkTkT23321 理想氣體分子的平均平動動能為理想氣體分子的平均平動動能為 每個分子平均平動動能只與溫度有關，與氣體的種類無關。每個分子平均平動動能只與溫度有關，與氣體的種類無關。說明說明(1) 溫度是大量分子熱運動溫度是大量分子熱運動平均平動動能平均平動動能的度量的度量. .它反映了它反映了 宏觀量宏觀量T 與微觀量與微觀量的統(tǒng)計平均值之間的關系。的統(tǒng)計平均值之間的關系。(2) 溫度是統(tǒng)計概念，是大量分子熱運動的集體表現(xiàn)。溫度是統(tǒng)計概念，是大量分子熱運動的集體表現(xiàn)。 對于單個或少數分子來說，溫度的概念就失去了意

11、義。對于單個或少數分子來說，溫度的概念就失去了意義。 Xian Jiaotong University Xu, Zhongfeng 2010nkTp np32kTn2332二二. 理想氣體定律的推證理想氣體定律的推證1. 理想氣體定律理想氣體定律在相同的溫度和壓強下，各種氣體的分子數密度相等。在相同的溫度和壓強下，各種氣體的分子數密度相等。2. 道爾頓分壓定律道爾頓分壓定律混合氣體的分子數密度為混合氣體的分子數密度為 21nnn溫度相同溫度相同 .21混合氣體的壓強為混合氣體的壓強為 22113232 nn 21pp np32混合氣體的壓強等于各種氣體的分壓強之和。混合氣體的壓強等于各種氣體的

12、分壓強之和。Xian Jiaotong University Xu, Zhongfeng 2010有一容積為有一容積為10cm3 的電子管，當溫度為的電子管，當溫度為300K時用真空泵時用真空泵抽成高真空，使管內壓強為抽成高真空，使管內壓強為510-6 mmHg。 (1) 此時管內氣體分子的數目；此時管內氣體分子的數目； (2) 這些分子的總平動動能。這些分子的總平動動能。解解例例求求3001038. 1103 .1331052356kTpVnVN121061. 1(1) 由理想氣體狀態(tài)方程得由理想氣體狀態(tài)方程得(2) 每個分子平均平動動能每個分子平均平動動能kT23 N 個分子總平動動能為個

13、分子總平動動能為J10238kTNN 說明說明管內壓強為管內壓強為 已屬高真空度，此時管內仍已屬高真空度，此時管內仍有有 分子，可見所謂分子，可見所謂“真空真空”并非無物。并非無物。 Pa1067. 64121061. 1Xian Jiaotong University Xu, Zhongfeng 201012.5 能量按自由度均分原理能量按自由度均分原理研究熱運動研究熱運動能量能量所遵從的統(tǒng)計規(guī)律。所遵從的統(tǒng)計規(guī)律。 目的：目的：一一. .氣體分子自由度氣體分子自由度完全確定一物體空間完全確定一物體空間位置位置所需的所需的獨立坐標數目獨立坐標數目分子結構分子結構 分子模型分子模型自由度數目自

14、由度數目單原子單原子 雙原子雙原子多原子多原子356質點質點剛體剛體由剛性桿連接的兩個質點由剛性桿連接的兩個質點說明說明:(1) 分子的自由度不僅取決于內部結構，還取決于溫度。分子的自由度不僅取決于內部結構，還取決于溫度。(2) 實際上實際上，雙原子、多原子分子并不完全是剛性的，還有振雙原子、多原子分子并不完全是剛性的，還有振動自由度。但在常溫下，將其分子作為剛性處理，能給出與實動自由度。但在常溫下，將其分子作為剛性處理，能給出與實驗大致相符的結果驗大致相符的結果。因此，可不考慮分子內部的振動，而認為因此，可不考慮分子內部的振動，而認為分子都是剛性的分子都是剛性的。Xian Jiaotong

15、University Xu, Zhongfeng 2010二二. 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理理想氣體分子的平均平動動能：理想氣體分子的平均平動動能：kT23212v 22222121212131zyxvvvvkTzyx21212121222vvv222231zyxvvvv平衡態(tài)中，分子沿各方平衡態(tài)中，分子沿各方向運動機會均等向運動機會均等 對于處在溫度為對于處在溫度為T 的平衡態(tài)下的系統(tǒng)，其分子在每個自由的平衡態(tài)下的系統(tǒng)，其分子在每個自由 度上都具有相同的平均動能度上都具有相同的平均動能 kT/2 能量按自由度均分能量按自由度均分。 （1）能量按自由度均分）能量按自由度均分是大量

16、分子是大量分子統(tǒng)計統(tǒng)計平均平均的結果的結果，是是分分子間的頻繁子間的頻繁碰撞而致碰撞而致。該該定理具有普適性定理具有普適性，不僅適用于分子的平，不僅適用于分子的平動，也適用分子的動，也適用分子的轉動轉動和和振動振動，還適用于，還適用于液體液體和和固體固體。說明說明Xian Jiaotong University Xu, Zhongfeng 2010(2) 若某種氣體分子具有若某種氣體分子具有t 個個平動自由度和平動自由度和r 個轉動自由度個轉動自由度，s 個個 振動自由度，則分子的平均總動能為振動自由度，則分子的平均總動能為：kTikTsrtkTskTrkTtk221222(3) 由振動的知識，在一個周期內，