微積分課件第3節(jié)空間曲線及其在坐標面上的投影

1、第三節(jié)第三節(jié) 空間曲線及其在空間曲線及其在 坐標面上的投影坐標面上的投影第四節(jié)第四節(jié) 二次曲面二次曲面1.空間直角坐標系空間直角坐標系 2.空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式（軸、面、卦限）軸、面、卦限） 21221221221zzyyxxMM 3.曲面方程的概念曲面方程的概念復(fù)習復(fù)習一一. .空間直角坐標系空間直角坐標系 0 0 ),(zyxF2202020)()()(Rzzyyxx (1)(1)球面方程球面方程(2)(2)平面的方程平面的方程三元一次方程三元一次方程Ax+By+Cz+D=0( (A、B、C，D不全為不全為0)0)柱面的概念柱面的概念復(fù)習復(fù)習二二. .柱面及旋轉(zhuǎn)曲面柱面及旋

2、轉(zhuǎn)曲面 平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 C 移動的直線移動的直線L 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面.準線準線母線母線5.n維空間維空間 niRxxxxRinn, 2 , 1,214.空間曲線方程的概念空間曲線方程的概念 0 00 0),(),(zyxGzyxF;222Ryx 幾種常用的柱面方程及圖形幾種常用的柱面方程及圖形（1 1）圓柱面）圓柱面（2 2）橢圓柱面）橢圓柱面; 12222 byax（4 4）拋物柱面）拋物柱面（3 3）雙曲柱面）雙曲柱面; 12222 byax.22pyx 統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為二二次次柱柱面面 橢圓柱面橢圓柱面 圓柱面圓柱面 拋物柱面拋物柱面 復(fù)

3、習復(fù)習 一一平面曲線平面曲線 C 繞同一平面上的一條繞同一平面上的一條定直線定直線 L 旋轉(zhuǎn)一周旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為定直線定直線 L 稱為旋轉(zhuǎn)曲面的稱為旋轉(zhuǎn)曲面的三、三、 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面.曲線曲線C 稱為旋轉(zhuǎn)曲面的稱為旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸.1.1.圓錐面方程圓錐面方程).(2 22 22 2yxaz )(22yxaz 2.2. 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面xyzO第三節(jié)第三節(jié) 空間曲線及其在空間曲線及其在 坐標面上的投影坐標面上的投影第四節(jié)第四節(jié) 二次曲面二次曲面一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程二、空間曲線在坐標面上的投影二、空間曲線在坐標面上的投影

4、三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題 第三節(jié)第三節(jié) 空間曲線及其在坐標空間曲線及其在坐標面上的投影面上的投影一、空間曲線的概念所表示的曲線方程稱為所表示的曲線方程稱為方程組方程組特殊地，特殊地，空間直線空間直線方程方程 00222111zCyBxAzCyBxA把把空間曲線空間曲線C看作是看作是兩曲面的交線兩曲面的交線.空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程.1、空間曲線、空間曲線第三節(jié) 空間曲線及其在坐標面上的投影xozy1S2SC 0),(0),(zyxGzyxF z = 3在平面在平面 z = 3 上的圓上的圓. .因為因為 x2 + y2 + z2 = 25表示什么曲線表示什么曲線? ?例例1

5、方程組方程組xyzO ;3,25222zzyx5 的球面的球面.半徑為半徑為 解解是球心在原點是球心在原點,坐標面的平面，坐標面的平面，是平行于是平行于 x y 因而它們的交線是因而它們的交線是z = 3 1 16 62 22 2 yx三、空間曲線及其在坐標面上的投影例例2 2 方程組方程組 表示怎樣的曲表示怎樣的曲線？線？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交線為橢圓交線為橢圓.第三節(jié) 空間曲線及其在坐標面上的投影例例3 3 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 4)2(222222ayax

6、yxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圓柱面圓柱面,交線如圖交線如圖.第三節(jié) 空間曲線及其在坐標面上的投影過曲線過曲線C上的每一點作上的每一點作xOy坐標面的垂線坐標面的垂線, ,),(),( 0 00 0zyxGzyxF投影柱面方程的確定：投影柱面方程的確定： 0 00 0),(),(zyxGzyxF由方程組由方程組消去變量消去變量z，所得方程，所得方程0 0 ),(yxH設(shè)空間曲線設(shè)空間曲線C的方程為的方程為xOy坐標面上的投影曲線方程坐標面上的投影曲線方程;),( 0 00 0zyxH簡稱簡稱投影投影.稱為曲線在稱為曲線在xOy面上的面上的投影曲線投影曲線

7、,這個柱面與這個柱面與xOy面面投影柱面投影柱面.線線C關(guān)于關(guān)于xOy坐標面的坐標面的稱其為曲稱其為曲成了一個母線平行于成了一個母線平行于z軸且過曲線軸且過曲線C的柱面的柱面,這些垂線形這些垂線形為為投影柱面方程投影柱面方程.2、投影曲線、投影曲線的交線的交線二、空間曲線在坐標面上的投影如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面二、空間曲線在坐標面上的投影類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲線投影曲線,yoz面上的面上的投影曲線投影曲線

8、,xoz 00),(zyxH空間曲線在空間曲線在 面上的面上的投影曲線投影曲線xoy第三節(jié) 空間曲線及其在坐標面上的投影 例例4 4 求曲線求曲線 在在 xoy坐標坐標面上的投影曲線的方程面上的投影曲線的方程. . yyxzyx8,64:22222yyx822 解解就是就是 關(guān)于關(guān)于xoy 坐標面的投影坐標面的投影柱面方程，柱面方程， .0,822zyyx方程方程坐標面上的投影曲線是圓坐標面上的投影曲線是圓.因而曲線因而曲線 在在 x y16)4(22 yx圓柱面圓柱面64222 zyx球面球面1 16 64 42 22 2 )(yx例例5 5 求曲線求曲線 在坐標面上的投影在坐標面上的投影.

9、 211222zzyx解解（1）消去變量）消去變量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy,04322 zyx二、空間曲線在坐標面上的投影所以在所以在 面上的投影為線段面上的投影為線段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也為線段面上的投影也為線段.yoz.23|,021 yxz（2）因為曲線在平面）因為曲線在平面 上，上，21 z二、空間曲線在坐標面上的投影,4322 yx截線方程為截線方程為 0222zyxxzy解解如圖如圖,二、空間曲線在坐標面上的投影（2）消去）消去y得投影得投影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.

10、00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyx二、空間曲線在坐標面上的投影 0222zyxxzy補充補充: : 空間立體或曲面在坐標面上的投影空間立體或曲面在坐標面上的投影. .空間立體空間立體曲面曲面二、空間曲線在坐標面上的投影例例7.,)(,面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域求它在求它在錐面所圍成錐面所圍成和和由上半球面由上半球面設(shè)一個立體設(shè)一個立體xoyyxzyxz2 22 22 22 23 34 4 解解半球面和錐面的交線為半球面和錐面的交線為 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去二、空間曲線在坐標面上的投影在

11、在 面上的投影為面上的投影為xoy, 0 01 12 22 2zyx一個圓一個圓,面上的投影為面上的投影為在在則交線則交線xoyC . 0, 122zyx一個圓一個圓,面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域為為所所求求立立體體在在xoy. 0 00 02 22 2zyx二、空間曲線在坐標面上的投影空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程:三、小結(jié)空間曲線在坐標面上的投影空間曲線在坐標面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT第三節(jié) 空間曲線及其在坐標面上的投影練習：練習：P267:1(單單)，2(單單)，3，4(單單)思考題思考題 求求橢橢圓圓拋

12、拋物物面面zxy 222與與拋拋物物柱柱面面zx 22的的交交線線關(guān)關(guān)于于xoy面面的的投投影影柱柱面面和和在在xoy面面上上的的投投影影曲曲線線方方程程.第三節(jié) 空間曲線及其在坐標面上的投影思考題解答思考題解答,22222 zxzxy交線方程為交線方程為消消去去z得得投投影影柱柱面面, 122 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy.0122 zyx第三節(jié) 空間曲線及其在坐標面上的投影練練 習習 題題三三、 將將曲曲線線 xyzyx9222化化為為參參數(shù)數(shù)方方程程練練 習習 題題四四、 求求螺螺旋旋線線 bzayaxsincos在在三三個個坐坐標標面面上上的的投投影影曲曲線線的的直直角角坐坐標標方方程程 . .五五、 求求由由上上半半球球面面222yxaz , , 柱柱面面022 axyx及及