第三章水動學(xué)

1、回到總目錄第三章第三章 水動力學(xué)水動力學(xué)【教學(xué)基本要求】【教學(xué)基本要求】【學(xué)習(xí)重點】【學(xué)習(xí)重點】 一、拉格朗日法（一、拉格朗日法（LagrangeLagrange）：（質(zhì)點法）：（質(zhì)點法） Lagrange法是以研究每個質(zhì)點的運動全過程為基礎(chǔ)，通過對每個質(zhì)點運動的研究來了解整個液體運動的規(guī)律性。 系統(tǒng)：在質(zhì)點法中，所有的以某些確定的流體質(zhì)點所組成的流體團（質(zhì)點系），這個確定的流體團稱為系統(tǒng)。 Lagrange法在概念上拉法較直觀，但在數(shù)學(xué)處理上較為復(fù)雜。所以很少用，本書主要采用Euler法。 二、歐拉法（二、歐拉法（EulerEuler）：（流場法）：（流場法） Euler法是考察通過固定空間

2、位置點的不同液體質(zhì)點的運動狀態(tài)，來了解整個運動空間內(nèi)的流動情況，匯總這些情況即可了解整個液流的運動變化規(guī)律。 設(shè)在某一瞬時，觀察到流場中各空間點上液體質(zhì)點的流速，將這些流速綜合在一起就構(gòu)成了一個流速場，若求得各瞬時的流速場，就可得流速場隨時間的變化。因此，流速應(yīng)該是空間點坐標(biāo)（x、y、z）和時間t的函數(shù)，即： （3.1） 其分量為： （3.2） 其它各運動參量也可用類似的方法來表示。 變量x、y、z、t統(tǒng)稱為Euler變量。 ),(tzyxuu ),(),(),(tzyxuutzyxuutzyxuuzyx三、質(zhì)量加速度公式三、質(zhì)量加速度公式 或 即: (3.3)也就是 (3.4) (3.5)

3、22tsadtdua . .dtduadtduadtduazzyyxxttzyxuttzzyyxruazyxt).(),(lim0, 00, 0).(),(tzyxuttzzyyxruzzuyyuxxuttu 故 （3.8） 加速度a在各方向上的分量： (3.9)(lim0, 00, 0tzzutyyutxxutuazyxtzyxutzutyutxlimlimlimzuuyuuxuutuazyxzuuyuuxuutuazuuyuuxuutuazuuyuuxuutuazzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx 式中： 表示在某一固定空間點上，液體質(zhì)點速度對時間的變化率。也就是在同一地點，由

4、于時間的變化而引起的加速度，稱為當(dāng)?shù)丶铀俣取?其余幾項表示液體質(zhì)點在同一時刻因地點變化而引起的加速度，稱為遷移加速度。 現(xiàn)舉例說明這兩個加速度的物理意義。如圖3-1所示， 應(yīng)用歐拉法時，常在流場中選取一固定空間區(qū)域來觀察流體的運動。這個固定空間稱為控制體，它的邊界稱為控制面。控制體的位置、形狀，體積相對于坐標(biāo)系均固定不變，流體質(zhì)點可以流進或流出控制面。tu返回本章首頁圖 3-1 中間有收縮形的變截面管道內(nèi)的流動一、恒定液與非恒定流一、恒定液與非恒定流 劃分依據(jù)：Euler變量中的時間變量對運動要素的影響。 若在流場中所有空間上的運動要素均不隨時間而改變，這種流動；稱為恒定流（如圖3-2）。 反

5、之，則稱為非恒定流。二、跡線與流線二、跡線與流線 跡線： 是某一液體質(zhì)點運動軌跡線,它是流體質(zhì)點運動的幾何描述。 流線： 是速度場的向量線，它是某一固定時刻的空間曲線,該曲線上任意一點的切向量與當(dāng)?shù)氐乃俣认蛄恐睾?。圖 3-2 流體的出流 作法：在某一瞬時，取流場上的某一點1，畫出其速度向量v1，在v1上靠近點取點，經(jīng)過點引同一瞬時的速度向量v2，便可得該瞬時的折線、，當(dāng)各點都無限靠近時，折線便成為光滑的曲線，這條就是該瞬時經(jīng)過點的流線。如圖3-3所示。 流線和跡線是描述流體運動的不同幾何特性，它們的最根本差別是： 跡線是同一質(zhì)點不同時刻的位移曲線。 流線則是同一時刻，不同質(zhì)點連接起來的速度場向

6、量線。圖 3-3 流線的概念 簡言之，跡線是描述指定質(zhì)點的運動過程，流線是描述給定瞬間的速度場狀態(tài)。 流線的特點： 流線代表流速方向的矢量線，其流、疏密程度代表流速的大小。 流線不能相交。 流線為光滑曲線。 三、流管、元流、總流 流管（如圖3-4）： 在液流在任取一微小封閉曲線，從曲線上的每一點作流線，這些流線所組成的一個封閉管狀曲線稱為流管。 元流： 充滿在流管中的液流稱為元流。 總流： 由無數(shù)元流組成的整個液流。圖 3-4 流管和流束圖 3-5 過水?dāng)嗝?四、過水?dāng)嗝妗⒘髁颗c斷面平均流速 過水?dāng)嗝妫海ǎ?垂直于元流或總流流向的橫截面（如圖3-5）。 流量：（） 單位時間內(nèi)通過某一過水?dāng)嗝娴?/p>

7、液體量。 根據(jù)流量的單位不同，可分為： 體積流量（m3/s）或（l/s）、重量流量rQ （KN/h）和質(zhì)量流量Q（Kg/h） 元流的流量： （3.10） 總流的流量： (3.11) 斷面平均流速（） 在工程計算中為簡化問題，常把過流斷面上不均勻的流速看成是均勻分布的，并以這個均勻分布流速所通過的流量與實際流量相等，流速就稱為平均流速。udAdQ AAudAdQQ即： （3.12）或 （3.13） 五、有壓流和無壓流 具有自由液面的液流稱為無壓流或明渠流，反之，則為無壓流或管流。 六、均勻流和非均勻流 （按速度大小和方向是否沿程變化） 流速沿程不變的流動稱為均勻流（如圖3-6），反之，稱非均勻流

8、（如圖37）。 在均勻流時不存在遷移加速度，即，其流線簇為彼此平行的直線簇。 非均勻流按流速的大小和方向沿流線變化的緩、急程度又可分為緩（漸）變流和急變流兩種（圖3-8）。流速的大小和方向沿流線逐漸改變的非均勻流，稱為緩（漸）變流。 七、一元流、二元流和三元流vAudAQAAQv 劃分依據(jù)：運動要素與Euler變量中坐標(biāo)變量的關(guān)系。 一元流：若某種液流，在一個方向流動最為顯著，而在其余兩個方向的流動可忽略，稱為一充流。 一元流時運動要素只與一個位置坐標(biāo)有關(guān)。 二元流：即液流主要表現(xiàn)為兩個方向的流動，而第三個方向的流動可以忽略。（平面流）（如圖3-9） 其運動要素只與兩個位置坐標(biāo)有關(guān)。 三元流：

9、當(dāng)三個方向的流動都不能忽略的液流，即空間任何一點的運動要素均不相同。（空間流）其運動要素是三個位置坐標(biāo)的函數(shù)。返回本章首頁回到總目錄回到總目錄圖 3-6 均勻流圖 3-7 非均勻流急變流緩變流緩變流緩變流緩變流緩變流急變流急變流急變流急變流圖 3-8 緩變流和急變流圖 3-9管內(nèi)流動速度分布 連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用。我們認(rèn)為液體是連續(xù)介質(zhì)，它在流動時連續(xù)地充滿整個流場。在這個前提下，當(dāng)研究液體經(jīng)過流場中某一任意指定的空間封閉曲面時，可以斷定：若在某一定時間內(nèi)，流出的流體質(zhì)量和流入的液體質(zhì)量不相等時，則這封閉曲面內(nèi)一定會有液體密度的變化，以便使液體仍然充滿整個封閉曲面內(nèi)的空間

10、；如果流體是不可壓縮的，則流出的液體質(zhì)量必然等于流入的液體質(zhì)量。上述結(jié)論可以用數(shù)學(xué)分析表達成微分方程，稱為連續(xù)性方程。 一、直角坐標(biāo)系下連續(xù)性微分方程式一、直角坐標(biāo)系下連續(xù)性微分方程式 設(shè)在流場中任取一個微元平行六面體，其邊長分別為dx、dy和dz，如圖3-10所示。 假設(shè)微元平行六面體形心的坐標(biāo)為x、y、z，在某一瞬時t經(jīng)過形心的流體質(zhì)點沿各坐標(biāo)軸的速度分量為u、v、w，流體的密度為?，F(xiàn)討論流體經(jīng)六面體各面的流動情況。 先分析x軸方向，由前面分析可知，u和都是坐標(biāo)和時間的連續(xù)函數(shù)，即u=u (x，y，z，t)和 = (x，y，z，t)。根據(jù)泰勒級數(shù)展開式，略去高于一階的無窮小量，得在d時間內(nèi)

11、，沿軸方向從左邊微元面積dydz流入的流體質(zhì)量為圖 3-10 流場中的微元平行六面體 同理可得在dt時間內(nèi)從右邊微元面積dydz流出的流體質(zhì)量為 (3-14) 上述兩者之差為在dt時間內(nèi)沿x軸方向流體質(zhì)量的變化，即 (3-15)tzytzyxxutzyxxddd,2d,2dtzyxtuuxttzyxtutzyxuxttzyxddd2d2dddd2d),(2d),(tzyxtuuxtddd2d2dtzyxuxtzyxxuxxudddd)(ddddd 同理可得，在dt時間內(nèi)沿y軸和z軸方向流體質(zhì)量的變化分別為： 因此，在dt時間內(nèi)經(jīng)過微元六面體的流體質(zhì)量總變化為 (3-16) 由于流體是作為連續(xù)介

12、質(zhì)來研究的，所以式(3-16)所表示的六面體內(nèi)流體質(zhì)量的總變化，唯一的可能是因為六面體內(nèi)流體密度的變化而引起的。因此式(3-16)應(yīng)和由于流體密度的變化而產(chǎn)生的六面體內(nèi)的流體質(zhì)量變化相等。 設(shè)開始瞬時流體的密度為，經(jīng)過dt時間后的密度為tzyxvydddd)(tzyxwzdddd)(tzyxzwyvxuddddttttzyxd)d,( 則可求出在dt時間內(nèi)，六面體內(nèi)因密度的變化而引起的質(zhì)量變化為 (3-17) 根據(jù)連續(xù)性條件，式(3-16)和式(3-17)應(yīng)相等，經(jīng)簡化得到 (3-18) 式（3-18）為可壓縮流體非定常三維流動的連續(xù)性方程。 若流體是定常流動，則 ，上式成為 (3-19) 式

13、（3-19）為可壓縮流體定常三維流動的連續(xù)性方程。 若流體是不可壓縮的，不論是定?；蚍嵌ǔＡ鲃泳鵷zyxtzyxzyxttddddddddddd0zwyvxut0t0zwyvxu 為常數(shù)，故式(3-19)成為 (3-20) 式（3-20）為不可壓縮流體三維流動的連續(xù)性的方程。它的物理意義是：在同一時間內(nèi)通過流場中任一封閉表面的體積流量等于零，也就是說，在同一時間內(nèi)流入的體積流量與流出的體積流量相等。 在流體力學(xué)中時常討論所謂平面（二維）流動，即平行任何一個坐標(biāo)平面的流動。若這種流動的流動參數(shù)（如速度、壓強）只沿x、y兩個坐標(biāo)軸方向發(fā)生變化，則式（3-20）可以寫成 (3-21) 由于在推導(dǎo)上述

14、連續(xù)性方程時，沒有涉及作用力的問題，所以不論是對理想流體還是實際流體都是適用的。0zwyvxu0yvxu 二、微元流束和總流的連續(xù)性方程二、微元流束和總流的連續(xù)性方程 在工程上和自然界中，流體流動多數(shù)都是在某些周界所限定的空間內(nèi)沿某一方向流動，即一維流動的問題，所謂一維流動是指流動參數(shù)僅在一個方向上有顯著的變化，而在其它兩個方向上的變化非常微小，可忽略不計。例如在管道中流動的流體就符合這個條件。在流場中取一微元流束(圖3-11)。假定流體的運動是連續(xù)的、定常的，則微元流管的形狀不隨時間而改變。又根據(jù)流管的特性，流體質(zhì)點不能穿過流管表面，因此在單位時間內(nèi)通過微元流管的任一有效截面的流體質(zhì)量都應(yīng)相

15、等，即 1V1dA1= 2V2dA2= VdA=常數(shù) （3-22） 式中 dA1 、dA2分別為1、2兩個有效截面的面積，m2；圖 3-11 流場中的微元流束 V1 、V2分別為dA1和dA2上的流速，也稱為真實流速，m/s； 1 、 2分別為和處的流體密度，kg/m3。 對于由無限多微元流束所組成的總流（例如流體在管道中的流動），可對式（3-22）進行積分得 （3-23） 式中 A1 和A2分別為總流1和2兩個有效截面的面積，m2。 式（3-23）為一維流動積分形式總流的連續(xù)性方程。設(shè) 和 是總流兩個有效截面l和2上的平均流速，則式（3-23）可寫成 (3-24)常數(shù)AAAAVAVAVddd

16、212221111V2V222111AVAV 式中1和2分別代表截面和上的平均密度，kg/m3。 式（3-32）表示當(dāng)流動為可壓縮流體定常流體動時，沿流動方向的質(zhì)量流量為一個常數(shù)。 對不可壓縮均質(zhì)流體常數(shù)，則式（3-24）成為 (3-25) 式（3-25）為不可壓縮流體一維定常流動的總流連續(xù)性方程。該式說明一維總流在定常流動條件下，沿流動方向的體積流量為一個常數(shù)，平均流速與有效截面面積成反比，即有效截面面積大的地方平均流速小，有效截面面積小的地方平均流速就大。 2211AVAV例題例題3-13-1例題例題3-23-2例題例題3-33-3返回 注意： 對于有固定邊界的管流，即使是非恒定流，對于同

17、一時刻的兩過水?dāng)嗝嫒匀贿m用。 即適用于理想液體，也可用于實際流體。 若沿流有流量的流進或流出，則應(yīng)相應(yīng)地加上或減去。返回本章首頁回到總目錄回到總目錄 在流動的理想流體中，取出一個微元平行六面體的微團，它的各邊長度分別為dx、dy和dz，如圖3-12所示。由于是理想流體，沒有黏性，運動時不產(chǎn)生內(nèi)摩擦力，所以作用在流體微團上的外力只有質(zhì)量力和壓強。該壓強與靜壓強一樣，垂直向內(nèi)，作用在流體微團的表面上。假設(shè)六面體形心的坐標(biāo)為x、y、z，壓強為p。 先分析x方向的運動，在垂直于x軸的左右兩個平面中心點上的壓強各等于 由于是微元面積，所以這些壓強可以作為各表面上的平均壓強。設(shè)在六面體形心上的單位質(zhì)量的質(zhì)

18、量力分量為2dxxpp2dxxpp圖 3-12 推導(dǎo)歐拉運動微分方程用圖 fx、fy和fz ，則作用在微元平行六面體的流體微團上的質(zhì)量力在軸方向的分量為 fxdxdydz 又流體微團的加速度在x軸上的投影為 ，則根據(jù)牛頓第二定律得x軸方向的運動微分方程 將上式各項除以流體微團的流體質(zhì)量dxdydz，化簡后得： 同理 （3.26） DtDuDtDuzyxzyxxppzyxxppzyxfxddddd2ddd2ddddDtDuxpfx1DtDvypfy1DtDwzpfz1 這就是理想流體的運動微分方程，早在1755年就為。對于靜止的流體u=v=w=0，則由式（3-26）可以直接得出流體平衡微分方程，

19、即歐拉平衡微分方程式（2-3）。因此歐拉平衡微分方程只是歐拉運動微分方程的一個特例。如果把加速度寫成展開式，可將歐拉運動微分方程寫成如下形式 (3-27)zwwywvxwutwzpfzvwyvvxvutvypfzuwyuvxuutuxpfzyx111 在一般情況下，作用在流體上的質(zhì)量力fx、fy和fz 是已知的，對理想不可壓縮流體其密度為一常數(shù)。在這種情況下，式（3-27）中有四個未知數(shù)u、v、w和p，而式（3-27）中有三個方程，再加上不可壓縮流體的連續(xù)性方程（3-20），就從理論上提供了求解這四個未知數(shù)的可能性。一、理想流體微元流束的伯努利方程一、理想流體微元流束的伯努利方程 1.公式推導(dǎo)

20、公式推導(dǎo) 理想流體的運動微分方程（3-27）只有在少數(shù)特殊情況下才能求解。在下列幾個假定條件下： (1)不可壓縮理想流體的定常流動； (2)沿同一微元流束（也就是沿流線）積分； (3)質(zhì)量力只有重力。 即可求得理想流體微元流束的伯努利方程。 假定流體是定常流動，則有 ，0t0zwyvxu 因此式(3-27)可寫成 (3-28) 假如流體微團沿流線的微小位移ds在三個坐標(biāo)軸上的投影為dx、dy和dz。現(xiàn)用dx、dy和dz分別乘以式（3-28）的第一式、第二式和第三式，則可得到zwwywvxwuzpfzvwyvvxvuypfzuwyuvxuuxpfzyx111 (3-29) 由流線微分方程（3-1

21、5）有 udy=vdx ydz=wdy (3-30) wdx=udz 將式（3-30）代入式（3-29）中的對應(yīng)項，則得zzwwzywvzxwuzzpzfyzvwyyvvyxvuyypyfxzuwxyuvxxuuxxpxfzyxdddd1ddddd1ddddd1d (3-31) 將式（3-31）的三個方程相加，得到 (3-32) 由于式（3-32）中的dx、dy和dz是流體微團沿流線微小位移ds的三個分量，所以要沿流線（或微元流束）進行積分。wwzzwwyywwxxwwzzpzfvvzzvvyyvvxxvvyypyfuuzzuuyyuuxxuuxxpxfzyxddddd1dddddd1dddd

22、dd1dwwvvuuzzpyypxxpzfyfxfzyxdddddd1)ddd( 式（3-32)中的 假設(shè)質(zhì)量力只有重力，fx=0，fy=0，fz=-g，即z軸垂直向上，oxy為水平面。則式(3-32)可寫成 又假設(shè)為不可壓縮均質(zhì)流體，即=常數(shù)，積分后得 或 (3-33) 式（3-33）稱為理想流體微元流束的伯努利方程。方程右邊的常數(shù)對不同的流線有不同的值。pzzpyypxxpdddd2222d21)(d21dddVwvuwwvvuu0d21d1d2Vpzg常數(shù)22Vpgz常數(shù)gVgpz22 該方程的適用范圍是：理想不可壓縮均質(zhì)流體在重力作用下作定常流動，并沿同一流線（或微元流束）。若1、2為

23、同一條流線（或微元流束）上的任意兩點，則式（3-33）也可寫成 (3-34)在特殊情況下，絕對靜止流體V=0，由式(3-34)可以得到靜力學(xué)基本方程 2. 方程的物理意義和幾何意義方程的物理意義和幾何意義 為了進一步理解理想流體微元流束的伯努利方程，現(xiàn)來敘述該方程的物理意義和幾何意義。 1 1）物理意義）物理意義 理想流體微元流束的伯努利方程式（3-34）中，左端gVgpzgVgpz2222222111常數(shù)gpz 前兩項的物理意義，在靜力學(xué)中已有闡述，即 第一項z表示單位重量流體所具有的位勢能； 第二項p/(g)表示單位重量流體的壓強勢能； 第三項V2/(2g)理解如下：由物理學(xué)可知，質(zhì)量為m

24、的物體以速度V運動時，所具有的動能為Mv2/2，則單位重量流體所具有的動能為V2/(2g)即(mV2/2)/(mg)= V2/(2g) 。所以該項的物理意義為單位重量流體具有的動能。位勢能、壓強勢能和動能之和稱為機械能。 因此，伯努利方程可敘述為：理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流動時，沿同一流線（或微元流束）上各點的單位重量流體所具有的位勢能、壓強勢能和動能之和保持不變，即機械能是一常數(shù)，但位勢能、壓強勢能和動能三種能量之間可以相互轉(zhuǎn)換，所以伯努利方程是能量守恒定律在流體力學(xué)中的一種特殊表現(xiàn)形式。 2 2）幾何意義圖）幾何意義圖 理想流體微元流束的伯努利方程式（3-34）中，左端前兩項的幾

25、何意義，同樣在靜力學(xué)中已有闡述，即第一項z表示單位重量流體的位置水頭，第二項p/(g)表示單位重量流體的壓強水頭，第三項V2/(2g)與前兩項一樣也具有長度的量綱。它表示所研究流體由于具有速度V，在無阻力的情況下，單位重量流體所能垂直上升的最大高度，稱之為速度水頭。位置水頭、壓強水頭和速度水頭之和稱為總水頭。由于它們都表示某一高度，所以可用幾何圖形表示它們之間的關(guān)系，如圖3-13所示。 因此伯努利方程也可敘述為：理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流動時，沿同一流線(或微元流束)上各點的單位重量流體所具有的位置水頭、壓強水頭和速度水頭之和保持不變，即總水頭是一常數(shù)。圖 3-13(a) 總水頭線和

26、靜水頭線二、由功能原理推導(dǎo)恒定流實際液體元流的能量方程二、由功能原理推導(dǎo)恒定流實際液體元流的能量方程 如圖3-14 ：在恒定流中取一段元流，任截取其中斷面與斷面之間的流段來研究，各參數(shù)標(biāo)于圖上。 據(jù)功能原理，外力對物體所做的功等于物體動能的增量。 動能的增量 由于是恒定流，在時段內(nèi)，這部分的質(zhì)量和各點流速都沒有變化，即動能的變化為零，所以整個流段的動能增量可看作是段的動量和段動能的差值。 因為流體不可壓縮：d返回本章首頁圖3-14 這塊水體的質(zhì)量： 因為體積微小，可以認(rèn)為和各點流速是均布的，分別為 、 ，則動能的增量為： (3.35) 外力作功 a表面力作功（包括動水壓與摩擦阻力作功） 斷面和

27、上的動水壓力與水流方向平行，所以要做功；而元流側(cè)壁上的動水壓力由于與流動方向相垂直，所以不做功，兩斷面上動水壓力所做的功為： (3.36)grdVdVdm1u2u)(2)(2121222122uugrdVuudmdVppdsdApdsdAp)(21222111 液流的摩擦阻力由于與流動方向相反，所以對液流做負(fù)功，以表示摩阻力對單位重量的液流所做的功，則對重為dV的水體來說，摩阻力所做的功是： b質(zhì)量力作功（作用在液體上的質(zhì)量力只有重力） 重力作功可視為從移至?xí)r重力所做的功，因而重力作功 （重力做正功） (3.37) 應(yīng)用功能原理得 (3.38) 兩邊除以 ，并移項得 (3.39) 單位重量不可

28、壓縮的實際液體恒定元流能量方程whdV )(21zzdVwhVdzzdVdVppuugdV)()()(221212122dVwhguzgupz2222222111 三、漸變流用漸斷面壓強分布規(guī)律三、漸變流用漸斷面壓強分布規(guī)律 1.漸變流與急變流 漸變流（緩變流）： 在實際水流中，若流線之間的夾角很小而近于平行或流線彎曲的曲率很小，流速在大小和方向上都變化很緩慢，這種流動稱之為緩變流。 反之，則稱為急變流。 2.漸變流過水?dāng)嗝嫔蟿铀畨簭姷姆植家?guī)律 漸變流和急變流的比較，最大的差別是動水壓強分布規(guī)律不同。對漸變流，在緩變流過水?dāng)嗌先我粌上噜徚骶€間取一微分柱體（如圖3-15） 作用在該微小柱體上的力

29、： 表面力：柱體兩端的動水壓強和； 與柱體軸nn垂直的柱體側(cè)面的動水壓強； 柱體側(cè)面和兩端的摩擦力，（垂直于nn軸）。 質(zhì)量力：只有重力圖3-15 因為漸變流的流線是幾乎平行的直線，則沿n向的加速度 ，于是，微小液柱沿n向的運動方程為： (3.40) 整理得： (3.41) 積分（3.41）得： （3.42） 上式說明，緩變流過水?dāng)嗝娣较蛏?。但沿流程各斷面的勢能不可能是同一常數(shù)，這是由于液流摩阻力耗能，運動過程中一部分勢能轉(zhuǎn)化為其它形式的能。 在急變流斷面上，由于流線彎曲大或相互不平行，在過水?dāng)嗝嫦蛏洗嬖陔x心力，即沿n方向的加速度不能忽略，因而斷面上各點的單位勢能不等于常數(shù)。0na0cos)

30、(2rdndwdAddAucosdndz 0 dzdp常數(shù)pz常數(shù)pz四、恒定總流能量方程四、恒定總流能量方程 如圖3-14所示，元流的流量 （3.43） 則 時段流過元流的液體重量為： (3.44) 因為元流能量方程： 表示元流單位重量液體的能量守恒關(guān)系，對元流能量方程兩邊都乘上 后，可得時段 內(nèi)，通過元流總的能量守恒關(guān)系為： （3.45） 總流是由無數(shù)元流組成的，對上式在兩邊水?dāng)嗝鍭1、A2上分，便得到時段內(nèi)通過總流的液體的2211dAudAudQdtdtdAudtdAudQdt2211whgupzgupz2222222111dQdtdtdQdtwhdtdAugupzdtdAugupz22

31、2222112111)2()2(能量守恒關(guān)系為: (3.46) 總流是由無數(shù)元流組成的，對上式在兩邊水?dāng)嗝鍭1、A2上積分，便得到 時段內(nèi)通過總流的液體的能量守恒關(guān)系為： (3.47)設(shè)總流的流量為，則時段通過總流的液體重量為 ，將上式除以 ，即得： dQdtwhdtdAugupzdtdAugupz222222112111)2()2(dt12222212112111)2()2(AAQdQdtwhdtdAugupzdtdAugupzQdtQdt11131111121)(1AAdAguQdAupzQ 單位時間內(nèi)通過總流的單位液體重量的能量關(guān)系（3.47）共含三種類型積分：1 總流過水?dāng)嗝嫔系钠骄鶈?/p>

32、位勢能若取過水?dāng)嗝婢鶠榫鶆蛄骰驖u變流，則斷面上 故： （3.49）11131111121)(1AAdAguQdAupzQ 22121)(12322212AAQwdQhQdAguQdAupzQAudApzQ)(1常數(shù)pzAApzudApzQudApzQ)(1)(1（3.48） 總流過水?dāng)嗝嫔系钠骄鶈挝粍幽?取斷面平均流速 ，并引入修正系數(shù) ，則： （3.50）其中： 值是大于的數(shù)，其大小取絕于斷面上的流速分布不均勻程度。 總流斷面與之間能量損失的平均值。 用 表示該值，則： (3.51) ：總流水頭損失。 將以上各積分結(jié)果代入（3.48）得： （3.52）AdAguQ213vgVdAguQA22

33、123AVdAuA33QwdQhQ1whwhQwhwdQhQ1hwgVpzgVpz222222211 理想流體微元流束的伯努利方程，在工程中廣泛應(yīng)用于管道中流體的流速、流量的測量和計算，下面以應(yīng)用最廣泛的皮托管和文特里流量計為例，介紹它們的測量原理和伯努利方程的應(yīng)用。 一、皮托管一、皮托管 在工程實際中，常常需要來測量某管道中流體流速的大小，然后求出管道的平均流速，從而得到管道中的流量，要測量管道中流體的速度，可采用皮托管來進行，其測量原理如圖3-16所示。 在液體管道的某一截面處裝有一個測壓管和一根兩端VBAZZ圖 3-16 皮托管測速原理 開口彎成直角的玻璃管（稱為測速管）。將測速管（又稱

34、皮托管）的一端正對著來流方向，另一端垂直向上，這時測速管中上升的液柱比測壓管內(nèi)的液柱高h(yuǎn)。這是由于當(dāng)液流流到測速管入口前的A點處，液流受到阻擋，流速變?yōu)榱?，則在測速管入口形成一個駐點A。駐點A的壓強PA稱為全壓，在入口前同一水平流線未受擾動處（例如B點）的液體壓強為 PB，速度為V。應(yīng)用伯努利方程于同一流線上的、兩點，則有 則 (3-53) 022gpzgVgpzABgVgpgphBA22ghppvBA22 式（3-53）表明，只要測量出流體的運動全壓和靜壓水頭的差值h，就可以確定流體的流動速度。由于流體的特性，以及皮托管本身對流動的干擾，實際流速比用式(3-53)計算出的要小，因此，實際流速

35、為 (3-54) 式中 流速修正系數(shù)，一般由實驗確定， =0.97。 如果測定氣體的流速，則無法直接用皮托管和靜壓管測量出氣柱差來，必須把兩根管子連接到一個形差壓計上，從差壓計上的液面差來求得流速，如圖3-17所示，則 用式(3-53)，則得 （3-55）ghV2)(液液ghppBA122液液液液ghhgV圖 3-17 用皮托管和靜壓管測量氣體流速 考慮到實際情況， (3-55a) 在工程應(yīng)用中多將靜壓管和皮托管組合成一件，稱為皮托靜壓管，又稱動壓管，習(xí)慣上常簡稱它為皮托管，其示意圖如圖3-18所示。圖中1點為總壓測點，2點為靜壓測點，將總靜壓孔的通路分別連接于差壓計的兩端，則差壓計的指示為總

36、壓和靜壓的差值，從而可由式(3-35)求得測點的流速。皮托-靜壓管的構(gòu)造尺寸及使用時的連接方式如圖3-19所示。12液液ghV圖 3-18 皮托-靜壓管圖 3-19 皮托-靜壓管構(gòu)造及連接方式 二、文特里二、文特里(Venturi)流量計流量計 文特里流量計主要用于管道中流體的流量測量，主要是由收縮段、喉部和擴散段三部分組成，如圖3-20所示。它是利用收縮段，造成一定的壓強差，在收縮段前和喉部用形管差壓計測量出壓強差，從而求出管道中流體的體積流量。 以文特里管的水平軸線所在水平面作為基準(zhǔn)面。列截面1-1，2-2的伯努利方程 (3-56) 由一維流動連續(xù)性方程 (3-57)gVgpgVgp202

37、02222112121VAAV 圖 3-20 文特里流量計原理圖 將式(3-57)代入到式(3-56)，整理得 (3-58) 由流體靜力學(xué) (3-59) 將式(3-59)代入到式(3-58)，則 (3-60) 式(3-60)表明，若液， ，A2，A1已知，只要測量出h液，就可以確定流體的速度。流量為： (3-61)/(1 )(2212212AAppV液液ghpp)(21)/(1 )(22122AAhgV液液)/(1 )(242122222AAhgdVAqV液液 考慮到實際情況 (3-62) 式中Cd為流量系數(shù)，通過實驗測定。 文特里流量計是節(jié)流裝置中的一種，除此之外還有孔板，噴嘴等，其基本原理

38、與文特里流量計基本相同，不再敘述。 三、伯努利方程應(yīng)用時特別注意的幾個問題三、伯努利方程應(yīng)用時特別注意的幾個問題 伯努利方程是流體力學(xué)的基本方程之一，與連續(xù)性方程和流體靜力學(xué)方程聯(lián)立，可以全面地解決一維流動的流速(或流量)和壓強的計算問題，用這些方程求解一維流動問題時，應(yīng)注意下面幾點： )/(1 )(2421222AAhgdCqCqdVdV液液實 (1) 弄清題意，看清已知什么，求解什么，是簡單的流 動問題，還是既有流動問題又有流體靜力學(xué)問題。 (2) 選好有效截面，選擇合適的有效截面，應(yīng)包括問題中所求的參數(shù)，同時使已知參數(shù)盡可能多。通常對于從大容器流出，流入大氣或者從一個大容器流入另一個大容

39、器，有效截面通常選在大容器的自由液面或者大氣出口截面，因為該有效截面的壓強為大氣壓強，對于大容器自由液面，速度可以視為零來處理。 (3) 選好基準(zhǔn)面，基準(zhǔn)面原則上可以選在任何位置，但選擇得當(dāng)，可使解題大大簡化，通常選在管軸線的水平面或自由液面，要注意的是，基準(zhǔn)面必須選為水平面。 (4) 求解流量時，一般要結(jié)合一維流動的連續(xù)性方程求解。伯努利方程的p1和p2應(yīng)為同一度量單位，同為絕對壓強或者同為相對壓強，p1和p2的問題與靜力學(xué)中的處理完全相同。 (5) 有效截面上的參數(shù)，如速度、位置高度和壓強應(yīng)為同一點的，絕對不許在式中取有效截面上點的壓強，又取同一有效截面上另一點的速度。例題例題3-43-4

40、例題例題3-53-5 在許多工程實際問題中，可以不必考慮流體內(nèi)部的詳細(xì)流動過程，而只需求解流體邊界上流體與固體的相互作用，這時常常應(yīng)用動量定理直接求解顯得十分方便。例如求彎管中流動的流體對彎管的作用力，以及計算射流沖擊力等。由于不需要了解流體內(nèi)部的流動型式，所以不論對理想流體還是實際流體，可壓縮流體還是不可壓縮流體，動量定理都能適用。 一、恒定總流的動量方程一、恒定總流的動量方程 將質(zhì)點系動量定理應(yīng)用于流體系統(tǒng)的運動，可以導(dǎo)出流體運動的動量方程。根據(jù)動量定理，流體系統(tǒng)動量的時間變化率等于作用在系統(tǒng)上的外力矢量和，即 設(shè)不可壓縮流體在管中作定常流動，如圖3-19所示。取有效截面1-1和2-2之間

41、的流段作為研究對象，兩截面上的平均流速分別和，流段在質(zhì)量力、兩截面上的壓強和管壁的作用力的作用下，經(jīng)過dt時間后從位置1-2流到1-2。與此同時，流段的動量發(fā)生了變化，其變化等于流段在1-2和1-2位置時的動量之差。由于定常流動中流管內(nèi)各空間點的流速不隨時間變化，因此1-2這部分流體（圖中陰影部分）的動量沒有改變。于是在dt時間內(nèi)流段的動量變化就等于2- 2段的動量和1- 1段的動量之差。 (3-63)tVmVmF1212dd)(dVtqVtqVmVV圖 3-19 推導(dǎo)動量方程用圖 由于按平均流速計算得到的動量變化量和以實際流速計算的動量變化量是不同的，故引入一個動量修正系數(shù)加以修正。根據(jù)實驗

42、測定值約為1.021.05，近似于l，所以為計算方便，在工程計算中通常取 1。于是上式可改寫成 (3-64) 根據(jù)不可壓流體一維流動總流的連續(xù)性方程，流過截面1-1的流量和流過截面2-2的流量相等，即 或 （3-65） 方程(3-46)就是不可壓縮流體定常流動的動量方程 111222dd)( dVtqVtqVmVVVVVqqq21tFVmVVtqVd)(d)(d1122FVVqV)(1122 把上式寫成分量形式為 (3-66) 管流的定常動量方程常用于求解作用在管道上的動水反力等問題。由式(3-47)可知，在定常流動中，可以有某一段流體進、出口的流速變化，而不需要知道這一流段的內(nèi)部情況，就可以

43、求出流體所受外力的合力，即管壁對流體的作用力，從而求出流體對管壁的作用力。由于動量方程是一個矢量方程，所以應(yīng)用投影方程比較方便。應(yīng)用時應(yīng)注意，適當(dāng)?shù)剡x擇控制面，完整地表達出控制體和控制面上的外力，并注意流動方向和投影的正負(fù)等。zVyVxVFwwqFvvqFuuq)()()(112211221122二、動量方程的應(yīng)用二、動量方程的應(yīng)用1液流對彎管的作用力 一漸縮彎管如圖所示，求管壁所受到的流體作用力 （不計阻力）， 設(shè)彎管水平放置，為已知。(如圖3-23) 解：由題意，因彎管水平放置，故不考慮重力作用。 對截面、寫伯諾里方程，求出 即 取求水平面上的坐標(biāo)軸xoy，應(yīng)公式（3.66） 設(shè)管壁對水流

44、的作用力為，則有：212, 11,VVAA, 2pgvgvpp22222112)()(1212yyyxxxvvQFvvQF同理：則：的作用點：如圖所示： 的方向與同，并過 、 的交點，又 也近似過此交點，形成一匯交力系，故 也過此點，通過該交點并與軸相交角的直線即為為的作用線，從而可得的作用點。 2求水流對擋水構(gòu)物的作用力(如圖3-24) 如圖為一滾水壩，上游水位因壩的阻當(dāng)而抬高，測得的水深為1.5m,下游水深為0.6m。略去水頭損失，求水流對米壩寬的水平作用力。112212122211cos)cos()cos(cosAAvvQxRvxvQAAxRFxxRyRtgyRxRRApQvyR,)()

45、(sinsin22222F1v2v2211,APAP2211APAPFR 3射流對曲面壁的沖擊力 如圖3-25所示，射流沿方向水平射出，沖擊到曲面壁后，即沿兩個方向分流，這兩個分流與原來流動的方向成 和 角度。 在主射流中取斷面：（漸變流） 在分射流中取斷面，； 相應(yīng)各量標(biāo)于圖上： 沿方向?qū)懫鋭恿糠较颍瑒t： 即 式中 為曲面對射流的反作用力的合力 射流對平面壁的沖擊力 如圖3-26所示， 則 即有 或 方向向右 射流對固定曲面壁的沖擊力1200222111coscoscosvmavmavmRXXXXvmvmvmF002211R00210,90000VQR00vmR20AvRRF 如圖3-27（

46、a），若略去水頭損失及忽略重力的情況下，在對稱時有 ，設(shè)沿方向的總動量方程 若 時，如圖3-27（b）所示，即 （ 為主射流斷面面積） 上式說明， 時，射流沖擊力為平面壁射流沖擊力的2倍。002211coscosvmvmvmR)(cos)(cos00QvmR210vvv2021mmm1802000022vAvQR0A18021應(yīng)用動量方程時應(yīng)注意以下問題：1.先選坐標(biāo)軸，并標(biāo)明坐標(biāo)軸的指向；2.計算動量增量時，一定是流出的動量減流進的動量;3.所選過水?dāng)嗝?，?yīng)符合漸變流條件，即；4.外力包括重力和表面力（兩端的液流壓力及固體邊壁對液流的壓力），固體邊界附近的液流阻力常忽略不計。5.用動量方程時

47、，常采用相對壓強計算。ApPc例題例題3-63-6回到總目錄回到總目錄返回本章首頁圖圖3-233-23圖3-24圖3-25 圖3-26 圖3-27221vppv 【例例3-1】 假設(shè)有一不可壓縮流體三維流動，其速度分布規(guī)律為）U=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。試分析該流動是否連續(xù)。 【解解】 根據(jù)式（3-28） 所以 故此流動不連續(xù)。不滿足連續(xù)性方程的流動是不存在的 3xu4yv2zw09 zwyvxu 【例例3-2】 有一不可壓縮流體平面流動，其速度分布規(guī)律為u=x2siny，v=2xcosy，試分析該流動是否連續(xù)。 【解解】 根據(jù)式（3-29） 所以 故此流動是連續(xù)的。yxxusin2yxyvsin20)sin2(sin2yxyxyvxu 【例例3-3】 有一輸水管道，如圖3-14所示。水自截面1-1流向截面2-2。測得截面1-1的水流平均流速 m/s，已知d1=0.5m， d2=1m，試求截面2-2處的平均流速 為多少？ 【解解】 由式（