多元函數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)

1、1上下1上下 第七章第七章 多元微分學(xué)多元微分學(xué) 空間曲面與曲線多元復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)法則偏微商與全微分多元函數(shù)的基本概念12上下2上下理解二元函數(shù)的定義，會求二元函數(shù)的定義域理解二元函數(shù)的定義，會求二元函數(shù)的定義域 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)概念 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)概念 理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義，掌握多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義，掌握多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 理解全微分概念，會求二元函數(shù)全微分理解全微分概念，會求二元函數(shù)全微分掌握多元函數(shù)的極值概念，會求多元函數(shù)的極值 掌握多元函數(shù)的極值概念，會求多元函數(shù)的極值 會使用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會應(yīng)用最小二乘法 會使用拉格朗日

2、乘數(shù)法求條件極值，會應(yīng)用最小二乘法 會解一些經(jīng)濟問題中的最優(yōu)化問題 會解一些經(jīng)濟問題中的最優(yōu)化問題 教學(xué)目的教學(xué)目的:本章重點本章重點:本章難點本章難點:偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，多元復(fù)合函偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，多元函數(shù)極值求法數(shù)求導(dǎo)法則，多元函數(shù)極值求法. .二元復(fù)合函數(shù)微分法，多元函數(shù)的極二元復(fù)合函數(shù)微分法，多元函數(shù)的極值與求法值與求法. . 23上下3上下v目的要求目的要求 掌握復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法掌握復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法則，隱函數(shù)求偏導(dǎo)法則。則，隱函數(shù)求偏導(dǎo)法則。v重點重點 復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法則v難點難點 復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法則7.4 多元復(fù)合函

3、數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)法則34上下4上下一、一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理定理 (1) u= (x,y),v= (x,y)的偏導(dǎo)數(shù)在點的偏導(dǎo)數(shù)在點 (x，y) 處連續(xù)處連續(xù); (2) 函數(shù)函數(shù)z= f(u,v)的偏導(dǎo)數(shù)在的偏導(dǎo)數(shù)在(x,y)的對應(yīng)點的對應(yīng)點 (u,v)處連續(xù)處連續(xù). 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) z= f (x,y), (x,y) 在在(x,y)處存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且處存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且7.4 多元復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)法則45上下5上下xvvfxuufxz yvvfyuufyz z=fuvxyxy鏈式法則鏈式法則復(fù)合函數(shù)復(fù)合函

4、數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則z= f (u,v) u=u(x,y),v=v(x,y)56上下6上下解解,yxvxyu 令令,sinvezu 則則xvvfxuufxz 1cossin veyveuu)cos()sin(yxeyxyexyxy yvvfyuufyz 1cossin vexveuu)cos()sin(yxeyxxexyxy 注注: 此題可不用鏈式法則來解此題可不用鏈式法則來解的的偏偏微微商商。求求例例)sin(yxezxy 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)67上下7上下解解22,uxy vxy 令令,vzu xvvfxuufxz 12lnvvvuxuu y 22222222()ln()xyx yxyyxyxy yvv

5、fyuufyz 12lnvvvuyuu x 22222222()ln()xyxyxyxxyxy 冪指函數(shù)冪指函數(shù)注注: 此題必須用鏈式法則來解此題必須用鏈式法則來解22()xyzxy 例例求求的的偏偏微微商商。導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)78上下8上下.)( arctan22dzeyxzxy，求求已已知知例例 解：解：xyvyxu ,22令令),(arctanvufuezv 則則xvvfxuufxz )11(22arctanarctanvuexevv )(2xy )(22222arctanyxyyxxexy )2(arctanyxexy 練習練習89上下9上下yvvfyuufyz xvueyevav1)11(22

6、arctanarctan )(22222arctanyxxyxyexy )2(arctanxyexy .)( arctan22dzeyxzxy，求求已已知知例例 xyvyxu ,22令令),(arctanvufuezv 則則910上下10上下)2(arctanxyexy dyyzdxxzdz )2()2(arctandyxydxyxexy .)( arctan22dzeyxzxy，求求已已知知例例 xvvfxuufxz )2(arctanyxexy yvvfyuufyz 考研考研題目題目1011上下11上下幾種常見的形式幾種常見的形式（1）若）若z= f(u,v), u=u (x), v= v

7、 (x) 只有一個自變量只有一個自變量 dxdvvfdxduufdxdz uvxz= f)()(),(xzxvxufz 則則這時這時1112上下12上下(2)若若z= f(u), u=u(x,y), u是是一個中間變量一個中間變量z=fuxyxududfxz yududfyz yxzyxufz,),( 1213上下13上下(3)若若z=f (u,x,y), u= (x,y)z=fuxyxyxfxuufxz yfyuufyz ),(),),(yxzyxyxfz 對于本形式，要注意以下幾點：對于本形式，要注意以下幾點：1314上下14上下 注意注意1. 這里這里x, y具有具有雙重雙重身份：既作為

8、自變身份：既作為自變量，也作為中間變量。量，也作為中間變量。2.:的的差差別別在在于于與與xfxz 前一個把前一個把x看作自變量，看作自變量，后一個把后一個把x看作中間變量。看作中間變量。 xfxuufxz yfyuufyz z=fuxyxy1415上下15上下例例 設(shè)設(shè)z=xy+et, x=sint, y=cost. 求求 dtdztfdtdyyfdtdxxfdtdz tyyetxxtyx )sin(lncos1cos12cos1(sin )cos(sin )lnsin.ttttttte 解解1516上下16上下例例 設(shè)設(shè)u= f(x,y,z),z=sin(x2+y2),求求yuxu ,u=

9、fyxzxyxzzfxfxu zfyxxxf )cos(222yzzfyfyu .)cos(222zfyxyyf 解解練習練習1617上下17上下例例 設(shè)設(shè)z= f(x2-y2,exy),f 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)求求yzxz ,z=fuvyxxy則則設(shè)設(shè),22xyevyxu xvvfxuufxz xyyevfxuf 2vfyeufxxy 2.2vfxeufyyzxy 解解1718上下18上下例例 設(shè)設(shè)z= f (x2-y2,exy), f 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)求有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)求2zy x z=fuvyxxy則則設(shè)設(shè),22xyevyxu .2vfxeufyyzxy 解解2()zzy xxy )2(vf

10、xeufyxxy 2222222()()xyxyxyfufvffyexyeuxu vxvvfufvxev uxvx z=fuvyxxy1819上下19上下例例解解 yzfuxy vxyyxvxyu ,令令yyyxyxyfx)()(1 yvvyvyuufx )()()(1 1)()()(1 vyvxufx _,).()(12 xyzfyxyxyfxz則則具有二階連續(xù)微商，具有二階連續(xù)微商， 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù),1920上下20上下)()()(vyvuf 2zy x )(yzx xvvyxvvxuuf )()()( )(11)()(yxyvyuf )()()(yxyyxxyf y yz例例),(yxvxyu

11、 _,).()(12 xyzfyxyxyfxz則則具有二階連續(xù)微商，具有二階連續(xù)微商， 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù),2021上下21上下解法二解法二1)()()(1 yxyyxxxyfxyz )()()(yxyyxxyf )()()(yxyyxxyf y 例例 yxz2_,).()(12 xyzfyxyxyfxz則則具有二階連續(xù)微商，具有二階連續(xù)微商， 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù),2122上下22上下隱函數(shù)微分法隱函數(shù)微分法(1.二元方程確定的一元隱函數(shù)二元方程確定的一元隱函數(shù)) 設(shè)設(shè)F(x,y)=0確定確定y是是x的可微函數(shù)的可微函數(shù)y=y(x),則則 Fx,y(x) 0 ,可知，可知，F(xiàn)通過通過y是是x的函數(shù)。的函數(shù)。 0

12、dxdyFFdxdFyxFxyx，則則有有若若0 yF.yxFFdxdy 二、復(fù)合函數(shù)微分法的應(yīng)用二、復(fù)合函數(shù)微分法的應(yīng)用利用復(fù)合函數(shù)微分法利用復(fù)合函數(shù)微分法2223上下23上下022.1 dxdyyxyxdxdy 222.( , )1F x yxy令令,2,2yFxFyx 則則yxyxFFdxdyyx 22的的函函數(shù)數(shù)的的微微商商，所所確確定定的的如如求求xyx122 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)2324上下24上下例的的函函數(shù)數(shù)，是是確確定定設(shè)設(shè)方方程程xyyxxy1 .dxdy求求解1),( yxxyyxF設(shè)設(shè)1,1,xyFyFx yxFFdxdy 則則.11 xy練習練習2425上下25上下2. 三元方程

13、確定的二元隱函數(shù)三元方程確定的二元隱函數(shù)設(shè)設(shè)F(x,y,z)=0確定確定z是是x,y的函數(shù)的函數(shù),根據(jù)鏈式法則有根據(jù)鏈式法則有0 xzFFzx0 yzFFzy，則則若若0 zF.,zyzxFFyzFFxz Fxyzxy2526上下26上下例例),(333yxfzaxyzz 確確定定設(shè)設(shè)方方程程.,yzxz 求求解解333) ,(axyzzzyxF 設(shè)設(shè).33,3,32xyzFxzFyzFzyx 時時，當當0332 xyzzxFFxz xyzyz3332 ,2xyzyz zyFFyz xyzxz3332 .2xyzxz 2627上下27上下例例,0 xyzez設(shè)設(shè)2.zx y 求解,),(xyzezyxFz 令令.,xyeFxzFyzFzzyx zxFFxz ,xyeyzz zyFFyz .xyexzz 2)()()(xyexyzeyzyzyzxyezzz .)(32222xyezyxexyzzezzz 2zx y ()zyx 2728上下28上下小節(jié)小節(jié)xvvfxuufxz yvvfyuufyz 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則.,zyzxFFyzFFxz 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)設(shè)F(x,y,z)=0確定確定z