高三數(shù)學二輪復習必考問題專項突破20統(tǒng)計及其與概率的交匯問題理

1、I真題體驗I(2012廣東)某班50位學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間是:40,50) , 50,60) , 60,70) , 70,80),80,90),90,100.(1)求圖中x的值;(2)從成績不低于80分的學生中隨機選取2人，該2人中成績在90分以上(含90分)的人數(shù)記為E,求E的數(shù)學期望.0.01 +0.054) X10= 0.18 ,解(1)由題意得：10x=1(0.006X3+.x=0.018.(2)成績不低于80分的學生共有(0.018+0.006)X10X50=12人，其中90分以上(含90分)的共有0.006X10X50=3人，七的可能值為0

2、,1,2C96R 乂 =0) = CTiiC9d9RHet =G R )=&=藥的分布列為012P611922122112.舊己)=0x 而+1* 22+2X22=I高考定位II本部分主要考查隨機抽樣、樣本估計總體、線性回歸分析，獨立性檢驗的簡單應用,般是選擇題、填空題，試題難度中等或稍易.若以解答題出現(xiàn)，往往與概率、離散型隨機變量的分布列交匯考查.I應對策略I在復習統(tǒng)計問題時，要緊緊抓住這些圖表和方法，把圖表的含義弄清楚，這樣剩下的問題就是有關(guān)的計算和對統(tǒng)計思想的理解，在弄清楚統(tǒng)計問題的基礎上，要與概率、離散型隨機變量的分布列、期望、方差密切結(jié)合掌握*1SlBElZHilSHlFAN

3、FA01A必備知識方法必備知識抽樣方法抽樣方法包含簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣三種方法，三種抽樣方法都是等概率抽樣，體現(xiàn)了抽樣的公平性，但又各有其特點和適用范圍.用樣本估計總體(1)利用樣本頻率分布估計總體分布：頻率分布表和頻率分布直方圖；總體密度曲線；莖葉圖.(2)用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征：眾數(shù)、中位數(shù)；樣本平均數(shù)X=1(X1+X2+Xn)=)Xi；nn-i樣本方差S2=-(X1-X)2+(X2-X)2+-+(Xn-X)2=-(Xi-X)2；nA=1樣本標準差nXiyinxy方程y=bx+a稱為線性回歸方程，其中b=n2-Xi-nx2i=1a=ybx;(x,y)稱為樣本中心點.

4、獨立性檢驗假設有兩個分類變量X和Y,它們的可能取值分別為xi,X2和yi,y2,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2X2列聯(lián)表)為：2X2列聯(lián)表y-y2總Xia+bP(K2>k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828必備方法構(gòu)造一個隨機變量X2cdc+d總計a+ cb+da+ b+c+ dK2=+bn ad bcc+da+c用樣本估計總體(1)在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應的頻率，各小長方形的面積的和為1.解決與頻率分布直方圖有關(guān)的問題時，應正確理解已知數(shù)據(jù)的含義，掌握圖表中各個量的意義.(2)當總體的個體數(shù)較少時，可直

5、接分析總體取值的頻率分布規(guī)律而得到總體分布；當總體容量很大時，通常從總體中抽取一個樣本，分析它的頻率分布，以此估計總體分布.總體期望的估計，計算樣本平均值X1 n一 Xi ; n總體方差(標準差)的估計：方差=(Xi - x ) 2,標準差=:方差,方差(標準差) i =1較小者較穩(wěn)定帚 A AiEDI AiNMl'NGTIJI AOOIU -*-*-D2 4 熱點命題角度招底透析熱怠更破統(tǒng)計此類試題主要考查分層抽樣、頻率分布直方圖、莖葉圖、線性回歸方程、平均數(shù)和方差的計算、以及識圖能力、借助概率統(tǒng)計知識分析、解決問題的能力，均可單獨命制一道小題.【例1】？某校舉行了由全部學生參加的校

6、園安全知識考試，從中抽出60名學生，將其成績分成六段40,50),50,60),，90,100)后，畫出如圖所示的頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)為;平均分為審題視點聽課記錄審題視點(1)由圖可知甲、乙的成績，再利用公式計算.用樣本中及格的頻率估計總體的及格率，以樣本的平均數(shù)估計總體的平均數(shù)，即以各組的中點值乘以各組的頻率之和估計總體的平均數(shù).(1)C由題意可知，甲的成績?yōu)?,5,6,7,8,乙的成績?yōu)?,5,5,6,9.所以甲、乙的成績的平均數(shù)均為6,A錯；甲、乙的成績白中位數(shù)分別為6,5,B錯；甲、乙的成績的方差分另I為1x(46)2

7、+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(86)2=2,；X(56)2+(56)2+(555ccc126)+(6-6)+(9-6)=-,C對；甲、乙的成的極差均為4,D錯.(2)解析及格的各組的頻率是(0.015+0.03+0.025+0.005)X10=0.75,即及格率約為75%樣本的士值為45X0.1+55X0.15+65X0.15+75X0.3+85X0.25+95X0.05=71,以這個分數(shù)估計總體的分數(shù)即得總體的平均分數(shù)約為71.答案75%71方法舞宜用(1)如果已知頻率分布直方圖，那么就用樣本在各個小組的頻率估計總體在相應區(qū)間內(nèi)的頻率，用樣本的均值估計總體的均值，根據(jù)頻率分布

8、圖估計樣本均值的方法是取各個小組的中點值乘以各個小組的頻率之和進行的.(2)根據(jù)莖葉圖，我們可方便地求出數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)，大體上估計出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大小與穩(wěn)定性.【突破訓練1】(2012陜西)從甲乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機，對其銷售額進行統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如圖所示).設甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為7甲,x乙，中位數(shù)分別為m甲，m乙，則().A.x甲vx乙,m甲斤)乙B.x甲vx乙,m甲vm乙C.x甲x乙,m甲m乙D.x甲x乙,m甲vm乙答案：(1)C從960人中用系統(tǒng)抽樣方法抽取32人，則每30人抽取一人，因為第組抽到的號碼為9,則第二組抽到的號碼為39,第n組抽到的號

9、碼為an=9+30(n-1)=30n236257-21,由45130n-21750,得五"W而，所以n=16,17,，25,共有25-16+1=10人，選C.(2)B由莖葉圖可知甲數(shù)據(jù)集中在10至20之間，乙數(shù)據(jù)集中在20至40之間，明顯x甲vx乙，甲的中位數(shù)為20,乙的中位數(shù)為29,即m甲vm乙，所以選B.抽樣方法、直方圖、莖葉圖與概率的交匯問題準確提取直方圖、莖葉圖中的信息是解此類題的關(guān)鍵，借助這些數(shù)據(jù)結(jié)合獨立事件、互斥事件可設計概率、分布列問題，高考在此結(jié)合點處命題有加強的趨勢.【例2】？(2012韶關(guān)模擬)某班同學進行社會實踐，對25,55歲的人群隨機抽取n人進行了一次生活習

10、慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：組數(shù)分組低碳族的人數(shù)占本組的頻率第一組25,30)1200.6第二組30,35)195P第三組35,40)1000.5第四組40,45)a0.4第五組45,50)300.3第六組50,55)150.3國率祖跑firU。加啊：一：!：一"CM9111L.=.<!>C.OFSi11口皿。“憶f-|-_j,惻加32"閡川W33(1)補全頻率分布直方圖，并求n、a、p的值；(2)從40,50)歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取18人參

11、加戶外低碳體驗活動，其中選取3人作為領(lǐng)隊，記選取的3名領(lǐng)隊中年齡在40,45)歲的人數(shù)為X,求X的分布列和期望E(X).審題視點聽課記錄審題視點(1)頻率=小長方形的面積；(2)用超幾何分布解決.-一，0.3解(1)第二組的頻率為1(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)X5=0.3,所以局為二=0.06.頻率直方圖如下:第一組的人數(shù)為12006200所以 n=0T=1 000.200,頻率為 0.04 X 5= 0.2 ,由題可知，第二組的頻率為 1950.3 ,所以第二組的人數(shù)為 1 000X0.3 = 300,所以p = 300= 0.65.第四組的頻率為0.03X5=0.1

12、5 ,所以第四組的人數(shù)為1 000 X0.15= 150,所以a =150X0.4 = 60.（2）因為40,45）歲年齡段的“低碳族”45,50）歲年齡段的“低碳族”的比值為60： 30=2： 1,所以采用分層抽樣法抽取18人，40,45）歲中有12人，45,50）歲中有6人.隨機變量X服從超幾何分布.C?2G65RX= 0) = k而C12G615吐1)=高=6?55X0123P51533552046868204C；2C°P(X= 3)=08 204.所以隨機變量X的分布列為所以數(shù)學期望153355E(X)=0X204+1X68+2X 68+3x04= 2.方法錦表為解決該類問題

13、的基礎是頻數(shù)分布表、莖葉圖等知識，在解題時，一定要仔細認真，防止在這個數(shù)據(jù)表中出現(xiàn)錯誤，導致后續(xù)各問解答也隨之出現(xiàn)錯誤. 如果X= 8,求乙組同學植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差;(2)如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數(shù)Y的分布列和數(shù)學期望.(注：方差s2=n【(Xix)2+(X2x)2+(xnx)2,其中X為Xi,X2,，xn的平均數(shù))解(1)當X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數(shù)是：8,8,9,10所以平均數(shù)為:8+8 + 9+10 354:7；方差為:s2=4x35 235 235 2358了 + 8-T + 9-T + 10彳1116.(2)當X= 9

14、時，由莖葉圖可知，甲組同學的植樹棵數(shù)是:9,9,11,11 ;乙組同學的植樹棵數(shù)是：9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，共有4X4= 16種可能的結(jié)果,這兩名同學植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17,18,19,20,21.事件“ Y= 17”等價于“甲組選出的同學植樹9棵，乙組選出的同學植樹 8棵”，所以1事件有 2種可能的結(jié)果，因此 RY=21 一 一,-1111 ，17)=布=8.同理可得 RY= 18)=4； P(Y= 19) =4； P(Y= 20)= 了 P(Y= 21)=衛(wèi).所以隨機變量Y的分布列為:Y1718192021P1814141418E( Y) =17X P(

15、 Y= 17) +18X P( Y= 18) +19X P( Y= 19) +20X P( Y= 20) +21X P(Y= 21)= 17X 1+18X 1+19X 1+20X 1+21X 1= 19.84448獨立性檢驗與概率相結(jié)合以實際問題為背景，給定數(shù)據(jù)表，借助這些數(shù)據(jù)結(jié)合獨立事件或?qū)α⑹录O計概率及分布列問題.【例3】？ (2012 遼寧)電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情 況，隨機抽取了 100名觀眾進行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目 時間的頻率分布直方圖：(1)根據(jù)已知條件完成下面的2X2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關(guān)？

16、非體育迷體育迷合計男女i055合計(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X的分布列，期望E(X)和方差QX).22nniin22ni2n21附：K2=,ni+n2+n+in+2'P(K>k)0.050.0ik3.84i6.635審題視點聽課記錄審題視點(i)按照獨立性檢驗白步驟進行；(2)建立概率分布表，利用期望的定義式求解數(shù)學期望.25人，從而2X2解(i)由頻率分布直方圖可知，在抽取的i00人中，“體育迷”有列聯(lián)表如下:非體育迷體育

17、迷合計男30i545女45i055合計7525i00將2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得i00-=3.030.332ni+n2+ n+in+275X25X45X55nniin22n12n2ii00x30xi045xi5因為3.030<3.84i,所以沒有理由認為“體育迷”與性別有關(guān).(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25,將頻率視為概率，即從觀眾中，一，一“，一1抽取一名“體育迷”的概率為1.41由題意XB3,4,從而X的分布列為X0123272791P6464646413E(X)=np=3x1=4，139口為=邛(1-PXfx廠16.方法舞宜用根據(jù)圖表給出的信息解決相

18、關(guān)問題時，一定要仔細閱讀表中信息，千萬別“看花了眼”，同時，要正確理解相關(guān)概念和計算準確.【突破訓練3】(2012寶雞三模)甲乙兩個學校高三年級分別有1100人和1000人,為了了解這兩個學校全體高三年級學生在該地區(qū)二?？荚囍械臄?shù)學成績情況，采用分層抽樣方法從兩個學校一共抽取了105名學生的數(shù)學成績，并作出了如下的頻數(shù)分布統(tǒng)計表，規(guī)定考試成績在120,150內(nèi)為優(yōu)秀.甲校：分組70,80)80,90)90,100)100,110)頻數(shù)231015分組110,120)120,130)130,140)140,150)頻數(shù)15x31乙校：分組70,80)80,90)90,100)100,110)頻數(shù)

19、1298分組110,120)120,130)130,140)140,150)頻數(shù)1010y3試求x,y的值；(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2X2列聯(lián)表，若按是否優(yōu)秀來判斷，是否有97.5%的把握認為兩個學校的數(shù)學成績有差異.甲校乙校總計優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(3)根據(jù)抽樣結(jié)果分別估計甲校和乙校的優(yōu)秀率，若把頻率視為概率，現(xiàn)從乙校學生中任取3人，求優(yōu)秀學生人數(shù)E的分布列和數(shù)學期望.附：K2nadbc2a+bc+da+cb+d'F(K2>k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828解(1)由分層抽樣知，甲校抽取了55人成績，乙校抽

20、取了50人的成績.所以，x=6,y=7.(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫右面 2X2列聯(lián)表如下:甲校乙?？傆媰?yōu)秀102030非優(yōu)秀453075總計5550105 6.109 > 5.024.2因為K2=105X10X3020X4530X75X50X55故有97.5%的把握認為這兩個學校的數(shù)學成績有差異.(3)由題意，可知：甲校的優(yōu)秀率為22 ,乙校的優(yōu)秀率為由題思可知,115=0,1,2,3 ,且c 2 cR E =0)=C3-51-5327125,1-5254125' 2 c 2RE=2)=Q5 1-536125,RE =3)=C3 5 3 1 5 08125'從而求得E的分布

21、列為:0123F2754368125125125125故W的數(shù)學期望E(E)=3X|=|.55a*VUEJUJINLAD3I1IDIINQMINQ-Q3”閱卷老師叮嚀關(guān)注高考概率與統(tǒng)計新視角視角一關(guān)注“實質(zhì)性”知識【示例1】？(2011福建)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2,，8,其中X>5為標準A,X>3為標準B已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應的執(zhí)行標準.(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如表所示：X15678P0.4ab0.1且X的數(shù)學期望日X

22、1)=6,求a,b的值；(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2,從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應的等級系性？說明理由.注：產(chǎn)品的“性價比”=產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望產(chǎn)品的零售價“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性.滿分解答(1)因為E(X)=6,所以5X0.4+6a+7b+8X0.1=6,即6a+7b=3.2.又由X1的概率分布列，得0.4+a+b+0.1=1,即a+b=0.5.6a+7b=3.2,a=0.3,由解得(4分)a+b=0.5,b=0.2.鳧345678f0.30.20.20.10.10.1所以E(X0=3-P(X=3)+4-P(X=4)+5-RX=5)+6-RX2=6)+7-RX=7

23、)+8-P(%=8)=3X0.3+4X0.2+5X0.2+6X0.1+7X0.1+8X0.1=4.8.即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于4.8.(8分)(3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性.理由如下：因為甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于6,價格為6元/件，所以其性價比為1=1.64.8因為乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于4.8,價格為4元/件，所以其性價比為=1.2.據(jù)此，可知乙廠的產(chǎn)品更具可購買性.(12分)老師叮嚀：本題是一道概率與統(tǒng)計的綜合性問題，考查數(shù)據(jù)的處理能力、函數(shù)與方程思想、必然與或然思想等.本題對高考數(shù)學的復習有很好的導向作用，命題設計的特色是注重考查考生對概率與統(tǒng)計知識的形成過程的理解和應用.其中，在求每一個隨機變量的概率時，要確切地解釋每一個隨機變量的含義，也就是要弄清楚每一個隨機變量指的是什么.對于判斷“哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性”，不僅需要考生理解產(chǎn)品“性價比”的數(shù)學意義，還要理解“性價比”的大小決定產(chǎn)品的購買價值.這樣的考題，更能體現(xiàn)數(shù)學的現(xiàn)實性和應用性.視角二關(guān)注“開放性”知識【示例2】？(2011陜西)如圖所示，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,據(jù)統(tǒng)計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內(nèi)的頻率如下表：時間(分鐘)10202030304