均勻設(shè)計方法

1、均勻設(shè)計法均勻設(shè)計法基本原理基本原理 一、引言一、引言 正交試驗設(shè)計利用：正交試驗設(shè)計利用： 均衡分散：試驗點在試驗范圍內(nèi)排列規(guī)律整齊均衡分散：試驗點在試驗范圍內(nèi)排列規(guī)律整齊 整齊可比：試驗點在試驗范圍內(nèi)散布均勻整齊可比：試驗點在試驗范圍內(nèi)散布均勻 可以進行部分試驗而得到基本上反映全面情況的可以進行部分試驗而得到基本上反映全面情況的試驗結(jié)果，但是，當試驗中因素數(shù)或水平數(shù)比較大時，試驗結(jié)果，但是，當試驗中因素數(shù)或水平數(shù)比較大時，正交試驗的次數(shù)也會很大。如正交試驗的次數(shù)也會很大。如5因素因素5水平，用正交表水平，用正交表需要安排需要安排5525次試驗。這時，可以選用均勻設(shè)計法，次試驗。這時，可以選

2、用均勻設(shè)計法，僅用僅用5次試驗就可能得到能滿足需要的結(jié)果次試驗就可能得到能滿足需要的結(jié)果 1978年，七機部由于導(dǎo)彈設(shè)計的要求，提出了一個五年，七機部由于導(dǎo)彈設(shè)計的要求，提出了一個五因素的試驗，希望每個因素的水平數(shù)要多于因素的試驗，希望每個因素的水平數(shù)要多于10，而試，而試驗總數(shù)又不超過驗總數(shù)又不超過50，顯然優(yōu)選法和正交設(shè)計都不能用，顯然優(yōu)選法和正交設(shè)計都不能用，方開泰與王元經(jīng)過幾個月的共同研究，提出了一個新方開泰與王元經(jīng)過幾個月的共同研究，提出了一個新的試驗設(shè)計，即所謂的試驗設(shè)計，即所謂“均勻設(shè)計均勻設(shè)計”，將這一方法用于，將這一方法用于導(dǎo)彈設(shè)計，取得了成效導(dǎo)彈設(shè)計，取得了成效 均勻設(shè)計法

3、與正交設(shè)計法的不同：均勻設(shè)計法與正交設(shè)計法的不同： 均勻設(shè)計法不再考慮均勻設(shè)計法不再考慮“數(shù)據(jù)整齊可比數(shù)據(jù)整齊可比”性，只考慮試性，只考慮試驗點在試驗范圍內(nèi)充分驗點在試驗范圍內(nèi)充分“均衡分散均衡分散” 均勻設(shè)計屬于近年發(fā)展起來的均勻設(shè)計屬于近年發(fā)展起來的“偽蒙特卡羅方法偽蒙特卡羅方法”的的范籌。將經(jīng)典的確定的單變量問題的計算方法推廣后范籌。將經(jīng)典的確定的單變量問題的計算方法推廣后用于多變量問題的計算時，計算量往往跟變量個數(shù)有用于多變量問題的計算時，計算量往往跟變量個數(shù)有關(guān)，即使電腦再進步很多，這種方法仍無法實際應(yīng)用，關(guān)，即使電腦再進步很多，這種方法仍無法實際應(yīng)用，烏拉母（烏拉母（S.Ulam）

4、與馮諾依曼）與馮諾依曼(J.von Neumann)在在40年年代提出蒙特卡羅方法，即統(tǒng)計模擬方法，這個方法的代提出蒙特卡羅方法，即統(tǒng)計模擬方法，這個方法的大意是將一個分析問題化為一個有同樣解答的概率問大意是將一個分析問題化為一個有同樣解答的概率問題，然后用統(tǒng)計模擬的方法來處理后面這個問題，這題，然后用統(tǒng)計模擬的方法來處理后面這個問題，這樣使一些困難的分析問題反而得到了解決，例如多重樣使一些困難的分析問題反而得到了解決，例如多重定積分的近似計算。蒙特卡羅方法的關(guān)鍵是找一組隨定積分的近似計算。蒙特卡羅方法的關(guān)鍵是找一組隨機數(shù)作為統(tǒng)計模擬之用，所以這一方法的精度在于隨機數(shù)作為統(tǒng)計模擬之用，所以這一

5、方法的精度在于隨機數(shù)的均勻性與獨立性。機數(shù)的均勻性與獨立性。 二、均勻設(shè)計表二、均勻設(shè)計表 均勻設(shè)計表符號表示的意義均勻設(shè)計表符號表示的意義U7(76)均勻表的代號試驗次數(shù)因素的水平數(shù)因素數(shù) 如如U6(64)表示要做次表示要做次6試驗，每個因素有試驗，每個因素有6個水個水平，該表有平，該表有4列。列。 1234112362246533624441535531266541U6(64)列號試驗號 每個均勻設(shè)計表都附有一個使用表，它指示我們?nèi)绾螐脑O(shè)每個均勻設(shè)計表都附有一個使用表，它指示我們?nèi)绾螐脑O(shè)計表中選用適當?shù)牧?，以及由這些列所組成的試驗方案的計表中選用適當?shù)牧校约坝蛇@些列所組成的試驗方案的均勻

6、度。下表是均勻度。下表是U6(64)的使用表。它告訴我們，若有兩個因的使用表。它告訴我們，若有兩個因素，應(yīng)選用素，應(yīng)選用1，3兩列來安排試驗；若有三個因素，應(yīng)選用兩列來安排試驗；若有三個因素，應(yīng)選用1，2，3三列，三列，最后，最后1列列D表示刻劃均勻度的偏差表示刻劃均勻度的偏差(discrepancy)，偏差值越小，表示均勻度越好。，偏差值越小，表示均勻度越好。s列號D2130.187531230.2656412340.2990U6(64)的使用表均勻設(shè)計有其獨特的布（試驗）點方式：均勻設(shè)計有其獨特的布（試驗）點方式： 每個因素的每個水平做一次且僅做一次試驗每個因素的每個水平做一次且僅做一次試

7、驗 任兩個因素的試驗點點在平面的格子點上，每行每列任兩個因素的試驗點點在平面的格子點上，每行每列有且僅有一個試驗點有且僅有一個試驗點 以上兩個性質(zhì)反映了均勻設(shè)計試驗安排的以上兩個性質(zhì)反映了均勻設(shè)計試驗安排的“均衡性均衡性”，即對，即對各因素，每個因素的每個水平一視同仁。各因素，每個因素的每個水平一視同仁。 均勻設(shè)計表任兩列組成的試驗方案一般并不等價均勻設(shè)計表任兩列組成的試驗方案一般并不等價 例如用例如用U6(64)的的1，3 和和1，4列分別畫圖，得到下面的列分別畫圖，得到下面的圖圖 (a)和圖和圖 (b)。我們看到，。我們看到，(a)的點散布比較均勻，而的點散布比較均勻，而(b)的點散布并不

8、均勻。均勻設(shè)計表的這一性質(zhì)和正交的點散布并不均勻。均勻設(shè)計表的這一性質(zhì)和正交表有很大的不同，因此，每個均勻設(shè)計表必須有一個表有很大的不同，因此，每個均勻設(shè)計表必須有一個附加的使用表。附加的使用表。 三、試驗結(jié)果分析三、試驗結(jié)果分析均勻設(shè)計的結(jié)果沒有整齊可比性，分析結(jié)均勻設(shè)計的結(jié)果沒有整齊可比性，分析結(jié)果不能采用一般的方差分析方法，通常要用回果不能采用一般的方差分析方法，通常要用回歸分析或逐步回歸分析的方法歸分析或逐步回歸分析的方法：01 1_1_12_1_122,1,2,(82)1,2,(83)(84)(8 1)knijijikikkNiiyikkKNyykiNiiimmikikLxxxxi

9、jmLyxxyyimLybb xb xb xxyxxyyx令代表因素 在第k次試驗時取的值，表示響應(yīng)值在第 次試驗的結(jié)果。1,2,(85)im_111 11121 1221 1_011(86)87NkiMmymmymmmmmyNiiiyyNL bLbLL bL bLL bLbLbyb y回歸方程組系數(shù)由下列正規(guī)方程組決定：（ ）2211112()(89)mTmiiijijiiimiiijijib xb x xb xTCx xx0當各因素與響應(yīng)值關(guān)系是非線性關(guān)系時，或存在因素的交互作用時，可采用多項式回歸分析的方法例如各因素與響應(yīng)值均為二次關(guān)系時的回歸方程為：y=b其中反映了因素間的多互效應(yīng)，反

10、映因素而此項的銀杏，通過變量代換(8-9)式可化為多元線性方程求解。12201(1,2,;1)(8 10)(89)()(8 11)Uijm Tllmlxx xim jybb xTC即令方程化為在這種情況下，為了求得二次項和交互作用項，就不能選用試驗次數(shù)等于因素數(shù)的均勻設(shè)計表，二必須選用試驗次數(shù)大于或等于回歸方程系數(shù)總數(shù)的 表了應(yīng)用舉例 利用均勻設(shè)計表來安排試驗的步驟：利用均勻設(shè)計表來安排試驗的步驟： （1）根據(jù)試驗的目的，選擇合適的因素和相應(yīng)的水平。）根據(jù)試驗的目的，選擇合適的因素和相應(yīng)的水平。 （2）選擇適合該試驗的均勻設(shè)計表，然后根據(jù)該表的）選擇適合該試驗的均勻設(shè)計表，然后根據(jù)該表的使用表

11、從中選出列號，將因素分別安排到這些列號上，使用表從中選出列號，將因素分別安排到這些列號上，并將這些因素的水平按所在列的指示分別對號，則試并將這些因素的水平按所在列的指示分別對號，則試驗就安排好了驗就安排好了 在阿魏酸的合成工藝考察中，為了提高產(chǎn)量，在阿魏酸的合成工藝考察中，為了提高產(chǎn)量，選取了原料配比選取了原料配比(A)、吡啶量、吡啶量(B)和反應(yīng)時間和反應(yīng)時間(C)三個因素，它們各取了三個因素，它們各取了7個水平如下：個水平如下： 原料配比（原料配比（A）：）：1.0，1.4，1.8，2.2，2.6，3.0，3.4 吡啶量（吡啶量（B）(ml)：10，13，16，19，22，25，28 反應(yīng)

12、時間（反應(yīng)時間（C）(h)：0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0，3.5 7個水平，需要安排個水平，需要安排7次試驗，根據(jù)因素和水平，我們次試驗，根據(jù)因素和水平，我們可以選用可以選用U7(76)完成該試驗。完成該試驗。1234561123656224653533624144415363553124266541217777777U7(76)列號試驗號因素數(shù)列號2133123412365123466123456U7(76)使用表使用表U7(76)共有6列，現(xiàn)在有3個因素，根據(jù)其使用表，應(yīng)該取1，2，3列安排試驗。No.配比配比（A）吡啶量吡啶量（B）反應(yīng)時反應(yīng)時間（間（C）收率收率（Y）

13、11.0(1)13(2)1.5(3)0.33021.4(2)19(4)3.0(6)0.33631.8(3)25(6)1.0(2)0.29442.2(4)10(1)2.5(5)0.47652.6(5)16(3)0.5(1)0.20963.0(6)22(5)2.0(4)0.45173.4(7)28(7)3.5(7)0.482制備阿魏酸的試驗方案U7(73)和結(jié)果根據(jù)試驗方案進行試驗，其收率根據(jù)試驗方案進行試驗，其收率(Y)列于表的列于表的最后一列，其中以第最后一列，其中以第7號試驗為最好，其工藝號試驗為最好，其工藝條件為配比條件為配比3.4，吡啶量，吡啶量28ml，反應(yīng)時間，反應(yīng)時間3.5h。我們

14、可用線性回歸模型來擬合上表的試驗數(shù)據(jù)我們可用線性回歸模型來擬合上表的試驗數(shù)據(jù)n7 70.330,1.0,13,1.5), 0.3361.4,19,3.0ijL解：這時 ，組觀測值為(，）(0.482,3.4,29,3.5),它們的均值為：_1231112121222323331232.2192.00.36834.4816.81.40.2404252.010.50.56407.00.52450.037,0.00343,0.0770.36830.0372.20.00343 190.yyyijjixxxyLLLLLLLLLLLbbba 由于，故不必全部列出，將它們代入方程組中可以解得從而0772.0

15、0.2011230.07,0.201 0.0370.003430.0077(8 12)YXXX于是回歸方程為：進一步對它做方差分析，其方差分的估計析表如下：方差來源自由度平方和均方F回歸誤差總和3360.0487700.0148380.0636080.0162570.0049463.29方差分析表,13,30.05 F( )(0.05) 9.283.29mn mFFF 當時 表的臨界值回歸方程不可信。 現(xiàn)在用逐步回歸分析的方法來篩選變量：現(xiàn)在用逐步回歸分析的方法來篩選變量：逐步回歸是回歸分析中的一種篩選變量的技術(shù)逐步回歸是回歸分析中的一種篩選變量的技術(shù).開開始它將貢獻最大的一個變量選入回歸方程

16、，并且預(yù)先始它將貢獻最大的一個變量選入回歸方程，并且預(yù)先確定兩個閾值確定兩個閾值Fin和和Fout，用于決定變量能否入選或剔除，用于決定變量能否入選或剔除.逐步回歸在每一步有三種可能的功能：逐步回歸在每一步有三種可能的功能： 將一個新變量引進回歸模型，這時相應(yīng)的將一個新變量引進回歸模型，這時相應(yīng)的F統(tǒng)計量必須大于統(tǒng)計量必須大于Fin 將一個變量從回歸模型中剔除，這時相應(yīng)的將一個變量從回歸模型中剔除，這時相應(yīng)的F統(tǒng)計量必須小于統(tǒng)計量必須小于Fout 將回歸模型內(nèi)的一個變量和回歸模型外的一個變量交換位置。將回歸模型內(nèi)的一個變量和回歸模型外的一個變量交換位置。 設(shè)先用后退法來選變量設(shè)先用后退法來選變

17、量.所謂后退法，就是開始所謂后退法，就是開始將所有的變量全部采用，然后逐步剔除對方程將所有的變量全部采用，然后逐步剔除對方程沒有顯著貢獻的變量，直到方程中所有的變量沒有顯著貢獻的變量，直到方程中所有的變量都有顯著貢獻為止。都有顯著貢獻為止。 仍考慮線性模型，開始三個因素全部進入方程，仍考慮線性模型，開始三個因素全部進入方程，得得(2.12).統(tǒng)計軟件包通常還會提供每個變量的統(tǒng)計軟件包通常還會提供每個變量的t值，值，t值越大（按絕對值計）表示該因素越重值越大（按絕對值計）表示該因素越重要要.對本例有對本例有 t0=0.204,t1=0.96,t2=-0.67,t3=2.77這表明三個因素中以這表

18、明三個因素中以X3（反應(yīng)時間）對得率（反應(yīng)時間）對得率（Y）影響最大，配比次之，吡啶量最小。影響最大，配比次之，吡啶量最小。這些這些t 值都是隨機變量，它們遵從值都是隨機變量，它們遵從tn-m-1分布。分布。若取若取=0.05 ，這時，這時n=7,m=3, tn-m-1= 的臨界值的臨界值t3(0.05)=3.18。t值大于該值的因素表示對方程有顯著值大于該值的因素表示對方程有顯著貢獻，否則表示不顯著。今貢獻，否則表示不顯著。今 均小于均小于(0.05)=3.18 ，說明，說明回歸方程回歸方程(2.18)的三個變量至少有一個不起顯著作用的三個變量至少有一個不起顯著作用.于于是我們將貢獻最小的是

19、我們將貢獻最小的X2刪去，重新建立刪去，重新建立Y和和X1及及X3的的線性回歸方程，得線性回歸方程，得130.1690.02510.0742YXX22013433350.06526 ,t2.12,0.79,2.91,tt(0.05)2.78,YX0.21410.079(8 13)3.34(0.05)2.57,0.063ttttYXtt1三個 值分別為這時這三個 值遵從含四個自由度的 分布，臨界值為從而X 應(yīng)從方程中剔除，然后對 和建立回歸方程這里。因此，回歸方程(8-13)并非真正的最終模型，而是在線性框架下的最終產(chǎn)物。XY3上述的分析只發(fā)現(xiàn)對 有顯著作用，其它兩個因素均沒有顯著作用，該結(jié)論與

20、實際經(jīng)驗不溫和，因此猜想用線性模型不一定符合實際。201123313213(8 14)0.062320.2510.060.0235(8 15)0.0217,97.77XmmiiiiiijijiiijYXXX XYXXX XRXX03這時方程中有9項（不算）。利用逐步回歸技術(shù)求得回歸方程如下：其響應(yīng)的。顯然，回歸方程(8-15)的效果優(yōu)于(8-13)。該方程于是進一步考慮二次回表明因素和交互作用歸模型對Y有顯著的影響2333XX3.4(8 15)0.062320.33090.06/00,2.757551.85%YYXXYXY133的極大值。此處我們可以用簡單的微積分求得極值。由于 在試驗范圍內(nèi)極

21、大值3.4，將代入得令，解得0.3309-0.12X(8-15)方程要求我們在配比1.0-3.4，吡啶量10-28，反應(yīng)時間0X這時 的極大.5-3.5時，求方程(8值為。這時收-15)中率大于前U面所講的用 表安排的7號試驗的結(jié)果48.2%，達到了優(yōu)化的目的例例.均勻設(shè)計法在全光亮鍍鎳研究中的應(yīng)用均勻設(shè)計法在全光亮鍍鎳研究中的應(yīng)用 1. 均勻設(shè)計表的選取均勻設(shè)計表的選取 本實驗的目的是提高鍍層光亮性。經(jīng)初步研究，取本實驗的目的是提高鍍層光亮性。經(jīng)初步研究，取其固定組成為硫酸鎳其固定組成為硫酸鎳25g/L，次磷酸鈉，次磷酸鈉25g/L，醋酸鈉，醋酸鈉25g/L?？疾煲蛩貫榉€(wěn)定劑，主光亮劑，輔助

22、光亮劑，?？疾煲蛩貫榉€(wěn)定劑，主光亮劑，輔助光亮劑，潤濕劑潤濕劑4個因素，每個因素取值范圍為個因素，每個因素取值范圍為t個水平（個水平（t 為實為實驗次數(shù)），驗次數(shù)），4個因素的一次項及二次項各有個因素的一次項及二次項各有4項，項，4項因項因素間的兩兩交互作用設(shè)有素間的兩兩交互作用設(shè)有6項，共項，共14項，實驗數(shù)不能小項，實驗數(shù)不能小于于14，本實驗選用，本實驗選用U17（178）表。）表。均勻表U17（178）123456781146910111415228121351113331211013168114416726105955313111642766723915165771181229133

23、88151441231019923135147161010695158414111110151482112121214461131510131311015117128141451675196151595161412641616131187632171717171717171717試驗號列號水平號U17（178）表的使用表因數(shù)個數(shù)216315841578512578612357871234578列號本實驗為本實驗為4因素，這因素，這4個因素安排在均勻表的個因素安排在均勻表的1，5，7，8列，去掉列，去掉U17（178）的最后一行，將實驗方案及結(jié)果見）的最后一行，將實驗方案及結(jié)果見下表。下表。綜合

24、指標水平號c mg/L水平號c mg/L水平號c mg/L水平號c mg/L Z110.2105.5147.51537.079.15220.432.0116.01332.087.50330.6137.084.51127.086.95440.863.553.0922.990.95551.0168.521.5717.091.58661.295.0168.5512.087.40771.421.5137.037.087.55881.6126.5105.512.090.88991.853.074.01639.580.9210102.0158.042.51434.578.4011112.284.511.0

25、1229.569.9512122.411.0158.01024.566.4013132.6116.0126.5819.548.1314142.842.595.0614.560.5015153.0147.563.549.535.7016163.274.032.024.530.13第8列潤濕劑試驗號第1列穩(wěn)定劑第5列主光亮劑第7列輔助光亮劑2.指標的選擇和優(yōu)化指標的選擇和優(yōu)化 指標是回歸方程中的響應(yīng)函數(shù)，在本實驗中即是鍍指標是回歸方程中的響應(yīng)函數(shù)，在本實驗中即是鍍件質(zhì)量。根據(jù)我們對鍍件的要求，定義一個綜合指標件質(zhì)量。根據(jù)我們對鍍件的要求，定義一個綜合指標z，z的分值由外觀評分的分值由外觀評分R，沉

26、積速度評分，沉積速度評分V，耐腐蝕性評分，耐腐蝕性評分Q乘以不同的權(quán)重構(gòu)成，乘以不同的權(quán)重構(gòu)成，z=0.5R+0.2V+0.3Q。R，V，Q的分值分別為的分值分別為0100。3.實驗方法實驗方法 試樣為試樣為10cm5cm0.2cm的低碳鋼板，在的低碳鋼板，在8890 的恒溫的恒溫水浴槽內(nèi)施鍍，鍍液水浴槽內(nèi)施鍍，鍍液pH值控制在值控制在4.5-5.0。鍍前處理按常規(guī)進。鍍前處理按常規(guī)進行，按均勻設(shè)計表中確定的組成分別配成行，按均勻設(shè)計表中確定的組成分別配成16種化學鍍液，掛種化學鍍液，掛鍍法施鍍鍍法施鍍1h，清洗，晾干，對試樣進行外觀的評定。，清洗，晾干，對試樣進行外觀的評定。 沉積速度測定：

27、沉積速度，樣片增加的重量沉積速度測定：沉積速度，樣片增加的重量/樣片的面積樣片的面積(g/cm2 ) 耐腐蝕性測定：耐腐蝕性測定：10硫酸浸泡硫酸浸泡24h，根據(jù)失重及腐蝕后外觀，根據(jù)失重及腐蝕后外觀評分評分4.結(jié)果處理及分析結(jié)果處理及分析 實驗結(jié)果用計算機處理，主要運用軟件為實驗結(jié)果用計算機處理，主要運用軟件為SPSS和和Matlab。 4.1建立數(shù)學模型及篩選變量建立數(shù)學模型及篩選變量 考慮到可能有的數(shù)學關(guān)系，將各因素的一次項，二考慮到可能有的數(shù)學關(guān)系，將各因素的一次項，二次項，兩因子間的交互作用項均作為考察對象，回歸次項，兩因子間的交互作用項均作為考察對象，回歸方程模型為：方程模型為：

28、R=b0+bixi+bijxixj+biixi2 (i=1,2,3,4;ij) b為各項系數(shù)。將給因素的值及綜合指標輸入計算為各項系數(shù)。將給因素的值及綜合指標輸入計算機，用自后淘汰變量法機，用自后淘汰變量法(backward selection)進行回歸進行回歸分析和變量篩選，分析和變量篩選，sigF0.100.10的變量被淘汰，的變量被淘汰，最后得最后得到指標與相關(guān)組成的回歸方程。到指標與相關(guān)組成的回歸方程。Z=86.726+6.555d4.554p21.384c20.0164123.177pc0.1932p0.1209c0.3779dc為主光亮劑；為主光亮劑；d為輔助光亮劑；為輔助光亮劑；為潤濕劑；為潤濕劑；p為穩(wěn)定劑。為穩(wěn)定劑。4.2對回歸方程的優(yōu)化處理對回歸方程的優(yōu)化處理用求條件極