基于MATLAB做巴特沃斯低通濾波器

1、基于MATLAB設(shè)計巴特沃斯低通濾波器課程設(shè)計專 業(yè)： XXXXXX姓 名： XXX學(xué) 號： XX指導(dǎo)老師： XXX2011年 11 月 26日15通信系統(tǒng)仿真課程設(shè)計任務(wù)書院（系）：電氣信息工程學(xué)院目 錄1 緒論 .11.1 引言 . 11.2 數(shù)字濾波器的設(shè)計原理 . 11.3 數(shù)字濾波器的應(yīng)用 . 21.4 MATLAB的介紹 . 31.5 本文的工作及安排 . 32 濾波器分類及比較 .42.1 濾波器的設(shè)計原理 . 42.2 濾波器分類 . 42.3 兩種類型模擬濾波器的比較 . 63 巴特沃斯低通濾波器 .73.1 巴特沃斯低通濾波器簡介 . 73.2 巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計原理

2、 . 74 MATLAB仿真及分析. 114.1 MATLAB工具箱函數(shù) . 114.2 巴特沃斯低通濾波器的MATLAB仿真 . 11另附程序調(diào)試運行截圖： . 135.1 總結(jié) . 135.2 展望 . 1315通信系統(tǒng)仿真課程設(shè)計1 緒論1.1 引言凡是有能力進(jìn)行信號處理的裝置都可以稱為濾波器。濾波器在如今的電信設(shè)備和各類控制系統(tǒng)里面應(yīng)用范圍最廣、技術(shù)最為復(fù)雜，濾波器的好壞直接決定著產(chǎn)品的優(yōu)劣。自60年代起由于計算機技術(shù)、集成工藝和材料工業(yè)的發(fā)展，濾波器發(fā)展上了一個新臺階，并且朝著低功耗、高精度、小體積、多功能、穩(wěn)定可靠和價廉方向努力，其中小體積、多功能、高精度、穩(wěn)定可靠成為70年代以后

3、的主攻方向。使以數(shù)字濾波器為主的各種濾波器得到了飛速的發(fā)展，到70年代后期，數(shù)字濾波器的單片集成已被研制出來并得到應(yīng)用。80年代，致力于各類新型濾波器的研究，努力提高性能并逐漸擴(kuò)大應(yīng)用范圍。90年代至現(xiàn)在主要致力于把各類濾波器應(yīng)用于各類產(chǎn)品的開發(fā)和研制。當(dāng)然，對數(shù)字濾波器本身的研究仍在不斷進(jìn)行。1濾波器主要分成經(jīng)典濾波器和數(shù)字濾波器兩類。從濾波特性上來看，經(jīng)典濾波器大致分為低通、高通、帶通和帶阻等。本文主要對低通數(shù)字濾波器做主要研究。1.2 數(shù)字濾波器的設(shè)計原理所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過數(shù)值運算處理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。

4、因此，數(shù)字濾波器的概念和模擬濾波相同，只是信號的形式和現(xiàn)實濾波方法不同。正因為數(shù)字濾波器通過數(shù)值運算實現(xiàn)實現(xiàn)濾波，所以數(shù)字濾波器處理精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實現(xiàn)模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波功能。如果要處理的是模擬信號，可以通過A/DC和D/AC，在信號形式上進(jìn)行匹配轉(zhuǎn)換，同樣可以使用數(shù)字濾波器對模擬信號進(jìn)行濾波。2大多數(shù)的數(shù)字濾波器都?xì)w類于選頻濾波器,其頻率響應(yīng)函數(shù)H（ej）如下：H（e）=H（eejjj（） （1.1） 式中，H（ej稱為幅頻特性函數(shù)；稱為相頻特性函數(shù)。幅頻特性反應(yīng)的是信號從此濾波器通過后各個頻率成分的振幅衰減情況，相頻特性表示的是經(jīng)過濾波

5、器之后各個頻率成分在時間上的延時情況。因此，即使兩個濾波器幅頻特性相同，而相頻特性不同，對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形也是不一樣的。通常情況下幅頻特性決定了選頻濾波器的技術(shù)要求，因為巴特沃斯低通濾波器具有固定的相頻特性，所以設(shè)計時對相頻特性基本沒有要求。15通信系統(tǒng)仿真課程設(shè)計1-圖1.1低通濾波器的技術(shù)要求圖1.1是低通濾波器的幅頻特性，p和s表示通帶邊界頻率和阻帶截止頻率。通帶頻率范圍為0p，在通帶(0,p)中要求1-1<H(ej)1，阻帶頻率范圍為s，在阻帶(s,)中要求H(ej)2。從p到s為過渡帶，過渡帶上的頻響一般是單調(diào)下降的。一般情況下用分貝數(shù)表示通帶及阻帶內(nèi)允許的衰減

6、，通帶范圍內(nèi)允許的最大衰減為p，阻帶范圍內(nèi)允許的最小衰減為s。p和s在低通濾波器里分別用下式定義：H（ H（jpj0p=20lgdB （1.2） s=20lgH（ H（jsj0dB （1.3） 從上式可以看出p愈小，通帶波紋與通帶逼近誤差愈小；s愈大，阻帶波紋越小與阻帶逼近誤差愈?。籶和s之間的距離愈小，過渡帶也隨之變得更加狹窄。所以通帶邊界頻率p、阻帶邊界頻率s、通帶最大衰減p、阻帶最小衰減s決定了低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)。1.3 數(shù)字濾波器的應(yīng)用數(shù)字乘法器、加法器及延時單元三者共同構(gòu)成了數(shù)字濾波器。其功能是對輸入離散信號的數(shù)字代碼進(jìn)行運算處理，以達(dá)到改變信號頻譜的目的。由于電子計算機技術(shù)和大規(guī)

7、模集成電路的發(fā)展，數(shù)字濾波器已可用計算機軟件實現(xiàn)，也可用大規(guī)模集成數(shù)字硬件實時實現(xiàn)。數(shù)字濾波器具有高精度、高可靠性、可程控改變特性或復(fù)用、便于集成等優(yōu)點。3數(shù)字濾波器在很多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用，如圖像信號處理、語言信號處理、醫(yī)學(xué)生物信號處理等等，其中使用最普遍的是線性時不變數(shù)字濾波器。 近年來電子技術(shù)發(fā)展的非常迅速，數(shù)字濾波器的使用范圍也隨之發(fā)生了翻天覆地的改變：從家用的收音機、電視機到航天用的測控設(shè)備；從礦井用的通信機到巡航導(dǎo)彈；從超市用的報警器到日常生活的手機，由于電子產(chǎn)品門類及使用頻段的不斷擴(kuò)展，各種電子設(shè)備之間的干擾也日趨嚴(yán)重，因而數(shù)2通信系統(tǒng)仿真課程設(shè)計字濾波器不但是確保電子產(chǎn)品本

8、身正?？煽抗ぷ鞯闹匾考?，而且是減少相互影響、確保正常工作環(huán)境的重要器件，因而，可以毫不夸張地說，在具有特定功能的電子產(chǎn)品中均有濾波器的蹤跡可尋。1.4 MATLAB的介紹數(shù)字信號處理最重要的部分之一就是數(shù)字濾波器的設(shè)計， MATLAB的工具箱函數(shù)里有非常豐富的相關(guān)設(shè)計指令，掌握其應(yīng)用后可以大大提高工作的效率。MATLAB名字由MATrix和LABoratory兩詞的前三個字母組合而成。新墨西哥大學(xué)計算機科學(xué)系主任Cleve Moler教授在20世紀(jì)七十年代年后期，為減輕大學(xué)生編程壓力，用FORTRAN設(shè)計出一組使用簡單方便的接口用來調(diào)用LINPACK和EISPACK庫程序，這就是 MATLA

9、B的雛形。經(jīng)幾年的校際流傳，在Little的推動下，由Little、Moler、Steve Bangert 合作，于1984年成立了MathWorks公司，并把 MATLAB正式推向市場。從此開始采用C語言來編寫MATLAB的內(nèi)核，在原來數(shù)值計算能力的基礎(chǔ)上還推出了數(shù)據(jù)圖視功能。MATLAB以商品形式出現(xiàn)后，僅短短幾年，就以其良好的開放性和運行的可靠性，使原先控制領(lǐng)域里的封閉式軟件包（如英國的UMIST，瑞典的LUND和SIMNON，德國的KEDDC）紛紛淘汰，而改以 MATLAB為平臺加以重建。在時間進(jìn)入20世紀(jì)九十年代的時候，MATLAB已經(jīng)成為國際控制界公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)計算軟件。到九十年代初期

10、，在國際上30幾個數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中， MATLAB在數(shù)值計算方面獨占鰲頭。在歐美大學(xué)里，應(yīng)用代數(shù)、數(shù)理統(tǒng)計、自動控制、數(shù)字信號處理、模擬與數(shù)字通信、時間序列分析、動態(tài)系統(tǒng)仿真等課程的教科書都把MATLAB作為內(nèi)容。這幾乎成了九十年代教科書與舊版書籍的區(qū)別性標(biāo)志。在那里，MATLAB是攻讀學(xué)位的大學(xué)生、碩士生、博士生必須掌握的基本工具。在國際學(xué)術(shù)界，MATLAB已經(jīng)被確認(rèn)為準(zhǔn)確、可靠的科學(xué)計算標(biāo)準(zhǔn)軟件。在許多國際一流學(xué)術(shù)刊物上，（尤其是信息科學(xué)刊物），都可以看到MATLAB的應(yīng)用。在設(shè)計研究單位和工業(yè)部門，MATLAB被認(rèn)作進(jìn)行高效研究、開發(fā)的首選軟件工具。如美國National Instr

11、uments公司信號測量、分析軟件LabVIEW，Cadence公司信號和通信分析設(shè)計軟件SPW等，或者直接建筑在MATLAB之上，或者以MATLAB為主要支撐。又如HP公司的VXI硬件，TM公司的DSP ，Gage公司的各種硬卡、儀器等都接受MATLAB的支持。41.5 本文的工作及安排本文主要工作安排如下：（1） 對巴特沃斯低通濾波器的一些基礎(chǔ)理論進(jìn)行詳細(xì)闡述；（2） 對巴特沃斯低通濾波器、切比雪夫型和型濾波器、橢圓濾波器四種典型濾波器加以簡單的闡述，然后把四種濾波器加以比較，最后得出巴特沃斯低通濾波器在實際應(yīng)用中的種種優(yōu)點；（3） 通過雙線性變換法設(shè)計巴特沃思低通濾波器，然后用MATLA

12、B軟件對其進(jìn)行仿真。3通信系統(tǒng)仿真課程設(shè)計2 濾波器分類及比較2.1 濾波器的設(shè)計原理濾波器是使信號中特定的頻率成分通過的選頻裝置，從而達(dá)到大幅度衰減其它頻率成分的目的。通過其選頻作用，測試裝置時就可以分析頻譜或濾除干擾噪聲。廣義地講，任何一種信息傳輸?shù)耐ǖ溃劫|(zhì)）都可視為是一種濾波器。因為，任何裝置的響應(yīng)特性都是激勵頻率的函數(shù)，都可用頻域函數(shù)描述其傳輸特性。因此，構(gòu)成測試系統(tǒng)的任何一個環(huán)節(jié)，諸如機械系統(tǒng)、電氣網(wǎng)絡(luò)、儀器儀表甚至連接導(dǎo)線等等，都將在一定頻率范圍內(nèi)，按其頻域特性，對所通過的信號進(jìn)行變換與處理。2.2 濾波器分類從選頻作用對濾波器分類 低通濾波器在0f2范圍內(nèi)，幅頻特性幾乎呈水平發(fā)

13、展，低于f2的頻率幾乎不衰減通過，高于f2的頻率幾乎不能通過。 高通濾波器從f1，幅頻特性幾乎呈水平發(fā)展。高于f1的頻率幾乎不衰減通過，低于f1的頻率幾乎不能通過。0 圖2.1 低通濾波器 f 帶通濾波器在f1f2之間是帶通通濾波器的通頻帶。高于f1低于f2的頻率成分幾乎不衰減通過，其它成分幾乎不能通過。 帶阻濾波器頻率f1f2之間是傣族濾波器的阻帶。高于f1低于f2的頻率幾乎不能通過，其余頻率幾乎不衰減通過。0 f1 f2 f圖2.2高通濾波器f1 f 圖2.3帶通濾波器圖2.4 帶阻濾波器4通信系統(tǒng)仿真課程設(shè)計低通濾波器和高通濾波器是組成濾波器最基本的兩種形式，剩下的濾波器都能分解演變成這

14、兩種濾波器，如：低通濾波器同高通濾波器進(jìn)行串聯(lián)可以成為帶通濾波器，低通濾波器同高通濾波器進(jìn)行并聯(lián)可以成為帶阻濾波器。 從“最佳逼近特性”的方面來分類 巴特沃斯濾波器從幅頻特性提出要求，而不考慮相頻特性。因為巴特沃斯濾波器具有最大平坦幅度的特性，它的幅頻響應(yīng)如下：H（=1+（/n）2n(2.1)H(-100-300/c圖2.5巴特沃斯濾波器的頻響特性（2）橢圓濾波器的設(shè)計在通帶和阻帶內(nèi)橢圓濾波器同時具有等波紋幅頻響應(yīng)特性。因為極點位置與經(jīng)典場論中的橢圓函數(shù)具有一定關(guān)聯(lián)，所以叫做橢圓濾波器。同時十九世紀(jì)三十年代初科學(xué)家考爾對橢圓濾波器第一次進(jìn)行了理論上的證明，它也叫做考爾濾波器。橢圓濾波器的典型幅

15、頻響應(yīng)特性曲線如圖2.7和2.8所示。由圖2.7可見，橢圓濾波器通帶和阻帶波紋幅度固定時，階數(shù)越高，過渡帶越窄；由圖2.8可見，當(dāng)橢圓濾波器階數(shù)固定時，通帶和阻帶波紋幅度越小，過渡帶就越寬。所以橢圓濾波器的階數(shù)N由通帶邊界頻率p、阻帶邊界頻率s、通帶最大衰減p和阻帶最小衰減s共同決定。5它的典型幅頻響應(yīng)特性如圖2.7和2.8所示。5通信系統(tǒng)仿真課程設(shè)計圖2.7 橢圓濾波器的典型幅頻響應(yīng)特性曲線圖2.8 橢圓濾波器的典型幅頻響應(yīng)特性曲線2.3 兩種類型模擬濾波器的比較圖2.9和圖2.10是巴特沃思和橢圓濾波器的頻響特性曲線。調(diào)用MATLAB濾波器涉設(shè)計函數(shù)，很容易驗證：當(dāng)階數(shù)相同時，對相同的通帶

16、最大衰減和阻帶最小衰減，巴特沃斯濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性，過渡帶最寬。比橢圓濾波器的過渡帶寬。巴特沃斯濾波器的最大平坦幅度特性致使它在實際中應(yīng)用最為廣泛，所以本文主要對巴特沃斯低通濾波器進(jìn)行研究。6通信系統(tǒng)仿真課程設(shè)計3 巴特沃斯低通濾波器3.1 巴特沃斯低通濾波器簡介巴特沃斯濾波器是電子濾波器的一種，特點是通頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最大限度平坦，沒有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。這種濾波器最先由英國工程師斯替芬·巴特沃斯（Stephen Butterworth）在1930年發(fā)表在英國無線電工程期刊的一篇論文中提出的，可以構(gòu)成低通、高通、帶通和帶阻四種組態(tài)，是目前最為流行的一類數(shù)字

17、濾波器 ,經(jīng)過離散化可以作為數(shù)字巴特沃思濾波器 ,較模擬濾波器具有精度高、穩(wěn)定、靈活、不要求阻抗匹配等眾多優(yōu)點 ,因而在自動控制、語音、圖像、通信、雷達(dá)等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，是一種具有最大平坦幅度響應(yīng)的低通濾波器。 873.2 巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計原理 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)H（j）用下式表示： aH（j）a22=1+（1c）2N （3.1）j=1；=c時，H（j=1/2,c是3dBN為濾波器的階數(shù)。當(dāng)=0時，H（aa截止頻率。=c時，逐漸增大，幅度下降非常迅速。、N同幅度特性關(guān)系如圖3.1所示。N決定了幅度下降速度，N越大，通帶就越平坦，過渡帶也隨之變窄，阻帶幅度同過渡帶

18、下降的速度越迅速，總體頻響特性同理想低通濾波器的實際誤差越小。10.707 c2圖3.1 、N同幅度特性關(guān)系11+（sjc）2N j）變成s的函數(shù)： 用s代替j，把幅度平方函數(shù)H（aH（s）H（-s）=aa （3.2）s=+j，此公式說明了幅度平方函數(shù)有2N個極點，極點sk可以用下面的公式來表達(dá)：7通信系統(tǒng)仿真課程設(shè)計j（2k+1）sk=（jc2N）=c 2jj2k+12N=c12k+1j（+22N（3.3）k=0,1,2，···，2N-1。2N個極點等間隔分布在半徑為c的圓上，間隔是/N rad。如圖3.2所示：圖3.2 三階巴特沃斯濾波器極點分布s），而右為形

19、成穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取s平面左半平面的N個極點構(gòu)成H（as）的表示式為 -s）半平面的N個極點構(gòu)成H（。H（aaH（s）=acN-1N（3.4）k(s-sk=0)例如N=3,通過下式可以計算出6個極點s0=c2j3，s1=cj，s2=c4j3，s3=c4j35j3，s4=cj2，s5=c7j3當(dāng)N=3時，6個極點中位于左半平面的三個分別為:s0=c2j3，s1=c j=-c，s2=cc32-j3cs）： 取s平面左半平面的極點s0，s1，s2組成H（aH（s）=a1N-1（s+c）（s-2j3c（3.5）（s-將H（s）=a（k=0sc-skc對3dB截止頻率c歸一化：）s）歸一化后

20、的H（表示為： aH（s）=a1N-1（k=0sc-skc（3.6）8通信系統(tǒng)仿真課程設(shè)計令p=sc=jc=j，p稱為歸一化拉氏復(fù)變量。 =/c，稱為歸一化頻率。經(jīng)過歸一化后巴特沃斯濾波器的傳輸函數(shù)為：H（p）=a1N-1 （3.7）k（p-pK=0）式中，pk=sk/c為歸一化極點，sk為位于左半平面的極點用下式表示： pk= 12k+1j（+22N ，k=0,1， N-1 （3.8）將極點表示式(3.8)代入(3.7)式，得到的H（的分母是p的N階多項式，用下式表p）a示：1Ha(p)=（3.9） 2N-1N b0+b1p+b2p+bN-1p+p下面來確定N由技術(shù)指標(biāo)p，p s和s確定。在

21、定義p=-10lgH（jp （3.10）a22（3.11）p=-10lgH（jp aH（j=a1+（21c）2N （3.12）js，再將 中，將=p和=s分別代入(6.2.6)式中，得到H（jp和H（aa22H（jpa2js代入(3.13)和(3.14)式中，得到： 和H（a2p=-10lg1+(1p, )2N （3.13）cs=-10lg1+(1sc)2N （3.14）整理得：p2N1+（）=10p/10 （3.15） c1+（sc）2N=10s/10 （3.16）由(3.15)和(3.16)式得到：9通信系統(tǒng)仿真課程設(shè)計（ps）=N1010p/10s/10-1-1 （3.17） 令sp=s

22、/p，ksp=則N由下式表示： N=-lgksp1010p/10s/10-1-1 （3.18）lgsp （3.19）取大于等于N的最小整數(shù)。 關(guān)于3dB截止頻率c，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可以按照(3.18)式或(3.19)式求出， 1+（1+（pcsc）2N=10=10p/10 （3.20）2Ns/10 （3.21）由(3.20)式得到： c=（10p0.1p-1）2N （3.22） -1由(3.21)式得到： c=（10s0.1s-1）2N (3.23)lgk-1經(jīng)過總結(jié)，巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計步驟大致為： 通過p,p,s和s的值，用公式N=-根據(jù)公式pk=H（p）=a1N-1splgs

23、p算出濾波器的階數(shù)N0。 j（12+2k+12N，k=0,1， N-1，求出歸一化極點pk，將pk代入 p）中，得出歸一化傳輸函數(shù)H（。 ak（p-pk=0）p）p）將H（去歸一化。將p=s/c代入H（之中，從而得到實際的濾波器傳輸函數(shù)aaH（s）。 a10通信系統(tǒng)仿真課程設(shè)計4 MATLAB仿真及分析4.1 MATLAB工具箱函數(shù)MATLAB的信號處理工具箱提供了濾波器的函數(shù) buttap、buttord、butter。由z,p,k = buttap(n)函數(shù)可設(shè)計出n階巴特沃斯低通濾波器原型,其傳遞函數(shù)為H(s)=1(s-p(1)(s-p(2)(s-p(n)ks+bn-isnn-1 （4.

24、1） 所以事實上z為空陣。上述零極點形式可以化為： H(s)=+b1s+b0 （4.2）其中b0=cn，令c=1rad/s，得到巴特沃斯濾波器歸一化結(jié)果,如表1所示。表1 n=18階的巴特沃斯濾波器系數(shù) n b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0buttord函數(shù)可在給定濾波器性能的情況下 ,選巴特沃斯濾波器的階數(shù) n 和截止頻率c,從而可用butter函數(shù)設(shè)計巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù)。9n ,c = buttord (p,c,Rp,Rs,s) 可得到足性能的模擬巴特沃斯濾波器的最小階數(shù) n及截止頻率c ,其中p為通帶的拐角頻率, s為阻帶的拐角頻率, p和s的單位均為rad/s; R

25、s為通帶區(qū)的最大波動系數(shù),Rp為Rs阻帶區(qū)的最小衰減系數(shù), Rs和Rp的單位都為dB。 b,a = butter (n,c,s) 可設(shè)計截止頻率為c的n 階低通模擬巴特沃斯濾波器,其傳遞函數(shù)為:H(s)= 10 b(1)s+b(2)ss+a(2)snnn-1B(s)A(s)=+b(n+1)n-1+a(n+1) (4.3)4.2 巴特沃斯低通濾波器的MATLAB仿真由于沖擊響應(yīng)不變法和階躍響應(yīng)不變法的不足 ,下面以雙線性變換法設(shè)計一個巴特沃思低通濾波器。通過仔細(xì)研究MATLAB軟件自帶的信號處理工具箱下%:MATLABD IR%15通信系統(tǒng)仿真課程設(shè)計toolbox signal signal buttord.m和%MATLABD IR% toolbox signalsignalbutter.m ,可以清楚看到:MATLAB默認(rèn)采用雙線性變換法設(shè)計,其實完全可以采用更簡潔的方法。8濾波器的性能指標(biāo)如下:通帶截止頻率fp=2400Hz，通帶最大衰減p=3dB，阻帶截止頻率fs=5000Hz，阻帶最小衰減s=25dBMATLAB程序如下:%巴特沃斯低通濾波器f_N=16000; %采樣率f_p=2400; f_s=5000; R_p