期中綜合練習(xí)卷B

1、 高等數(shù)學(xué)（工）高等數(shù)學(xué)（工）2 2 期中復(fù)習(xí)卷期中復(fù)習(xí)卷(B) (B) ( (多元微分多元微分, ,空間解幾空間解幾, ,級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)) )1.2.3.4.5.6.7.8.9.BDAACDBCB一,選擇題二、填空題：12sin241431.2xyzy ffxee 2. 3. 4. 22104253134(1), 13.26nnnxtytztxypxx 5. 7. 8. 23( 1,1)( 1,1)( 1,1)( 1,1) ( 1,1)( ) A. 23 B. 23 C. 32 D. 32zx ydzdxdydzdxdydzdxdydzdxdy 1 1. .函函數(shù)數(shù)在在 處處的的全全微微分分為為

2、xydzz dxz dy223,yzx y32,xzxy( 1,1)3yz( 1,1)2,xz ( 1,1)23dzdxdy B(0,0) ( ). A. B. C. D. zxy 2 2. . 點(diǎn)點(diǎn)是是函函數(shù)數(shù) 的的 極極大大值值點(diǎn)點(diǎn)極極小小值值點(diǎn)點(diǎn)非非駐駐點(diǎn)點(diǎn)駐駐點(diǎn)點(diǎn)(0,0)0,(0,0)0 xyzzyzx,xzy(0,0).是駐點(diǎn)D(0,0)0 ,yyCz(0,0)0 ,xxAz(0,0)1,xyBz210 ,ACB (0,0).不是極值點(diǎn)1xyz0,xxz0,yyz txtytfff zyxts( , , ), ( , ),( , ) ,( ) A. B. C. D. txtytxt

3、yttttttzf t x yxs tys tztffffffffff 3. 3. 已已知知函函數(shù)數(shù) 均均有有一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 則則 zt 79,zfPtt注意記號(hào)的不同含義.Atf tytf y xtf x 111(),( ) A. B. C. D. nnnnnnnuvuv 4 4. . 當(dāng)當(dāng)收收斂斂時(shí)時(shí) 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)與與 可可能能都都發(fā)發(fā)散散必必定定都都收收斂斂必必定定都都發(fā)發(fā)散散必必定定都都絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂A收收斂斂+ +收收斂斂收收斂斂收收斂斂+ +發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散+ +發(fā)發(fā)散散可可能能收收斂斂可可能能發(fā)發(fā)散散00(1)2,(1)3( ) A. B. C. D. nnnnnna

4、xxaxx 5 5. . 若若在在處處收收斂斂 則則在在處處 一一定定發(fā)發(fā)散散可可能能收收斂斂可可能能發(fā)發(fā)散散一一定定絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂一一定定條條件件收收斂斂C1xt 令令1nnna t 在在t t = -3 = -3 處收斂，處收斂，由由Abel定理定理 ，該冪級(jí)數(shù)在，該冪級(jí)數(shù)在4t 時(shí)絕對(duì)收斂，時(shí)絕對(duì)收斂，故在故在3x 處絕對(duì)收斂。處絕對(duì)收斂。2,t 1(3)( )3118 10 A. (,) B. (,) C. (3 , 3) D. (0,6)3333nnnnx 6 6. . 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂區(qū)區(qū)間間是是 Dlimn1nnaa11 33nnnn131 13nnlimnlimn13.R

5、(0,6).收斂區(qū)間333x 06x(2,1,1)(0,1,1)_.1111( )(0,)( )(0,)2222111111 ( )(,)()(,)333333abABCD 7.7.同同時(shí)時(shí)垂垂直直于于向向量量和和的的單單位位向向量量是是ab2 1 10 1 1( , , )02 2ijk|=ab2 2|abeab11(0,)22B 0,2（ -2，） 320220,21030 _. A. B. C. D. , xyzxyzxyz 8 8. .設(shè)設(shè) 直直線線L L: :, , 平平面面 : :4 4則則直直線線L L平平行行于于平平面面直直線線L L在在平平面面 上上直直線線L L垂垂直直于于

6、平平面面直直線線L L與與平平面面 相相交交 但但不不垂垂直直2(2, 1, 10)n 1(1,3,2),n s方向向量(4, 2,1) n 法向量 12nn1 3 22 1 10( , , )28( 14)7ijk7(4, 2 ,1 ) / / ns / /sn由L直線平面C90,0( )( )( )()AxCzDA C DAxByCxDy、設(shè)設(shè)平平面面方方程程為為：，其其中中均均不不為為 ， 則則平平面面 平平行行于于 軸軸平平行行于于 軸軸經(jīng)經(jīng)過過 軸軸經(jīng)經(jīng)過過 軸軸( )BB0,yDy平行于 軸,所以不經(jīng)過 軸1. ( sin ,2 ), , .zf xy xyfzx 設(shè)設(shè)其其中中 具

7、具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 則則2. 20 ( . ) .xyzezezzf x yy 方方程程所所確確定定的的函函數(shù)數(shù) 的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)二填空題二填空題12sin y ff ( , , )F x y z zyyzFF2xyzxee .2xyzxee2xyzxee (1,1,1)3. (1,1,1)2, 1,3 .uxyzPlul 函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處沿沿方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)4142cos,14 (1,1,1)ul 414 1cos,14 3cos14 21 1 114( , , )yz 1(1,1,1)14xz3(1,1,1)14xy 解解: 向量 l 的方向余弦為, ,0,

8、 .a b cabca bb cc a 4 4. . 設(shè)設(shè)為為單單位位向向量量 且且滿滿足足則則| | | 1abc2()3a bb cc a 322abc() ()abcabc2() a ab bc ca bb cc a222|abc2() a bb cc a035. 428 .xyz 過過原原點(diǎn)點(diǎn)且且與與平平面面垂垂直直的的直直線線的的參參數(shù)數(shù)式式方方程程為為 (4, 1,2)n 平面法向量即直線方向向量 :L直線,412xyz2ztyt 4xt:L的參數(shù)方程42xtytzt 222222416. .xyzxyz 準(zhǔn)準(zhǔn)線線為為, ,母母線線平平行行于于z z軸軸的的柱柱面面方方程程為為22

9、222241xyzxyz22224()1xyxy消去z22531xy22531xy 13117. , .npnpn 已已知知條條件件收收斂斂則則 的的取取值值范范圍圍為為1311npnn收斂131lim0npnn30p311pnn發(fā)散31p34p 34p 18. ( )1,3 .f xxx 展展開開成成的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開式式為為1132(1)xx10(1)2nnnx11 12x 01122nnx13x 10(1)2nnnx 13x 121121x21. ln(), (0,0), ,.yzzzxxyxyxx y 設(shè)求三計(jì)算題三計(jì)算題lnlnxy1yxzyx解解:1yxy1x1lnyxxxy

10、z解解:222. , ( ), ( )0,.()yzzzf uf uxyf xy設(shè)其中可導(dǎo)且求2yff 22xyff zx2x21()yf zyf ( 2 )y2212yfff1f或或zy2f1 f y f 2()y 2212yfff解解:22(1)(2) ln(1) tan, (1,2).xyzx yyxyxz3.設(shè)求( ,2),z xx( ,2)( )1xzxx (1,2)1xz解解:,( , ) sin()10, ,.uxyyzzxzz x yuuxzyzxy4. 設(shè)其中由方程確定 求xyzuxu ()yz()xyzxcos()zxyyz zxxzGG ( , , )G x y z其中其

11、中yu ()xz()yyzxcos()cos()yzzxyzy zyyzGG 其中其中解解:1! 25. (1) nnnnn判別級(jí)數(shù)的斂散性 用比值法.11(1)! 2lim(1)nnnnn1limnnnuu! 2nnnn 112lim1nnn2lim1nnnn2e正項(xiàng)級(jí)數(shù)1! 2 .nnnnn收斂121(sin ) (2)4nnn解解:2(sin )1 44nnn11 4nn收斂1( . )4q 的幾何級(jí)數(shù)21(sin ) .4nnn收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)26( )ln(56)f xxxx、設(shè)，展開成 的冪級(jí)數(shù).解：( )ln(3)(2)f xxxln(3)ln(2)xxln3ln(1)ln2ln(1

12、)32xx110011ln6( )( )1 31 2nnnnxxnn-1110111ln6()1 32nnnnxn( 2,2)x 3x 3x 3 3, ) 當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，解：解：1 1）當(dāng)當(dāng)收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?1()nnn 收斂11nn 發(fā)散1nnaa limn 3 =nn 11(1)3nn limn 113nn 13 limn 13R ( )s x1( )3nnnxs xn ( )s x 1113()3nnx 11313x 13x （2 2）設(shè)和函數(shù)為）設(shè)和函數(shù)為，則，則逐項(xiàng)求導(dǎo)：逐項(xiàng)求導(dǎo)： 113nnnnn x ( 3, 3)x 001( )3xxs x dxdxx ( )(0)s x

13、s 0ln(3)xx (0)0s 3( )ln3s xx ( 3, 3)x 兩端積分：兩端積分： 3ln3x 13( )ln33nnnxs xnx 2x 11 2( )3nnn (2)s 令令，得，得ln3 3,2,2,2, 2,1,: (1) ,; (2) , ; (3) ; (4) .aba b aba bAbaabe8.已知求以為鄰邊的平行四邊形面積向量 在上的投影同時(shí)垂直于與的單位向量(1) 3 22 ( 2)2 14a b 解解:( , , ),2 2 16( 1)10 ijk3 2 2ab( 6, 1, 10),(2) A 22261( 10) 137|ab(3) Prjab |a

14、 ba2224322417 e 1137 1|abab(4) e, eab/eab( 6, 1, 10),6110( , , ).137137137 (3,1, 1)3200.Axyz 9.求點(diǎn)在平面 : 上的投影 ,AL過點(diǎn) 作直線平面解解: .LP直線 與平面 的交點(diǎn) 即為所求:(3,1,1)n平面 的法向量分析分析: :AL過點(diǎn) 且垂直于平面 的直線311,311xyz .L直線 的方向向量1zt 1yt 33xt:L的參數(shù)方程代入平面方程:3(33)(1)(1)200ttt1t 11110t3(33)(1)(1)200ttt: (6,2,0).AP點(diǎn) 在平面 上的投影點(diǎn)1 10z 1

15、12y 336x 1211:121212 .xxyzllyz10.求過直線 且與直線平行的平面方程解一解一:12nss(0,0,1).A點(diǎn)平面用平面點(diǎn)法式方程:( , , ),0 1 2042 ijk2 1 2平面點(diǎn)法式方程:4( 2)(1)0yz 210yz 1211:121212 .xxyzllyz10.求過直線 且與直線平行的平面方程解二解二:n 平面法向量:設(shè)平面 方程用平面束方程1:l直線 一般方程( )( )0(1)20 xyz(1,2,)22 ls 直線 方向向量2/l平面直線2ns20n s 022210yz 10 xz 20 xy所求平面:2xy1xz(0, 1,2).2n s 1. 0解解:222 235721 :.22xyzPPxzLyz11.求曲面上點(diǎn) ,使曲面在點(diǎn) 的切平面 垂直于直線222( , , )2357F x y zxyz令000(,).P xyz設(shè)所求點(diǎn)Ls