馬氏鏈模型及matlab程序

1、一、用法，用來干什么，什么時候用二、步驟，前因后果，算法的步驟，公式三、程序四、舉例五、前面國賽用到此算法的備注一下馬氏鏈模型用來干什么馬爾可夫預測法是應用概率論中馬爾可夫鏈（Markovchain）的理論和方法來研究分析時間序列的變化規(guī)律，并由此預測其未來變化趨勢的一種預測技術。什么時候用應用馬爾可夫鏈的計算方法進行馬爾可夫分析，主要目的是根據(jù)某些變量現(xiàn)在的情況及其變動趨向，來預測它在未來某特定區(qū)間可能產生的變動，作為提供某種決策的依據(jù)。馬爾可夫鏈的基本原理我們知道，要描述某種特定時期的隨機現(xiàn)象如某種藥品在未來某時期的銷售情況，比如說第n季度是暢銷還是滯銷，用一個隨機變量X便可以了，但要描述

2、未來所有時期的情況，則需要一系列的隨機變量X,X,，X,.稱Xt,t6T,T是參數(shù)集為隨機過程，X的取值集合稱為狀態(tài)空間.若隨機過程X的參數(shù)為非負整數(shù)，Xn為離散隨機變量，且Xn具有無后效性（或稱馬爾可夫性），則稱這一隨機過程為馬爾可夫鏈（簡稱馬氏鏈）.所謂無后效性，直觀地說，就是如果把X的參數(shù)n看作時間的話，那么它在將來取什么值只與它現(xiàn)在的取值有關，而與過去取什么值無關.n時刻處于p12AP =p21p22Ap2 NAAAA、Pn 1pN 2ApN N j(1)對具有N個狀態(tài)的馬氏鏈，描述它的概率性質，最重要的是它在狀態(tài)i下一時刻轉移到狀態(tài)j的一步轉移概率:若假定上式與n無關，即pij(0)

3、=Pij=a=Pij(n)=A,則可記為pij(此時，稱過程是平穩(wěn)的)，并記稱為轉移概率矩陣.轉移概率矩陣具有下述性質:(1) Pij至0,i,j=1,2,A,N.即每個元素非負.N(2) £Pij=1,i=1,2,A,N.即矩陣每行的元素和等于1.j1如果我們考慮狀態(tài)多次轉移的情況，則有過程在n時刻處于狀態(tài)i,n+k時刻轉移到狀態(tài)j的k步轉移概率：同樣由平穩(wěn)性，上式概率與n無關，可寫成p(k).記(k) p11(k) p12A(k)、 p Np(k)=(k) p21(k) p22A(k) p2NA(k)、pN 1A(k) p N 2AAA(k) pN N 士(2)稱為k步轉移概率矩

4、陣.其中p具有性質:(k),N(k)p(k)之0,i,j=1,2,A,N;£Pi?=1,i=1,2,A,N.j般地有，若p為一步轉移矩陣，則k步轉移矩陣/p1(1k)(k) p12p2k)J) p22AApNk1)D(k) pN 2A A A A(k) p1 Nc(k) p2NA(k) pnn（2）狀態(tài)轉移概率的估算在馬爾可夫預測方法中，系統(tǒng)狀態(tài)的轉移概率的估算非常重要.估算的方法通常有兩種：一是主觀概率法，它是根據(jù)人們長期積累的經驗以及對預測事件的了解，對事件發(fā)生的可能性大小的一種主觀估計，這種方法一般是在缺乏歷史統(tǒng)計資料或資料不全的情況下使用.二是統(tǒng)計估算法，現(xiàn)通過實例介紹如下.

5、例3記錄了某抗病毒藥的6年24個季度的銷售情況，得到表1.試求其銷售狀態(tài)的轉移概率矩陣.表1某抗病毒藥24個季度的銷售情況銷售狀銷售狀態(tài)季度季度季度季度銷售狀態(tài)銷售狀態(tài)態(tài)1 1 （暢銷）2 1（暢銷）3 2（滯銷）4 1（暢銷）5 2（滯銷）6 2（滯銷）7 1（暢銷）8 1（暢銷）9 1（暢銷）10 2（滯銷）11 1（暢銷）12 2（滯銷）13 1（暢銷）14 1（暢銷）15 2（滯銷）16 2（滯銷）171（暢銷）181（暢銷）192（滯銷）201（暢銷）212（滯銷）221（暢銷）231（暢銷）241（暢銷）分析表中的數(shù)據(jù)，其中有15個季度暢銷，9個季度滯銷，連續(xù)出現(xiàn)暢銷和由暢銷轉入滯

6、銷以及由滯銷轉入暢銷的次數(shù)均為7,連續(xù)滯銷的次數(shù)為2.由此，可得到下面的市場狀態(tài)轉移情況表（表2）.本季度藥品所1(暢銷)77處的市場狀態(tài)2(滯銷)72現(xiàn)計算轉移概率.以頻率代替概率，可得連續(xù)暢銷的概率分母中的數(shù)為15減1是因為第24季度是暢銷，無后續(xù)記錄，需減1.同樣得由暢銷轉入滯銷的概率：滯銷轉入暢銷的概率：連續(xù)滯銷的概率：綜上，得銷售狀態(tài)轉移概率矩陣為：從上面的計算過程知，所求轉移概率矩陣P的元素其實可以直接通過表2中的數(shù)字計算而得到，即將表中數(shù)分別除以該數(shù)所在行的數(shù)字和便可：Matlab程序：formatratclca=112122111212,112211212111;fori=1:

7、2forj=1:2f(i,j)=length(findstr(ij,a);endendfni=(sum(f)'fori=1:2p(i,:尸f(i,:)/ni(i);endP由此，推廣到一般情況，我們得到估計轉移概率的方法：假定系統(tǒng)有m種狀態(tài)S,S,，根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉移白歷史記錄，得到表3的統(tǒng)計表格，以?ij表示系統(tǒng)從狀態(tài)i轉移到狀態(tài)j的轉移概率估計值，則由表3的數(shù)據(jù)計算估計值的公式如下:表3系統(tǒng)狀態(tài)轉移情況表在馬氏鏈模型中，隨著時間的推移，系統(tǒng)的狀態(tài)可能發(fā)生轉移，這種轉移常常會引起某種經濟指標的變化.如抗病毒藥的銷售狀態(tài)有暢銷和滯銷兩種，在時間變化過程中，有時呈連續(xù)暢銷或連續(xù)滯銷，有時

8、由暢銷轉為滯銷或由滯銷轉為暢銷，每次轉移不是盈利就是虧本.假定連續(xù)暢銷時盈rii元，連續(xù)滯銷時虧本年元，由暢銷轉為滯銷盈利12元，由滯銷轉為暢銷盈利21元，這種隨著系統(tǒng)的狀態(tài)轉移，賦予一定利潤的馬氏鏈，稱為有利潤的馬氏鏈.對于一般的具有轉移矩陣的馬氏鏈，當系統(tǒng)由i轉移到j時，賦予利潤ij(i,j=1,2,，N),則稱11r12Ar1N2122A2NR 二AAAA、r N1N2ANN>0稱為盈利，rj v0稱為rj = 0稱為不虧不盈.為系統(tǒng)的利潤矩陣，rj(5)隨著時間的變化，系統(tǒng)的狀態(tài)不斷地轉移，從而可得到一系列利潤，由于狀態(tài)的轉移是隨機的,因而一系列的利潤是隨機變量，其概率關系由馬氏

9、鏈的轉移概率決定.例如從抗病毒藥的銷售狀態(tài)的轉移矩陣，得到一步利潤隨機變量x1、xg1）的概率分布分別為:r 11r 12概率P11P1212 = 1，p21 +P 22 = 1 .其中P11+ pr 21r 22概率P21P22如果藥品處于暢銷階段，即銷售狀態(tài)為i =1 ,我們想知道，經過 n個季度以后，期望獲得的利潤是多少？為此，引入一些計算公式.首先，定義Vi為抗病毒藥現(xiàn)在處于i（i=1,2）,經過n步轉移之后的總期望利潤，則步轉移的期望利潤為:其中E（xi（1）是隨機變量為的數(shù)學期望.二步轉移的期望利潤為:其中隨機變量x（2）（稱為二步利潤隨機變量）的分布為:例如，若1930.50.5

10、。40.6/則抗病毒藥銷售的一步利潤隨機變量:933-70.50.5概率0.40.6抗病毒藥暢銷和滯銷時的一步轉移的期望利潤分別為：二步利潤隨機變量為：9+63-33+6-7-3概率0.50.5概率0.40.6抗病毒藥暢銷和滯銷時的二步轉移的期望利潤分別為：一般地定義k步轉移利潤隨機變量x(k)(i=1,2,AN)的分布為：則系統(tǒng)處于狀態(tài)i經過k步轉移后所得的期望利潤v(k)的遞推計算式為：NNN(k)(1)(k_1)=EijPij*LVjPijVi4VjPij(6)j1jjT當k=1時，規(guī)定邊界條件vi(0)=0.稱一步轉移的期望利潤為即時的期望利潤，并記V(1)=qi,i=1,2,AN可能

11、的應用題型題型一、市場占有率預測例題1在購買該藥的總共1000家對象(購買力相當?shù)尼t(yī)院、藥店等)中，買A、B、C三藥廠的各有400家、300家、300家，預測A、B、C三個廠家生產的某種抗病毒藥在未來的市場占有情況。顧客訂貨情況如下表5:表5顧客訂貨情況表下季度訂貨情況合計ABC來A160120120400自B1809030300C1803090300合5202402401000計模型建立與求解一、問題分析目前的市場占有情況為：在購買該藥的總共1000家對象(購買力相當?shù)尼t(yī)院、藥店等)中，買ARC三藥廠的各有400家、300家、300家，那么AB、C三藥廠目前的市場占有份額分別為：40%30%

12、30%稱(0.4,0.3,0.3)為目前市場的占有分布或稱初始分布.止匕外，我們需要查清使用對象的流動情況。流動情況的調查可通過發(fā)放信息調查表來了解顧客以往的資料或將來的購買意向，也可從下一時期的訂貨單得出。由題已知顧客訂貨情況如下表5表5顧客訂貨情況表下季度訂貨情況合計ABC來A160120120400自B1809030300C1803090300合5202402401000計、模型的建立2.1 模型構建假定在未來的時期內，顧客相同間隔時間的流動情況不因時期的不同而發(fā)生變化，以1、2、3分別表示顧客買A、B、C三廠家的藥這三個狀態(tài)，以季度為模型的步長（即轉移一步所需的時間），那么根據(jù)表5,我

13、們可以得模型的轉移概率矩陣：矩陣中的第一行（0.4,0.3,0.3）表示目前是A廠的顧客下季度有40湖買A廠的藥，轉為買B廠和C廠的各有30%.同樣，第二行、第三行分別表示目前是B廠和C廠的顧客下季度的流向.由P我們可以計算任意的k步轉移矩陣，如三步轉移矩陣：從這個矩陣的各行可知三個季度以后各廠家顧客的流動情況.如從第二行（0.504,0.252,0.244）知，B廠的顧客三個季度后有50.4%轉向買A廠的藥，25.2%仍買B廠的，24.4%轉向買C廠的藥.設s（k）=（pr，p2k）,p3k）表示預測對象k季度以后的市場占有率，初始分布則為s（0）=（pi，p20）,p30）,市場占有率的預

14、測模型為S（k）=S（。），pk=S（k,），P（7）已知S=（0.4,0.3,0.3）,由此，我們可預測任意時期AB、C三廠家的市場占有率.例如，三個季度以后的預測值為：大致上，A廠占有一半的市場，B廠、C廠各占四分之一.模型（7）可推廣到N個狀態(tài)的情形：S（k）= S（k,）p = S（。）pk =（ P? p20）小如果我們按公式（7）繼續(xù)逐步求A、 大白程度，s （k）將不會有多少改變，/AkPiiPi2APin（0）p2ip22Ap2Ni）MMAM Pn iPn2APn N ）B、C三家的市場占后率，會發(fā)現(xiàn)，當 k 即有穩(wěn)定的市場占啟率，設其穩(wěn)定值為 S = ( Pi, P2, P3

15、),滿足 Pi + P2 + P3 =1 .事實上，I如果市場的顧客流動趨向長期穩(wěn)定下去，則經過一段時期以后的市場占有率將會出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，即顧客的流動，不會影響市場的占有率，而且這種占有率與初始分布無關.如何求出這種穩(wěn)定的市場占有率呢？2.2 模型求解以A、日C三家的情況為例，當市場出現(xiàn)平衡狀態(tài)時，從公式(7)可得方程S=SP,即由此得經整理，并加上條件Pl+P2+P3=1,得0.40.30.3,0.60.30.1,0.60.10.3上方程組是三個變量四個方程的方程組，在前三個方程中只有二個是獨立的，任意刪去一個，從剩下的三個方程中，可求出唯一解：p1=0.5,p2=0.25,p3=0.

16、25這就是A、日C三家的最終市場占有率.一般N個狀態(tài)的穩(wěn)定市場占有率(穩(wěn)態(tài)概率)S=(pi,P2,APn)可通過解方程組(pi,p2,Apn)=(pi,p2,Apn)piip21p12p22AApin-p2NMMAM(9),、pN1pN2ApNN/N工pk=1,k1求得，而(9)的前N個方程中只有Z1個是獨立的，可任意刪去一個。MATLA翼序：formatratp=0.40.30.3,0.60.30.1,0.60.10.3;a=p'-eye(3);ones(1,3);b=zeros(3,1);1;p_limit=ab題型二、期望利潤預測企業(yè)追逐市場占有率的真正目的是使利潤增加，因此，競

17、爭各方無論是為了奪回市場份額，還是為了保住或者提高市場份額，在制訂對策時都必須對期望利潤進行預測.預測主要分兩步進行：市場統(tǒng)計調查.首先調查銷路的變化情況，即查清由暢銷到滯銷或由滯銷到暢銷，連續(xù)暢銷或連續(xù)滯銷的可能性是多少.其次統(tǒng)計出由于銷路的變化，獲得的利潤和虧損情況.建立數(shù)學模型，列出預測公式進行預測.例如，通過市場調查，我們得到如下的銷路轉移表（表6）和利潤變化表（表7）.由此，我們來建立數(shù)學模型.40%連續(xù)滯銷的可能性為60%利潤表說明的是連續(xù)暢銷獲利900萬元，由暢銷到滯銷或由滯銷到暢銷均獲利300萬元，連續(xù)滯銷則虧損700萬元.從而得到銷售狀態(tài)的轉移矩陣P和利潤矩陣R分別為：2即時期利潤：qi =v，= " UjPji =1,2j i600