食堂窗口建模優(yōu)化

1、排隊論模型應(yīng)用 排隊論模型應(yīng)用食堂窗口設(shè)置合理化改進指導(dǎo)老師： 學(xué) 生： 學(xué) 號： 2010年6月19日問題 學(xué)生食堂的賣飯菜窗口個數(shù)和同學(xué)們吃飯的方便程度有關(guān).窗口太少,吃飯高峰期同學(xué)排除時間很長,浪費時間,引發(fā)學(xué)生的不滿情緒.窗口太多,會造成資源浪費,增加食堂成本.請同學(xué)們完成以下問題:(1)請建立數(shù)學(xué)模型說明窗口設(shè)置是否合理;(2)給食堂管理部門寫一封短信,提出你對改進食堂賣菜飯窗口數(shù)量設(shè)置的建議.問題分析 食堂窗口與就餐人員之間是服務(wù)機構(gòu)與顧客的關(guān)系,可以用服務(wù)系統(tǒng)模型來表示,就餐人員打飯的過程,即為顧客接受服務(wù)機構(gòu)服務(wù)的過程.離去到達顧客排隊規(guī)則等待服務(wù)服務(wù)時間服務(wù)系統(tǒng)接受服務(wù)故可以

2、用排隊論模型中有關(guān)服務(wù)系統(tǒng)的理論來分析和解決該問題.模型建立 學(xué)生到食堂就餐的時刻可以認為是隨機的,若用N(t)表示0,t)時間內(nèi)到達該服務(wù)系統(tǒng)的顧客數(shù),則對于任意一個給定的時刻t,N(t)的值都是隨機的,即隨機變量族N(t)|t0,A)是一個隨機過程.同樣,打飯需要的時間長短因人而異,也認為是隨機的,若用V(n)表示第n位顧客所需的服務(wù)時間,則有隨機變量族Vn,n=1,2,.我們排除團體用餐的情況,并且將少數(shù)結(jié)伴而來的學(xué)生亦視為有先后順序,故這里將學(xué)生就餐的過程看作是排隊論中的泊松過程(最簡單流)討論.因此,由排隊論的有關(guān)知識, t時刻到達服務(wù)系統(tǒng)的人數(shù)為k 的概率為:P(N(t)=k)=

3、(t)kk!e-t ,k=1,2,其中0,第n位顧客所需的服務(wù)時間不超過t的概率服從負指數(shù)分布:P(Vnt)= 1-e-t , t0 , 0 , t<0 . 其中0.為了使模型便于求解,假定每個工作人員的打飯效率相同,每個窗口的飯菜相同,即不會出現(xiàn)某個窗口“扎堆”排長隊或無人問津的現(xiàn)象.由于每個窗口獨立排隊、服務(wù),這里把m個窗口服務(wù)X位顧客的情況等同為1個窗口服務(wù) Xm 位顧客的情況來討論.又假定食堂打陶服務(wù)系統(tǒng)的容量無限,來到食堂就餐的學(xué)生不會在未打好飯之前離去.這樣,得到一個輸入過程為最簡單流,服務(wù)時間為負指數(shù)分布,1個服務(wù)臺,系統(tǒng)容量無限,顧客源數(shù)無限的等待制排隊模型.這里,對有關(guān)

4、符號的數(shù)量指標加以說明: 單位時間內(nèi)平均到達的顧客數(shù),即平均到達率; 單位時間內(nèi)受到服務(wù)的顧客數(shù),即平均服務(wù)率;1 每位顧客的平均服務(wù)時間;Lq 等待隊長的期望值; Wq 等待時間的期望值. 模型求解 某食堂有4個服務(wù)窗口,對該食堂進行討論.在11:30至12:10之間,每4分鐘為1個時段,統(tǒng)計到達人數(shù),如下表.時段12345678910到達數(shù)68931051181341471361138947求得平均到達率為:= 68+93+105+118+134+147+136+113+89+4710×4×4 = 5.94 (人/分鐘)相應(yīng)地,對50名顧客接受服務(wù)的時間進行統(tǒng)計,得到下

5、表.時間(秒)055101015152020252530人數(shù)2358311求得平均服務(wù)時間為:1 = 2×2.5+35×7.5+8×12.5+3×17.5+1×22.5+1×27.550×60 = 0.157(分鐘)平均服務(wù)率為: = 6.37 (顧客/分鐘)等待隊長的期望值為:Lq = 2(-)=5.9426.37×(6.37-5.94) = 12.88(顧客)等待時間的期望值為:Wq = (-)=5.946.37×(6.37-5.94) = 2.17(分鐘)結(jié)果分析 上述模型求出的平均服務(wù)時間為9.4

6、秒,這與實際情況大體吻合;等待隊長的期望值為12.88顧客,明顯偏長,但實際上,高峰期往往排隊會更長些,這主要是因為在高峰期,用餐人數(shù)比閑時明顯增多(如下圖所示),且持續(xù)時間較長;相應(yīng)地,現(xiàn)實中高峰期的等待時間也比求得的平均等待時間(2.17分鐘)要久.另外,實際上并不是每個窗口的飯菜都一樣的,存在個別窗口很受歡迎或不受歡迎的情況,造成該窗口前的排隊明顯過長.就餐人員排隊時間過長,自然會產(chǎn)生不滿情緒.時段到達人數(shù)相應(yīng)地,在就餐人數(shù)較少時,單位時間到達的顧客數(shù)明顯少于單位時間工作人員所能服務(wù)的人數(shù),造成資源浪費,增加了食堂的成本.因此,該食堂的窗口設(shè)置尚不夠合理的.現(xiàn)從就餐人員排隊時間過長引起不

7、滿和食堂資源浪費增加成本兩個方面來考慮改進窗口設(shè)置.窗口設(shè)置改進:現(xiàn)假設(shè)各時段內(nèi)的用餐人數(shù)是均勻增加的,根據(jù)各時段的到達人數(shù)分別求出每個時段需要的窗口數(shù),如下表所示.11:30為零點，每4分鐘為1個時段時段窗口數(shù)11:30前, 3個窗口即可; 11:35應(yīng)開放4個窗口;11:45應(yīng)開放5個窗口,以防止出現(xiàn)排隊過長的現(xiàn)象;直到12:05再減少為4個窗口,至此時,5、6、7時段排隊的就餐人員已經(jīng)服務(wù)完畢;12:10后只需2個窗口即可.調(diào)整后,各時段能夠服務(wù)人數(shù)和需要排隊等待人數(shù)如下表.時間11:3011:3511:4512:0512:10窗口3個4445個4個時段11:3411:3811:4211

8、:4611:5011:5411:5812:0212:0612:10服務(wù)76.44101.9101.9101.9127.4127.4127.4127.4127.450.96排隊003.0816.086.619.68.6000這里做出說明,大約到11:48,到就餐人數(shù)的才達到5個窗口能夠服務(wù)的人數(shù),按平均服務(wù)時間來算,11:45至11:48之間的3分鐘時間內(nèi),5個窗口的服務(wù)能力有剩余,完全能夠完成之前排隊人員( 所示)的服務(wù).窗口調(diào)整后的等待時間( 和 部分取最大值)僅為調(diào)整前(2.17分鐘)的一半:(6.6+19.6+8.6)/5×0.157=1.09(分鐘),改進的效果十分明顯.對于

9、食堂的運營成本, 其它因素不變的情況下,這里只討論人力部分.該食堂11:20至12:10之間營業(yè),每個窗口有1名工作人員,總的人力成本為:50×4=200(人·分鐘).調(diào)整窗口設(shè)置后,11:20至11:30只需最多2個窗口,12:10至12:20也只需最多2個窗口,總的人力成本最多為:2×10+3×5+4×10+5×20+4×5+2×10=190(人·分鐘).故窗口設(shè)置按照該方案調(diào)整后,食堂的運營成本也會相應(yīng)減少.給食堂管理部門的建議 某食堂現(xiàn)在有4個窗口,經(jīng)過我們的調(diào)查分析,人少時窗口空閑浪費資源,增加成本,人多時就餐人員排隊過久,引起不滿情緒.為既減少排隊等待時間防止用餐人員不滿,又降低食堂成本,有如下2條建議:1.按就餐人員到達時間設(shè)置窗口:11:30前個,11:30后3個,11:35后4個,11:45后5個,12:05后4個,12:10后2個.調(diào)