高等數(shù)學(xué)隨堂講義函數(shù)的極限函數(shù)極限概念

1、一、一、x趨于趨于 時(shí)的函數(shù)極限時(shí)的函數(shù)極限 在本章在本章, ,我們將討我們將討論函數(shù)極限的基本概念和論函數(shù)極限的基本概念和重要性質(zhì)重要性質(zhì). .作為數(shù)列極限作為數(shù)列極限的推廣的推廣, ,函數(shù)極限與數(shù)列函數(shù)極限與數(shù)列極限之間有著密切的聯(lián)系極限之間有著密切的聯(lián)系, ,它們之間的紐帶就是歸結(jié)它們之間的紐帶就是歸結(jié)原理原理. .1 函數(shù)極限概念 數(shù)學(xué)分析 第三章函數(shù)極限二、二、 x趨于趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限時(shí)的函數(shù)極限三、單側(cè)極限三、單側(cè)極限*點(diǎn)擊以上標(biāo)題可直接前往對(duì)應(yīng)內(nèi)容A)(xfxyO極限極限. . f( (x) )當(dāng)當(dāng) x 趨于趨于 時(shí)以時(shí)以A為為我們就稱我們就稱函數(shù)函數(shù)f ( (x) )當(dāng)當(dāng)

2、 x 沿著沿著 x 軸的正向軸的正向上上,無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí), ,也無(wú)限地接近也無(wú)限地接近A, ,a定義在定義在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf后退 前進(jìn) 目錄 退出x趨于 時(shí)的函數(shù)極限x趨于趨于例如例如 函數(shù)函數(shù),arctan xy 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), xy210203040O0.51為極限為極限.以以2x趨于 時(shí)的函數(shù)極限定義1記為記為或者或者lim( )xf xA ).()( xAxf,)( AxfAxxf時(shí)以時(shí)以趨于趨于當(dāng)當(dāng) )(則稱函數(shù)則稱函數(shù).為極限為極限 .,上上的的一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)為為定定義義在在設(shè)設(shè) afA 為常數(shù)為常數(shù). .,xM 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)若對(duì)于任意正數(shù)若對(duì)于任意正數(shù)，0 使得使得，

3、)(aM 存在存在x趨于 時(shí)的函數(shù)極限( )Af xA 有有 lim( )xf xA的的幾幾何何意意義義xM使使當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)xA A 任意給定任意給定0 M存在存在Ma AxyOax趨于 時(shí)的函數(shù)極限( )Af xA 有有 lim( )xf xA的的幾幾何何意意義義xM使使當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)xA A 任意給定任意給定0 M存在存在Ma xAyOax趨于 時(shí)的函數(shù)極限 更更小小注注 數(shù)列可視為定義在正整數(shù)集上的函數(shù)數(shù)列可視為定義在正整數(shù)集上的函數(shù). 所以所以(由定義由定義1),例例1 證明證明. 01limxx 任給任給證證, 0 取取,1 M,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Mx 1( )0f xx. 01limxx與不同點(diǎn)與不同

4、點(diǎn).比較數(shù)列極限定義與函數(shù)極限定義之間的相同點(diǎn)比較數(shù)列極限定義與函數(shù)極限定義之間的相同點(diǎn)請(qǐng)大家請(qǐng)大家x趨于 時(shí)的函數(shù)極限, 例例2.2arctanlim xx證明證明證證 任給任給),2(0 ).2tan( M取取這就是說(shuō)這就是說(shuō)lim arctan.2xx 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)Mx 嚴(yán)嚴(yán)格格增增，因因?yàn)闉閤arctan( )arctan22f xx().22x趨于 時(shí)的函數(shù)極限定義2,)( Axf ,)(上上定定義義在在設(shè)設(shè)bxf .是是一一個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)A,0 , 0 M存存在在()xMb 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)若若對(duì)對(duì)于于任任意意記為記為Axfx )(lim或或).()( xAxf則稱則稱Axxf時(shí)以時(shí)以當(dāng)當(dāng))

5、(,為極限為極限x趨于 時(shí)的函數(shù)極限定義3為極限，為極限，時(shí)以時(shí)以當(dāng)當(dāng)則稱則稱Axxf )(記為記為,)( AxfA是是一一個(gè)個(gè)常常,)()(內(nèi)內(nèi)的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域定定義義在在設(shè)設(shè) Uxf.數(shù)數(shù)Axfx )(lim或或).()( xAxf存在存在，0 M若對(duì)于任意若對(duì)于任意, 0 xM 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x趨于 時(shí)的函數(shù)極限證證 對(duì)于任意正數(shù)對(duì)于任意正數(shù)),10( ,ln M取取lnxM 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 這就是說(shuō)這就是說(shuō)例例3 證明證明lim e0.xx .e0e xx. 0elim xxx趨于 時(shí)的函數(shù)極限例例4 證明證明. 011lim2xx22110,1xx 所以結(jié)論成立所以結(jié)論成立. .,1 M可取

6、可取有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Mx 證證 對(duì)于任意正數(shù)對(duì)于任意正數(shù) , x趨于 時(shí)的函數(shù)極限定理3.1從定義從定義1、2 、3 不難得到不難得到:.)(lim)(limAxfxfxx 定義在定義在則則的的一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，)(xfxxarctanlim 則由定理則由定理 3.1，.不存在不存在Axfx )(lim的充要條件是：的充要條件是：lim arctan, lim arctan,22xxxx 例如例如x趨于 時(shí)的函數(shù)極限設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的某空心鄰域的某空心鄰域 內(nèi)有定義內(nèi)有定義. . )(0 xU為極限的定義為極限的定義.下面我們直接給出函數(shù)下面我們直接給出函數(shù) f (

7、x) 時(shí)以常數(shù)時(shí)以常數(shù) A0 xx 當(dāng)當(dāng) x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限定義10lim( )xxf xA 或者或者. )()(0 xxAxf0( ).f xxxA則則稱稱當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)以以為為極極限限記為記為,)(),(0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xUxUx ,)( Axf, 如如果果對(duì)對(duì)于于任任意意正正數(shù)數(shù))(xf設(shè)設(shè)內(nèi)有內(nèi)有)(xU的的某某空空心心鄰鄰域域0 x在點(diǎn)在點(diǎn)定義，定義，.是是一一個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)A 存存在在正正數(shù)數(shù) ，x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限 x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限12112 2xx ( ) 122 2(12)xx 例例5證明證明.221121lim1 xxx, 對(duì)于任意正數(shù)對(duì)于任意正數(shù), 0 要找到要找到

8、|1|0 x當(dāng)當(dāng)分析分析時(shí)時(shí), 使使 x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限11122 2x21.2 2(12)xx )( )21(2212 xx這就證明了這就證明了12112 2xx .221121lim1xxx證證, 取取00 xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , 任給正數(shù)任給正數(shù)只要只要 式就能成立式就能成立, 1,( )x 211 ,2 2(12)xxx因因 x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限 故取故取 即可即可.1,x 例例6 證明證明.lim2020 xxxx ,00202 xxxxxx因?yàn)橐驗(yàn)榇藭r(shí)有此時(shí)有可以先限制可以先限制, 10 xx0002xxxxx故只要故只要所以所以,)21(00202xxxxx .2100

9、xxx 要使要使分析分析012,x x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限002xxx這就證明了這就證明了.202 xx.lim2020 xxxx ,21, 1min0 x 取取 00 xx當(dāng)當(dāng)證證,0 有有,時(shí)時(shí)00202)21(xxxxx x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限例例7 證明：證明：00(1)limsinsin;xxxx 注注 在例在例5、例、例6中中, 我們將所考慮的式子適當(dāng)放大我們將所考慮的式子適當(dāng)放大, 不是不是“最佳最佳”的的, 但這不影響我們解題的有效性但這不影響我們解題的有效性. 其目的就是為了更簡(jiǎn)潔地求出其目的就是為了更簡(jiǎn)潔地求出 , 00(2)limcoscos.xxxx 或許所求出的或

10、許所求出的 x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限證證 首先，在首先，在右圖所示的單位圓內(nèi)右圖所示的單位圓內(nèi),0,2x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)顯然有顯然有即即,OABOADOADSSS 扇形扇形,tan2121sin21xxx 故故sintan0.2xxxx,2x 因因?yàn)闉楫?dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)sin1,xx x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限OCDBAyxx0 ,x 故故對(duì)對(duì)一一切切00(1)limsinsin;xxxx sin.xx 有有.0 時(shí)成立時(shí)成立上式中的等號(hào)僅在上式中的等號(hào)僅在 xR.,sin xxx,sin x故故均是奇函數(shù)均是奇函數(shù) ,x又因?yàn)橛忠驗(yàn)?sinsinxx , 對(duì)對(duì)于于任任意意正正數(shù)數(shù), 取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx0

11、,xx .sinsinlim00 xxxx 所以所以同理可證同理可證:.coscoslim00 xxxx x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限002cossin22xxxx 例例8 證明：證明：).1| (11lim02020 xxxxx證證 因?yàn)橐驗(yàn)?2000220|1111xxxxxxxx則則, 0 ,2120 x 取取00|xx 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，2200202|11|1xxxxx 這就證明了所需的結(jié)論這就證明了所需的結(jié)論.0202|,1xxx x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限. 在上面例題中在上面例題中, 需要注意以下幾點(diǎn)：需要注意以下幾點(diǎn)：, 我們強(qiáng)調(diào)其存在性我們強(qiáng)調(diào)其存在性. 1. 對(duì)于對(duì)于 的的, 不同的

12、方法會(huì)得出不同的不同的方法會(huì)得出不同的 , 不存在哪一個(gè)更不存在哪一個(gè)更好的問(wèn)題好的問(wèn)題.數(shù)數(shù)都可以充當(dāng)這個(gè)角色都可以充當(dāng)這個(gè)角色.3. 正數(shù)正數(shù) 是任意的是任意的,一旦給出一旦給出,它就是確定的常數(shù)它就是確定的常數(shù)., 那么比它那么比它更小的正更小的正是不唯一的是不唯一的, 一旦求出了一旦求出了 . 2換句話說(shuō)換句話說(shuō), ,對(duì)于固定對(duì)于固定有時(shí)為了方便有時(shí)為了方便, ,需要讓需要讓 小于某個(gè)正數(shù)小于某個(gè)正數(shù). 當(dāng)然也能滿足要求當(dāng)然也能滿足要求. 樣的樣的 能找到相應(yīng)的能找到相應(yīng)的 , 那么比它大的那么比它大的 , 這個(gè)這個(gè) 一旦對(duì)這一旦對(duì)這 x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限平面上以平面上以 y =A

13、為中心線為中心線, 寬為寬為 的窄帶的窄帶, 2可可以找到以找到, 0 使得曲線段使得曲線段),(),(0 xUxxfy 4. 函數(shù)極限的幾何意義如圖函數(shù)極限的幾何意義如圖, 0, 任任給給對(duì)于對(duì)于坐標(biāo)坐標(biāo)落在窄帶內(nèi)落在窄帶內(nèi). AyAy AyOxy 0 x0 x 0 x x趨于x0 時(shí)的函數(shù)極限，時(shí)時(shí)在考慮在考慮)(lim0 xfxxx 既可以從既可以從 x0)(0 xx 的的左左側(cè)側(cè)但在某些時(shí)但在某些時(shí).)(000 xxxx趨向于趨向于的右側(cè)的右側(cè)又可以從又可以從 在定義區(qū)間的端點(diǎn)和分段函數(shù)的分界點(diǎn)等在定義區(qū)間的端點(diǎn)和分段函數(shù)的分界點(diǎn)等.候候,我們僅需我們僅需(僅能僅能)在在 x0的某一側(cè)

14、來(lái)考慮的某一側(cè)來(lái)考慮, 比如函數(shù)比如函數(shù)單側(cè)極限定義5|,f xA （ ）（ ）則稱則稱 A 為函數(shù)為函數(shù) f 當(dāng)當(dāng)00()xxxx時(shí)的右時(shí)的右(左左). )(lim()(lim00AxfAxfxxxx 右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限. ).(lim)0(, )(lim)0(0000 xfxfxfxfxxxx 時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng))0(000 xxxx極限極限, ,記作記作有時(shí)記有時(shí)記,),(),()(00有有定定義義在在設(shè)設(shè) xUxUxf A為常為常數(shù)數(shù). ,）（存存在在正正數(shù)數(shù) 若對(duì)于任意正數(shù)若對(duì)于任意正數(shù) , ,單側(cè)極限為了方便起見為了方便起見, 例例7 討論函數(shù)討

15、論函數(shù).112處處的的單單側(cè)側(cè)極極限限在在 xx解解 因?yàn)橐驗(yàn)? 1| x),1(2)1()1(12xxxx .|01|2 x. 01lim21 xx這就證明了這就證明了. 01lim21 xx同理可證同理可證有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),11 x 所以所以, 0 ,22 取取單側(cè)極限定理3.1由定義由定義3.4和定義和定義3.5，我們不難得到：，我們不難得到：注注試比較定理試比較定理 3.1 與定理與定理 3.1.)(lim)(lim00Axfxfxxxx）有有定定義義，則則（在在設(shè)設(shè)0)(xUxf:)(lim0的充要條件是的充要條件是Axfxx , 1sgnlim,1sgnlim00 xxxx由由于于xx

16、sgnlim0所以所以不存在不存在. .單側(cè)極限例例9 證明狄利克雷函數(shù)證明狄利克雷函數(shù) 無(wú)理數(shù)無(wú)理數(shù)，有理數(shù)有理數(shù)xxxD0, 1)(證證 處處無(wú)極限處處無(wú)極限. .,|00* xx,0 對(duì)于任意的對(duì)于任意的0,xRA 對(duì)對(duì)于于任任意意的的以以及及任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) ，.210 取取,21 A若若,*QRx 取取滿足滿足單側(cè)極限.21|)(|0* AAxD則有則有,21 A若若,*Qx 取取,00* xx滿足滿足也有也有.21|1|)(|0* AAxD證畢證畢.例例10 對(duì)于黎曼對(duì)于黎曼函數(shù)函數(shù).1, 0,0, 1),(,1)( 無(wú)理數(shù)以及無(wú)理數(shù)以及xqpqpxqxR00:(0,1), lim( )0.xxxR x證證明明證證 .10 NN，使，使，取一正整數(shù)，取一正整數(shù)因?yàn)樵谝驗(yàn)樵?(0, 1) 中分母小于中分母小于 N 的有理數(shù)至多只有的有理數(shù)至多只有. )(,21Knxxxn 個(gè)個(gè) , 2)1( NNK單側(cè)極限故可設(shè)這些有理數(shù)為故可設(shè)這些有理數(shù)為這就是說(shuō)，除了這這就是說(shuō)，除了這 n 個(gè)點(diǎn)外個(gè)點(diǎn)外 , 其他點(diǎn)的函數(shù)值都其他點(diǎn)的函數(shù)值都01(1),nxxx若若是是中中的的某某一一個(gè)個(gè)0101(2),min |.