第十三章SECTION3線性微分方程

1、§3 線性微分方程一、一般概念齊次線性微分方程與非齊次線性微分方程 設(shè)微分方程 (1)如果方程中的未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次的，這種方程稱(chēng)為線性微分方程.因?yàn)?，所以?）稱(chēng)為n階線性微分方程. 當(dāng)，(1)稱(chēng)為齊次線性微分方程.當(dāng)，(1)稱(chēng)為非齊次線性微分方程.如果都是常數(shù)，(1)就稱(chēng)為常系數(shù)線性微分方程.解的存在和唯一性定理 如果和在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且，那末對(duì)任意給定的初始條件方程(1)存在唯一解，式中為實(shí)數(shù).函數(shù)的線性相關(guān)性 對(duì)于一組函數(shù)，如果有不全為零的常數(shù),使等式在區(qū)間上成立，則稱(chēng)這組函數(shù)在區(qū)間上線性相關(guān).否則稱(chēng)這組函數(shù)線性無(wú)關(guān)（線性獨(dú)立）.朗斯基行列式 如果是個(gè)次可微的函數(shù)，則

2、稱(chēng)行列式為函數(shù)的朗斯基行列式.朗斯基行列式具有以下性質(zhì)：1o如果函數(shù)線性相關(guān)，那末它們的朗斯基行列式2o如果函數(shù)是某齊次線性微分方程的解，那末它們線性相關(guān)的充分必要條件是它們的朗斯基行列式n階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 如果階齊次線性微分方程， 有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.那末它的通解是這個(gè)解的線性組合，即其中是任意常數(shù).這時(shí)又稱(chēng)為所給齊次線性微分方程的一組基本解.階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 非齊次線性微分方程的通解是它的一個(gè)特解與對(duì)應(yīng)齊次方程的通解之和，即式中為任意常數(shù).二、常系數(shù)線性微分方程1.齊次線性微分方程通解的求法特征方程與特征根對(duì)于階實(shí)常系數(shù)齊次線性微分方程 (2)作相應(yīng)的次代數(shù)方程 (3)

3、稱(chēng)它為微分方程(2)的特征方程，特征方程(3)的個(gè)根稱(chēng)為相應(yīng)微分方程(2)的特征根.齊次方程的通解 為了求階常系數(shù)齊次線性微分方程(2)的通解，只要找出它的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解就可以了.根據(jù)其全體特征根的各種情況，分別列出對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特解. 特 征 根對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特解(j = 1,2,n)是互異實(shí)根yj(x) = (j = 1,2,n)是特征方程的單根，則也是特征方程的單根y1(x) = cosxy2(x) = sinx是特征方程的r重實(shí)根y1(x) = , y2(x) = x,，yr(x) = xr-1是特征方程的r重復(fù)根，則也是r重復(fù)根2.非齊次線性微分方程特解的求法給定階非齊次線性微分方

4、程它的特解可用下面兩種方法來(lái)求.常數(shù)變易法 設(shè)其相應(yīng)的齊次線性微分方程的通解是那末非齊次線性微分方程有一個(gè)特解式中是待定函數(shù)，它們的導(dǎo)數(shù)滿(mǎn)足方程組例求微分方程的通解.解先求其相應(yīng)的齊次方程的通解.因特征方程，有特征根.于是齊次方程的通解為利用常數(shù)變易法求非齊次方程的一個(gè)特解y*(x) .令而c1(x),c2(x)由下列方程組確定解方程組得積分后得（k1,k2是任意常數(shù)）（因?yàn)橹灰粋€(gè)特解，可令k1=k2=0）,所以原方程的通解為待定系數(shù)法對(duì)特殊類(lèi)型的，可把特解的待定表達(dá)式及其相應(yīng)的各階導(dǎo)數(shù)代入原微分方程，然后比較同類(lèi)項(xiàng)系數(shù)，定出的待定表達(dá)式里所含的系數(shù)，最后得出方程的特解.現(xiàn)在把部分情況下的特

5、解形式列表如下：R(x)類(lèi)型特解y*(x)的待定表達(dá)式表中為已知常數(shù)；是正整數(shù)，如果的兩個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)不相同，則取為次數(shù)較大者；是待定常數(shù).表中右欄表達(dá)式分別是（自上而下）在不是其特征根的情形下的特解的待定表達(dá)式；如果它們是特征方程的重根，那末在表中的表達(dá)式上再乘以.例求解微分方程解先求相應(yīng)的齊次線性方程y(4)+2y"+y=0的通解.由特征方程4+22+1=(2+1)2=0可知特征根=i都是二重根.所以齊次方程的通解為y(x)=c1cosx+c2sinx+c3x cosx+c4x sinx利用待定系數(shù)法，求非齊次線性方程的一個(gè)特解.由于R(x)=sin2x，屬于表中第二類(lèi)表達(dá)式(a

6、=0,b=1,=2)，同時(shí)i=2i不是特征根，所以特解應(yīng)為y*(x)=Acos2x+Bsin2x.代入原方程，比較同類(lèi)項(xiàng)系數(shù)得所以特解是原方程的通解為式中c1,c2,c3,c4是任意常數(shù).三、 歐拉方程具有形狀 (是常數(shù))的方程稱(chēng)為歐拉方程.歐拉方程可以通過(guò)變量替換或化成未知函數(shù)關(guān)于新自變量的常系數(shù)線性微分方程.例求解歐拉方程解令或t=lnx，原方程變成特征方程是是二重根.通解為y=e-t(c1+c2t)所以原方程的通解是四、齊次線性微分方程的冪級(jí)數(shù)解法 具有冪級(jí)數(shù)形式的解 一般變系數(shù)的齊次線性微分方程，不一定能找到用初等函數(shù)表示的解，這時(shí)可以考慮求具有冪級(jí)數(shù)形式的解.現(xiàn)以二階齊次線性微分方程

7、為例說(shuō)明解法（高階方程同樣適用）.設(shè)其中和在可展成冪級(jí)數(shù).要求方程在附近的解，只要先假定這個(gè)解具有冪級(jí)數(shù)形式然后形式地算出所需的各階導(dǎo)數(shù)，代入原方程變成恒等式，確定待定的系數(shù)從而得出所求的冪級(jí)數(shù)解.如果，在不能展成冪級(jí)數(shù)，比如是x的有理分式，而分母在等于零，這時(shí)可試求具廣義冪級(jí)數(shù)形式的解，其中a和都是待定常數(shù).求勒讓德方程的解方程稱(chēng)為勒讓德方程，它的解稱(chēng)為勒讓德函數(shù).在x=0附近，方程的系數(shù)可以展成冪級(jí)數(shù)，令代入原方程，可以定出兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解所以勒讓德方程的通解為式中A,B是任意常數(shù)，是高斯超幾何級(jí)數(shù).若n為整數(shù)，則與中有一個(gè)為多項(xiàng)式，另一個(gè)仍然是無(wú)窮級(jí)數(shù).適當(dāng)選取任意常數(shù)A,B,使當(dāng)x=1時(shí)，多項(xiàng)式的值為1，這個(gè)多項(xiàng)式稱(chēng)為勒讓德多項(xiàng)式，記作，它屬于第一類(lèi)勒讓德函數(shù).另一個(gè)則與線性無(wú)關(guān)，它是無(wú)窮級(jí)數(shù)，記作，屬于第二類(lèi)勒讓德函數(shù).此時(shí)，勒讓德方程的通解為式中A,B為任意常數(shù).求貝塞耳方程的解方程稱(chēng)為v階貝塞耳方程，式中v為任意實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)），它的解稱(chēng)為貝塞耳函數(shù).因方程系數(shù),在x=0不能展成冪級(jí)數(shù)，而是x的有理分式.令代入原方程，令x各次冪的系數(shù)等于零，得，先取=v，得所以取，得貝塞耳方程的一個(gè)特解，記作它稱(chēng)為v階第一類(lèi)貝塞耳函數(shù)