專(zhuān)題_平面向量常見(jiàn)題型與解題指導(dǎo)

1、平面向量常見(jiàn)題型與解題指導(dǎo)一、 考點(diǎn)回顧1、本章框圖2、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線(xiàn)向量的概念。2、掌握向量的加法和減法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律。3、掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算法則及運(yùn)算律，理解兩個(gè)向量共線(xiàn)的充要條件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。5、掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題，掌握向量垂直的條件。6、掌握線(xiàn)段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并且能熟練運(yùn)用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形。8、通過(guò)解三角形的應(yīng)用的教學(xué)，繼續(xù)提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解

2、決實(shí)際問(wèn)題的能力。3、熱點(diǎn)分析對(duì)本章容的考查主要分以下三類(lèi)：1.以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性質(zhì).此類(lèi)題一般難度不大，用以解決有關(guān)長(zhǎng)度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問(wèn)題.2.以解答題考查圓錐曲線(xiàn)中的典型問(wèn)題.此類(lèi)題綜合性比較強(qiáng)，難度大，以解析幾何中的常規(guī)題為主.3.向量在空間中的應(yīng)用（在B類(lèi)教材中）.在空間坐標(biāo)系下，通過(guò)向量的坐標(biāo)的表示，運(yùn)用計(jì)算的方法研究三維空間幾何圖形的性質(zhì).在復(fù)習(xí)過(guò)程中，抓住源于課本，高于課本的指導(dǎo)方針.本章考題大多數(shù)是課本的變式題，即源于課本.因此，掌握雙基、精通課本是本章關(guān)鍵.分析近幾年來(lái)的高考試題，有關(guān)平面向量部分突出考查了向量的基本運(yùn)算。對(duì)于和解析幾何相關(guān)

3、的線(xiàn)段的定比分點(diǎn)和平移等交叉容，作為學(xué)習(xí)解析幾何的基本工具，在相關(guān)容中會(huì)進(jìn)行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重點(diǎn)?？偠灾?，平面向量這一章的學(xué)習(xí)應(yīng)立足基礎(chǔ)，強(qiáng)化運(yùn)算，重視應(yīng)用。考查的重點(diǎn)是基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。4、復(fù)習(xí)建議由于本章知識(shí)分向量與解斜三角形兩部分，所以應(yīng)用本章知識(shí)解決的問(wèn)題也分為兩類(lèi)：一類(lèi)是根據(jù)向量的概念、定理、法則、公式對(duì)向量進(jìn)行運(yùn)算，并能運(yùn)用向量知識(shí)解決平面幾何中的一些計(jì)算和證明問(wèn)題；另一類(lèi)是運(yùn)用正、余弦定理正確地解斜三角形，并能應(yīng)用解斜三角形知識(shí)解決測(cè)量不可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題。在解決關(guān)于向量問(wèn)題時(shí)，一是要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量

4、的各種運(yùn)算，進(jìn)一步加深對(duì)“向量”這一二維性的量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，并體會(huì)用向量處理問(wèn)題的優(yōu)越性。二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想，所以要通過(guò)向量法和坐標(biāo)法的運(yùn)用，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題上的作用。在解決解斜三角形問(wèn)題時(shí)，一方面要體會(huì)向量方法在解三角形方面的應(yīng)用，另一方面要體會(huì)解斜三角形是重要的測(cè)量手段，通過(guò)學(xué)習(xí)提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。二、常見(jiàn)題型分類(lèi)題型一：向量的有關(guān)概念與運(yùn)算此類(lèi)題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題與填空題中，在復(fù)習(xí)中要充分理解平面向量的相關(guān)概念，熟練掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算，掌握兩向量共線(xiàn)、垂直的充要條件.例1：已知a是以點(diǎn)A(3,1)為起點(diǎn)，且與向量b =

5、 (3,4)平行的單位向量，則向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)是.思路分析：與a平行的單位向量e=± 方法一：設(shè)向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y),則a =(x-3,y+1)，則題意可知，故填 (,-)或(,-)方法二與向量b = (-3,4)平行的單位向量是±(-3,4)，故可得a±(-,)，從而向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y)= a(3,1),便可得結(jié)果.點(diǎn)評(píng)：向量的概念較多，且容易混淆，在學(xué)習(xí)中要分清、理解各概念的實(shí)質(zhì)，注意區(qū)分共線(xiàn)向量、平行向量、同向向量、反向向量、單位向量等概念.例2：已知| a |=1,| b |=1，a與b的夾角為60°, x =2ab，y=3ba,

6、則x與y的夾角的余弦是多少？思路分析：要計(jì)算x與y的夾角，需求出|x|,|y|,x·y的值.計(jì)算時(shí)要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性.解：由已知|a|=|b|=1，a與b的夾角為60°,得a·b=|a|b|cos=.要計(jì)算x與y的夾角，需求出|x|，|y|，x·y的值.|x|2=x2=(2ab)2=4a24a·b+b2=44×+1=3，|y|2=y2=(3ba)2=9b26b·a+a2=96×+1=7.x·y=(2ab)·(3ba)=6a·b2a23b2+a·b =7a·b2a23

7、b2 =7×23=，又x·y=|x|y|cos，即=×cos， cos= 點(diǎn)評(píng)：本題利用模的性質(zhì)|a|2=a2，在計(jì)算x,y的模時(shí)，還可以借助向量加法、減法的幾何意義獲得：如圖所示，設(shè)=b, =a, =2a,BAC=60°.由向量減法的幾何意義，得=2ab.由余弦定理易得|=，即|x|=，同理可得|y|=.題型二：向量共線(xiàn)與垂直條件的考查例1平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3, 1)，B(1, 3)， 若點(diǎn)C滿(mǎn)足，其中，R且+=1，求點(diǎn)C的軌跡方程。.解：（法一）設(shè)C(x,y)，則=(x,y)，由=(x,y)= (3,1)+ (-1,3)=(

8、3-, +3), （可從中解出、）又+1消去、得x+2y-5=0（法二） 利用向量的幾何運(yùn)算，考慮定比分點(diǎn)公式的向量形式，結(jié)合條件知：A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，故點(diǎn)C的軌跡方程即為直線(xiàn)AB的方程x2y5=0， 例2已知平面向量a(，1)，b(, ).(1) 若存在實(shí)數(shù)k和t，便得xa(t23)b, ykatb，且xy，試求函數(shù)的關(guān)系式kf(t)；(2) 根據(jù)(1)的結(jié)論，確定kf(t)的單調(diào)區(qū)間.思路分析：欲求函數(shù)關(guān)系式k=f(t)，只需找到k與t之間的等量關(guān)系，k與t之間的等量關(guān)系怎么得到？求函數(shù)單調(diào)區(qū)間有哪些方法？（導(dǎo)數(shù)法、定義法）導(dǎo)數(shù)法是求單調(diào)區(qū)間的簡(jiǎn)捷有效的方法？解：（1）法一：由題意知x(

9、,), y(tk，tk)，又xy故x · y×（tk）×(tk)0.整理得：t33t4k0，即kt3t.法二：a(，1)，b(, ), . 2，1且abxy，x · y0，即k2t(t23)20，t33t4k0,即kt3t(2) 由(1)知：kf(t) t3t kf(t) t3,令k0得1t1；令k0得t1或t1.故kf(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1, 1 )，單調(diào)遞增區(qū)間是（，1）和（1，）.點(diǎn)評(píng)： 第（1）問(wèn)中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見(jiàn)的方法：一是先利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求得兩個(gè)向量的坐標(biāo)，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量垂直的充要條件，

10、其過(guò)程要用到向量的數(shù)量積公式及求模公式，達(dá)到同樣的求解目的（但運(yùn)算過(guò)程大大簡(jiǎn)化，值得注意）.第（2）問(wèn)中求函數(shù)的極值運(yùn)用的是求導(dǎo)的方法，這是新舊知識(shí)交匯點(diǎn)處的綜合運(yùn)用.例3： 已知平面向量(，1)，(，)，若存在不為零的實(shí)數(shù)k和角，使向量(sin3), k(sin),且，試數(shù)k 的取值圍.解：由條件可得：k( sin)2,而1sin1, 當(dāng)sin1時(shí)，k取最大值1； sin1時(shí)，k取最小值. 又k0 k的取值圍為 .點(diǎn)撥與提示：將例題中的t略加改動(dòng)，舊題新掘，出現(xiàn)了意想不到的效果，很好地考查了向量與三角函數(shù)、不等式綜合運(yùn)用能力.例4：已知向量，若正數(shù)k和t使得向量垂直，求k的最小值.解： ，|

11、=，|= ， 代入上式 3k3 當(dāng)且僅當(dāng)t=，即t=1時(shí)，取“”號(hào)，即k的最小值是2.題型三：向量的坐標(biāo)運(yùn)算與三角函數(shù)的考查向量與三角函數(shù)結(jié)合，題目新穎而又精巧，既符合在知識(shí)的“交匯處”構(gòu)題，又加強(qiáng)了對(duì)雙基的考查.例7設(shè)函數(shù)f (x)a · b，其中向量a(2cosx , 1), b(cosx,sin2x), xR.（1）若f(x)1且x，求x；（2）若函數(shù)y2sin2x的圖象按向量c(m , n) ()平移后得到函數(shù)yf(x)的圖象，數(shù)m、n的值.思路分析：本題主要考查平面向量的概念和計(jì)算、平移公式以及三角函數(shù)的恒等變換等基本技能，解： (1)依題設(shè)，f(x)（2cosx，1）&#

12、183;(cosx,sin2x)2cos2xsin2x12sin(2x)由12sin(2x)=1，得sin(2x).x , 2x, 2x=, 即x.（2）函數(shù)y2sin2x的圖象按向量c（m , n）平移后得到函數(shù)y2sin2(xm)+n的圖象，即函數(shù)yf(x)的圖象.由(1)得f (x) ， m，n1. 點(diǎn)評(píng)： 把函數(shù)的圖像按向量平移，可以看成是C上任一點(diǎn)按向量平移，由這些點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所組成的圖象是C，明確了以上點(diǎn)的平移與整體圖象平移間的這種關(guān)系，也就找到了此問(wèn)題的解題途徑.一般地，函數(shù)yf (x)的圖象按向量a(h , k)平移后的函數(shù)解析式為ykf（xh）、例8：已知a=（cos，s

13、in）,b=（cos,sin）(0<<<)，（1）求證： a+b與a-b互相垂直； （2）若ka+b與a-kb的模大小相等(kR且k0)，求解：（1）證法一：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）a+b（cos+cos，sin+ sin）, a-b（cos-cos，sin- sin）(a+b)·(a-b)=（cos+cos，sin+ sin）·（cos-cos，sin- sin）=cos2-cos2+sin2- sin2=0(a+b)(a-b)證法二：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）|a|1，|b|1(a+b)·(a-b)=

14、 a2-b2=|a|2-|b|2=0(a+b)(a-b)證法三：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）|a|1，|b|1,記a，b，則|=1,又，O、A、B三點(diǎn)不共線(xiàn).由向量加、減法的幾何意義，可知以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OACB是菱形，其中a+b，a-b，由菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直，知(a+b)(a-b)（2）解：由已知得|ka+b|與|a-kb|,又|ka+b|2(kcos+cos)2+(ksin+sin)2=k2+1+2kcos(),|ka+b|2(cos-kcos)2+(sin-ksin)2=k2+1-2kcos(), 2kcos()= -2kcos()又k0cos()00&l

15、t;<<0<<, =注：本題是以平面向量的知識(shí)為平臺(tái)，考查了三角函數(shù)的有關(guān)運(yùn)算，同時(shí)也體現(xiàn)了向量垂直問(wèn)題的多種證明方法，常用的方法有三種，一是根據(jù)數(shù)量積的定義證明，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明，三是利用向量運(yùn)算的幾何意義來(lái)證明.題型四：向量運(yùn)算的幾何意義與解析幾何由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數(shù)”的良好運(yùn)算性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的橋梁和紐帶，文科應(yīng)重視由向量運(yùn)算的幾何意義求圓的方程和橢圓方程。例9：設(shè)G、H分別為非等邊三角形ABC的重心與外心，A(0，2)，B（0，2）且(R).（）求點(diǎn)C(x，y)的軌跡E的方程；（）過(guò)點(diǎn)(2，0)作直線(xiàn)L與曲線(xiàn)E交于

16、點(diǎn)M、N兩點(diǎn)，設(shè)，是否存在這樣的直線(xiàn)L，使四邊形OMPN是矩形？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，試說(shuō)明理由.思路分析：（1）通過(guò)向量的共線(xiàn)關(guān)系得到坐標(biāo)的等量關(guān)系.（2）根據(jù)矩形應(yīng)該具備的充要條件，得到向量垂直關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理，求得k的值.解：（）由已知得 , 又，CH=HA 即（2）設(shè)l方程為y=k(x-2)，代入曲線(xiàn)E得（3k2+1）x2-12k2x+12(k2-1)=0設(shè)N (x1，y1)，M (x2，y2)，則x1 +x2=，x1 x2= ，四邊形OMPN是平行四邊形.若四邊形OMPN是矩形，則x1 x2+y1 y2=0 得直線(xiàn)l為：y= 點(diǎn)評(píng)：這是一道平面幾何、解析幾何、向量三者之

17、間巧妙結(jié)合的問(wèn)題.例10：已知橢圓方程，過(guò)B（1，0）的直線(xiàn)l交隨圓于C、D兩點(diǎn)，交直線(xiàn)x4于E點(diǎn)，B、E分的比分1、2求證：120解：設(shè)l的方程為yk(x1)，代入橢圓方程整理得（4k21）x28k2x4(k21)0.設(shè)C（x1,y2）,D(x2,y2)，則x1x2.由得 所以.同理，記E得其中 .例11：給定拋物線(xiàn)C:y24x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與C相交于A、B兩點(diǎn).設(shè)l的斜率為1，求與夾角的余弦。解：C的焦點(diǎn)為F（1，0）,直線(xiàn)l的斜率為1，所以l的方程為yx1,將yx1代入方程y2=4x，并整理得x26x10設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2),則有x1x26, x1x21，

18、從而·x1x2y1y22x1x2(x1+x2)+13··,cos例12已知點(diǎn)G是ABC的重心，A(0, 1)，B(0, 1)，在x軸上有一點(diǎn)M，滿(mǎn)足|=|， (R)求點(diǎn)C的軌跡方程； 若斜率為k的直線(xiàn)l與點(diǎn)C的軌跡交于不同兩點(diǎn)P，Q，且滿(mǎn)足|=|，試求k的取值圍分析 本題依托向量給出等量關(guān)系，既考查向量的模、共線(xiàn)等基礎(chǔ)知識(shí)，又考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系.通過(guò)向量和解析幾何間的聯(lián)系，題新組，考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法.按照求軌跡方程的方法步驟，把向量問(wèn)題坐標(biāo)化，幾何問(wèn)題代數(shù)化.解： 設(shè)C(x, y)，則G(,)(R)，GM/AB,又M是x軸上一點(diǎn)，則M(, 0)又|=|，整理得，即為曲線(xiàn)C的方程當(dāng)k=0時(shí)，l和橢圓C有不同兩交點(diǎn)P，Q，根據(jù)橢圓對(duì)稱(chēng)性有|=|當(dāng)k0時(shí)，可設(shè)l的方程為y=kxm，聯(lián)立方程組 消去y，整理行(