概率啦啦啦啦啦統(tǒng)計

1、第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 為了更好的揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律，引入隨機(jī)變量來描述隨機(jī)試驗的不同結(jié)果例例 電話總機(jī)某段時間內(nèi)接到的電話次數(shù).例例 拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的兩個結(jié)果S=正面,反面，可以用一個變量來描述反面向上正面向上, 0, 1X, 3 , 2 , 1 , 0eS 此試驗的樣本空間是 , kX ;, 2 , 1 , 0, kke定義當(dāng)2.1 隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的概念定義 設(shè)E是一隨機(jī)試驗，S 是它的樣本空間，則稱 S 上的單值實值函數(shù) X ( )為隨機(jī)變量隨機(jī)變量一般用 X, Y , Z ,或小寫希臘字母, , 表示)(XS實數(shù)按一定法則

2、若 隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量是RS上的映射，這個映射具有如下的特點： 定義域 : S 隨機(jī)性 : 隨機(jī)變量X 的可能取值不止一個， 試驗前只能預(yù)知它的可能的取值但不能預(yù)知 取哪個值 概率特性 : X 以一定的概率取某個值或某些 值 引入隨機(jī)變量后，用隨機(jī)變量的等式或不 等式表達(dá)隨機(jī)事件 在同一個樣本空間可以同時定義多個隨機(jī) 變量 隨機(jī)變量的函數(shù)一般也是隨機(jī)變量如，若用X 表示電話總機(jī)在9:0010:00接到的電話次數(shù)，100X或)100(X 表示“某天9:00 10:00 接到的電話次數(shù)超過100次”這一事件則 引入隨機(jī)變量后，用隨機(jī)變量的等式或不 等式表達(dá)隨機(jī)事件用隨機(jī)變量反面向

3、上正面向上, 0, 1)(X描述拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的結(jié)果, 則) 1)(X 正面向上也可以用反面向上正面向上, 1, 0)(Y描述這個隨機(jī)試驗的結(jié)果 在同一個樣本空間可以同時定義多個隨機(jī) 變量例如，要研究某地區(qū)兒童的發(fā)育情況，往往需要多個指標(biāo)，例如，身高、體重、頭圍等S = 兒童的發(fā)育情況 X ( ) 身高Y ( ) 體重Z ( ) 頭圍各隨機(jī)變量之間可能有一定的關(guān)系，也可能沒有關(guān)系 即 相互獨(dú)立隨機(jī)變量的分類隨機(jī)變量的分類離散型隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量 其中一種重要的類型為 連續(xù)型隨機(jī)變量定義了一個 x 的實值函數(shù)，稱為隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)，記為F ( x ) ,即定義定義 設(shè) X 為隨

4、機(jī)變量, 對每個實數(shù) x , 隨機(jī)事件)(xX 的概率)(xXPxxXPxF),()(隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)注: 分布函數(shù)的定義域:x分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)(1) F ( x ) 單調(diào)不減，即)()(,2121xFxFxx(2)1)(0 xF且0)(lim, 1)(limxFxFxx(3) F ( x ) 右連續(xù)，即)()(lim)0(0 xFtFxFxt),()(xF),3() 1 ()(xF上的實函數(shù)滿足以上條件一定是某隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。反之，若定義在則利用分布函數(shù)可以計算)()()()()(aFbFaXPbXPbXaP)(1)(1)(aFaXPaXP（ab （)0

5、()()(aFaFaXP)0()(aFbF)()0(aFbF)0()0(aFbF)(bXaP)(bXaP)(bXaP請?zhí)羁?(lim)0(0tFxFxt只可能取0、1兩個值,且根據(jù)題意,舉例子例1 投擲一顆勻稱的骰子,記錄其出現(xiàn)的點數(shù).令 當(dāng)出現(xiàn)偶數(shù)點當(dāng)出現(xiàn)奇數(shù)點, 1, 0XXX則是一個隨機(jī)變量.的分布函數(shù).求X解:,210XP211XP當(dāng)0 x時, xX0)(xXPxF當(dāng)10 x時, ,0XxX.210)(XPxXPxF當(dāng)當(dāng)1x時, SXXxX101)(xXPxF于是得到隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為1, 110 ,210, 0)(xxxxF例2 已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為(1) 確定常數(shù)0, 0

6、0,)(xxbeaxFx;,ba(2) 求,2lnXP1XP解 (1)由分布函數(shù)的性質(zhì),得abeaxFxxx)(lim)(lim1babeaxFFxxx)(lim)(lim)0(00000所以 1, 1ba(2) 2ln1)2(ln2lneFXP21211) 1 (1111FXPXP11)1 (1ee例3 某人打靶,圓靶半徑為1m. 設(shè)射擊一定中靶,且擊中靶上任一與圓靶同心的圓盤的概率與該圓靶的面積成正比.以X表示彈著點至靶心的距離,試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù). 解: 根據(jù)題意, X可能取0,1上的任何實數(shù). )(xXPxF當(dāng)0 x時, xX0)(xXPxF當(dāng)10 x時,00)(xXPXPxXP

7、xF20kxxXP在 2)(kxxF中, 令, 1x得;) 1 (kF又由題設(shè)知 1X是必然事件, 故 ; 11) 1 (XPFk當(dāng)1x時,SxX 是必然事件,故 1)(xXPxF隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為1, 110 ,0, 0)(2xxxxxF2.3 離散型隨機(jī)變量及其概率分布離散型隨機(jī)變量及其概率分布定義 若隨機(jī)變量 X 的可能取值是有限多個或 無窮可列多個，則稱 X 為離散型隨機(jī)變量描述離散型隨機(jī)變量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即, 2 , 1,)(kpxXPkk概率分布的性質(zhì)離散型隨機(jī)變量的概念離散型隨機(jī)變量的概念q , 2 , 1, 0kpk非負(fù)性q 11kkp規(guī)范性 F( x

8、) 是分段階梯函數(shù)，在 X 的可能取值 xk 處發(fā)生間斷，間斷點為第一類跳躍間斷點，在間斷點處有躍度 pk離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù))()()(1kkkkxFxFxXPp) )()()(xxkkxXPxXPxFxxkxxkkkpxXP)(例例1 設(shè)一汽車在開往目的地的途中需經(jīng)過 4 盞 信號燈，每盞信號燈獨(dú)立地以概率 p 允許 汽車通過。令 X 表示首次停下時已通過的 信號燈的盞數(shù)，求 X 的概率分布與 p = 0.4 時的分布函數(shù)。出發(fā)地目的地3 , 2 , 1 , 0),1 ()(kppkXPk解解4,)4(4kpXP01234xx, 4 . 06 . 06 . 02

9、1 x, 6 . 010 x, 00 x,4 . 06 . 04 . 06 . 06 . 0232 x),4 . 04 . 04 . 01 (6 . 03243 x14x)(xF kpk 0 1 2 3 40.60.40.60.420.60.430.60.44當(dāng)4 . 0p 01234xF( x)oo1ooo概率分布或分布函數(shù)可用來計算有關(guān)事件的概率例例2 在上例中，分別用概率分布與分布函數(shù)計算下述事件的概率：)2(),2(),2(),31 (),31 (XPXPXPXPXP1344. 06 . 04 . 06 . 04 . 0321344. 06 . 04 . 06 . 04 . 032)3

10、1 ( XP)3()2(XPXP解解)31 ( XP) 1 ()3(FF或)31 ( XP)3()2() 1(XPXPXP3744. 0)4 . 04 . 04 . 0(6 . 032) 1() 1 ()3(XPFF3744. 04 . 06 . 06 . 04 . 06 . 04 . 032)01 () 1 () 1 ()3(FFFF)01 ()3(FF)31 ( XP或) 1()31 (XPXP16. 084. 01) 1()0(1)2(1)2(XPXPXPXP16. 084. 01)02(1)2()2(1)2(1)2(FXPXPXPXP或此式應(yīng)理解為極限)(lim02xFx064. 09

11、36. 01)2() 1()0(1)2(1)2(XPXPXPXPXP對離散型隨機(jī)變量用概率分布比用分布函數(shù)計算這些概率更方便064. 0936. 01)2(1)2(1)2(FXPXP或096. 0)02()2()2(FFXP096. 0)2(XP或例例3 一門大炮對目標(biāo)進(jìn)行轟擊，假定此目標(biāo)必須 被擊中r 次才能被摧毀。若每次擊中目標(biāo)的 概率為p (0 p 1), 且各次轟擊相互獨(dú)立， 一次一次地轟擊直到摧毀目標(biāo)為止。求所需 轟擊次數(shù) X 的概率分布。解解P ( X = k ) = P ( 前 k 1次擊中 r 1次， 第 k 次擊中目標(biāo))pppCrkrrk)1 (111rkrrkppC)1 (

12、11, 1, rrk注1)1 (11rkrkrrkppC利用冪級數(shù)在收斂域內(nèi)可逐項求導(dǎo)的性質(zhì)xxkk1111222)1 (1) 1(xxkkk1|x當(dāng)333)1 (2)2)(1(xxkkkk33321)1 (1xxCkkkrrkrkrkxxC)1 (111歸納地令px1rrrkrkrkpppC1)1 (1 (1)1 (111)1 (11rkrkrrkppC例4 將3個有區(qū)別的球隨機(jī)地逐個放入編號為1，2，3，4的四只盒中（每盒容納球的個數(shù)不限）。設(shè)X為有球的盒子的最大號碼，試求：; 4 , 3 , 2 , 12|XP（1）隨機(jī)變量X的分布律與分布函數(shù)； （2 )解（1） 隨機(jī)變量X的可能取值為

13、：64141133XP6474122333XP64194233333XP64374344333XP即隨機(jī)變量X的分布律為X 1234P64164764376419X的分布函數(shù)為4, 143 ,642732 ,64821 ,6411, 0)(xxxxxxXPxFxxkk(2)222|XPXP21XPXP81648647641(1) 0 1 分布分布X = xk 1 0Pk p 1 - p0 p 0 為常數(shù)1xF( x)0 xf ( x)0對于任意的 0 a b, babaxeeaFbFxebXaP)()(d)(應(yīng)用場合應(yīng)用場合用指數(shù)分布描述的實例有：隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間電話問題中的通話時間無

14、線電元件的壽命動物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似例例4 假定一大型設(shè)備在任何長為 t 的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù) N( t ) 服從參數(shù)為t 的Poisson分布, 求相繼兩次故障的時間間隔 T 的概率分布.解解 )()(tTPtFT0),(10, 0ttTPt)0)()(tNPtTPtteet! 0)(00,10, 0)(tettFt0,0, 0)(tettft即T服從指數(shù)分布(3) 正態(tài)分布正態(tài)分布若X 的概率密度為xexfx222)(21)(則稱 X 服從參數(shù)為 , 2 的正態(tài)分布記作 X N ( , 2 ), 為常數(shù)，0N (-3 , 1.2 )-6-5-4-3-2-10.05

15、0.10.150.20.250.33f (x) 的性質(zhì)的性質(zhì)：q 圖形關(guān)于直線 x = 對稱: f ( +a ) = f ( - a) 在 x = 時, f (x) 取得最大值21在 x = 時, 曲線 y = f (x) 在對應(yīng)的點處有拐點曲線 y = f (x) 以x軸為漸近線曲線 y = f (x) 的圖形呈單峰狀21)()(1)()(XPFFXP-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3q f (x) 的兩個參數(shù)： 位置參數(shù)即固定 , 對于不同的 , 對應(yīng)的 f (x)的形狀不變化，只是位置不同 形狀參數(shù)固定 ，對于不同的 ，f ( x) 的形狀不同.若 1 2

16、 則212121比x = 2 所對應(yīng)的拐點更靠近直線 x = 附近值的概率更大. x = 1 所對應(yīng)的拐點前者取 Showfn1,fn3-6-5-4-3-2-10.10.20.30.40.5大小應(yīng)用場合應(yīng)用場合 若隨機(jī)變量 X 受到眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，而每一個別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加, 則 X 服從正態(tài)分布.可用正態(tài)變量描述的實例非常之多：各種測量的誤差； 人的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸； 農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度； 金屬線的抗拉強(qiáng)度；熱噪聲電流強(qiáng)度； 學(xué)生們的考試成績；一種重要的正態(tài)分布一種重要的正態(tài)分布：N (0,1) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布xexx2221)(它的分

17、布函數(shù)記為 (x)，其值有專門的表可查 (x) 是偶函數(shù)，其圖形關(guān)于縱軸對稱xtexxtd21)(225 . 0)0()(1)(xx1)(2)|(|aaXP5 . 0)0(-3-2-11230.10.20.30.4-xx)(1)(xx1)(2)|(|aaXP-3-2-11230.10.20.30.4對一般的正態(tài)分布 ：X N ( , 2) 其分布函數(shù)xttexFd21)(222)(作變量代換tsxxF)(abaFbFbXaP)()()(aaFaXP1)(1)(例例5 設(shè) X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)解解210216 . 1)6 . 10(XP5 . 03 . 05 . 01 3 . 06915. 01 6179. 03094. 0P380 附表3例例6 已知), 2(2NX且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求 P ( X 0 ).解一解一20)0(XP2122