1991考研數(shù)二真題及解析

1、1991年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題、填空題(每小題3分,滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線上.)(1)設(shè)yln(13x),則dy2(2)曲線yex的上凸區(qū)間是.Inx,1rdx.1 x質(zhì)點(diǎn)以速度tsin(t2)米每秒作直線運(yùn)動(dòng)，則從時(shí)刻1秒到t2秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程等于米lim1exx0xex二、選擇題(每小題3分，滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1)若曲線yx2axb和2y1xy3在點(diǎn)(1,1)處相切，其中a,b是常數(shù)，則()XF12XXO2X-33x32x12XXO12x23x,0x1(C)F(x)322(D)x小x/

2、2x,1x232)內(nèi)有定義，xqF(x)3x,0x1322x,1x22(3)設(shè)函數(shù)f(x)在(0是函數(shù)f(x)的極大點(diǎn),則(A)a0,b2(B)a1,b3(C)a3,b1(D)a1,b12x,0x1,、x(2)設(shè)函數(shù)f(x)c，記F(x)0f(t)dt,0x2,則()2x,1x2,0曲線y(A)沒(méi)有漸近線(C)僅有鉛直漸近線(B)(D)()僅有水平漸近線既有水平漸近線又有鉛直漸近線如圖，X軸上有一線密度為常數(shù)，長(zhǎng)度為I的細(xì)桿，有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)到桿右端的距離為a,已知引力系數(shù)為k,則質(zhì)點(diǎn)和細(xì)桿之間引力的大小為()*-x(A)(A)km2dx(ax)(B)km2dx(ax)okm(C)2$(ax

3、)2dx(D)2km20(ax)dx三、(每小題5分,滿(mǎn)分25分.)2(1)tcost十dy,求一2tsintdx(2)計(jì)算(2)計(jì)算4dx1x(1.x)xm0xsinx2xx(e1)(4)求xsin2xdx.求微分方程xyyxex滿(mǎn)足y(1)1的特解.四、(本題滿(mǎn)分9分)利用導(dǎo)數(shù)證明：當(dāng)x1時(shí)，有不等式ln(1x)亠成立.lnx1x五、(本題滿(mǎn)分9分)求微分方程yyxcosx的通解.六、(本題滿(mǎn)分9分)曲線y(x1)(x2)和x軸圍成一平面圖形，求此平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積七、(本題滿(mǎn)分9分)AB:DCAB:DC如圖,A和D分別是曲線yex和ye2x上的點(diǎn),AB和DC均垂直x

4、軸,且八、(本題滿(mǎn)分9分)設(shè)函數(shù)f(x)在(設(shè)函數(shù)f(x)在()內(nèi)滿(mǎn)足f(x)f(x)sinx,且f(x)x,x0,),3計(jì)算f(x)dx.1991年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析、填空題(1)【答案】(每小題3分,滿(mǎn)分ln3xdx3x115分.把答案填在題中橫線上.)【解析】,即y(f(x)的微分為dy(f(x)f(x)dx,有由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則【答案】存3xln3(1)dx弊dx.3x1【解析】求函數(shù)yf(x)的凹凸區(qū)間,只需求出y,若y0,則函數(shù)圖形為上凹，若0,則函數(shù)圖形為上凸,由題可知ex2(2x)2xex2ex2(2x)ex(2x)4e"(x22因?yàn)?ex0,所

5、以當(dāng)x20時(shí)y0,函數(shù)圖像上凸x2函數(shù)圖像上凸.故曲線上凸區(qū)間為(【答案】【解析】1用極限法求廣義積分lnxdxlimb1x2blnx1blimb1lnxd(-)x【答案】【解析】設(shè)在t分部limbInx-)dxxbimInbIn1bimInb1.12這是定積分的應(yīng)用tdt時(shí)刻的速度為2tsin(t),則在dt時(shí)間內(nèi)的路程為dstsin(t2)dt,所以從時(shí)刻t1秒到t2、秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程為t22sqtsin(t2)dt21V22rtsin(t)dt-pSin(t)dt】cos(t2)2V1-(cos211込)2(10)【答案】1【解析】這是-個(gè)型未定式1,分子分母同乘以e得lim1x0x

6、1e1limx01e匚1xex11為簡(jiǎn)化計(jì)算,令t1,則x-,原式可化為xte1x1te101,limlim1.x01tte01xex1t1二、選擇題（每小題3分,滿(mǎn)分15分.）（1）【答案】(D)【解析】?jī)珊瘮?shù)在某點(diǎn)處相切,則在該點(diǎn)處的切線的斜率相等，即在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等對(duì)兩函數(shù)分別對(duì)x求導(dǎo),得y2xa,則該曲線在點(diǎn)（1,1）處的導(dǎo)數(shù)為yxi2a,322yy3xyy,即y322yy3xyy,即y3y23xy2,則曲線在點(diǎn)（1,1）處的導(dǎo)數(shù)為兩導(dǎo)數(shù)相等1,即a1.又因?yàn)榍€axb過(guò)點(diǎn)(1,1),所以有11b,b1.所以選項(xiàng)（D）正確.【答案】（B）【解析】這是分段函數(shù)求定積分當(dāng)0x1時(shí)，f(x

7、)x2,所以F(x)當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x2,所以F(x)x0f(t)dtX2t2dt01t3當(dāng)1x2時(shí)，f(x)2x,所以t2dt0(2t)dt1t3(2x1x2)2x2x2.3,0x1所以F(X)3,應(yīng)選(B).7cx2“c-2x,1x262【答案】(B)【解析】方法一：用排除法由于不可導(dǎo)點(diǎn)也可取極值，如f(x)x1,在x01處取極大值，但是x01不是f(x)x1的駐點(diǎn)，所以(A)不正確；注意到極值的局部性，即極值不是最值,所以(D)也不正確；對(duì)于f(x)|x1|,在X。1處取極大值，但x01并非是f(x)|x1|的極小值點(diǎn),所以(C)也不成立；故選(B).方法二：證明(B)是正確的，因?yàn)?/p>

8、X。0,不妨設(shè)X。0,則f(X。)為極大值，則在x0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有f(x0)f(x0x)；函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以必有f(x0)f(x0x),即在X0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)f(X0)為極小值，故(B)是正確的.(3) 【答案】(D)【解析】函數(shù)的定義域?yàn)閤0,所以函數(shù)的間斷點(diǎn)為x0,1-1叫Hx1-1叫Hx叫Hx1-I,所以x0為鉛直漸近線1-ImHxlimxx2e"Ve1,所以y1為水平漸近線所以選(D).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】鉛直漸近線：如函數(shù)yf(x)在其間斷點(diǎn)xx0處有l(wèi)imf(x)xxoxXo是函數(shù)的一條鉛直漸近線；水平漸近線：當(dāng)limf(x)a,(a為常數(shù))，則ya

9、為函數(shù)的水平漸近線.x【答案】(A)【解析】如圖建立坐標(biāo)系,則xxdx中，dx長(zhǎng)度的細(xì)桿的質(zhì)量為dx,與質(zhì)點(diǎn)的距離為ax,故兩點(diǎn)間的引力為dFkm茫,積分得F°km2dx,故選(A).(ax)21(ax)2同理應(yīng)用微元法可知，若以I的中點(diǎn)為原點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為(a-,0),故2km2(adx；x)2若以I的左端點(diǎn)為原點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為(aI,0),故F1也dx.0(aIx)故(B)、(C)、(D)均不正確,應(yīng)選(A).三、(每小題5分,滿(mǎn)分25分.)(1)【解析】這是個(gè)函數(shù)的參數(shù)方程dydy/dtsinttcostdxdx/dtcosttsintd2ydx21costtsintdtd

10、dy1dsinttcostdt(dx)dxdtcosttsint>(2costtsint)(costtsint)(2sinttcost)(sinttcost)1(costtsint)2costtsint2(cos21sin2t)t2(sin2tcos2t)3tsintcost3tsintcost(costtsint)32t23"(costtsint)【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程所確定函數(shù)的微分法:如果y(；則蕓吩(2)【解析】用換元法求定積分令t.x,則xt2,dx2tdt,則4dx1x(1、x)4dx1x(1、x)1t2(1t)2tdt21121(;c)dtxsinx2x(e1)x

11、limx0sinx、缶1cosx廠洛xim03x2叫IK2sin3Xlim2x03x22t2142ln2(lnIn；)2lnt代入初始條件y(1)1得C1,所以特解為y1323(3)【解析】利用等價(jià)無(wú)窮小和洛必達(dá)法則當(dāng)x0時(shí)，有sinx:X,ex:1x,所以(4)【解析】用分部積分法求不定積分(5)(5)xsin2xdxxx412x42xdx-21xsin2x41xsin2x4【解析】所給方程是一階線性方程dxx/xyex(ee1(xxcos2xdxxcos2x)dxsin2xdx41cos2x8,其標(biāo)準(zhǔn)形式為.IdxxdxC)11(xdeC)(xexxx1xd(sin2x)41-yxxexd

12、xexdxC)ex.通解為C)(xexxexC)【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】一階線性非齊次微分方程p(x)yq(x)的通解為p(x)dx(q(x)ep(x)dxdxC),其中C為常數(shù).四、(本題滿(mǎn)分9分)【解析】首先應(yīng)簡(jiǎn)化不等式，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律當(dāng)x1時(shí)，原不等式即(1x)ln(1x)xlnx,即(1x)ln(1x)xlnx0.證法一：令f(x)(1x)ln(1x)xlnx,則只需證明在x1時(shí)f(x)0即可，可利用函數(shù)的單調(diào)性證明，對(duì)于f(x)有x1f(x)ln(1x)1lnX1In().xx1因x1,故1,即f(x)0,所以在(1,)上f(x)是嚴(yán)格遞增函數(shù)，所以xf(x)f(1)21n20,故(1x)ln(

13、1x)xlnx0,所以當(dāng)x1時(shí),有不等式ln(1x)成立Inx1x證法二：當(dāng)x1時(shí),原不等式即(1x)ln(1x)xlnX,不等式左右兩端形式一致，故令f(x)xlnx,則f(x)Inx1f(x)xlnx,則f(x)Inx10(x1),所以f(x)xlnx在x1時(shí)嚴(yán)格單調(diào)遞增故f(x1)f(x)，即(1x)ln(1x)xlnx.所以當(dāng)x1時(shí),有不等式ln(1x)成立.lnx1x五、(本題滿(mǎn)分9分)【解析】微分方程yyxcosx對(duì)應(yīng)的齊次方程y2y0的特征方程為r10,特征根為1,2i,故對(duì)應(yīng)齊次通解為C1cosxC2sinx.方程yyx必有特解為Yaxb,代入方程可得a1,b0.方程yycos

14、x的右端excosxcosx,ii為特征根，必有特解Y2xAcosxxBsinx,代入方程可得A由疊加原理，原方程必有特解Y¥璉所以原方程的通解為yC1cosxC2sinx0,B2x.xsinx.21.xxsinx.2【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】關(guān)于微分方程特解的求法如果f(x)Pm(x)ex,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程yP(x)yq(x)yf(x)*kx具有形如yxQm(x)e的特解，其中Qm(x)與Pm(x)同次(m次)的多項(xiàng)式，而k按不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取為0、1或2.如果f(x)exR(x)cosxPn(x)sinx,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y

15、p(x)yq(x)yf(x)的特解可設(shè)為yxkexRDgcosxRgsinx,其中瓷仏)與瓷)(x)是m次多項(xiàng)式，mmaxl,n,而k按i(或i)不是特征六、(本題滿(mǎn)分9分)【解析】利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積，用微元法，曲線為一拋物線，與x軸的交點(diǎn)是x,1,一31X22,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-，).24方法一：考慮對(duì)x積分,如圖中陰影部分繞環(huán)柱體的體積為dV(xdx)2yx2y2xydxydx2y軸旋轉(zhuǎn)故|yy，即dV2xydx2x(x1)(x2)dx.其中dx2為dx0的高階無(wú)窮小，故可省略，且y為負(fù)的,把x從12積分得212x(1x)(x2)dx2212x(1x)(x2)dx2221(3x3x2x)

16、dxx3x4x3x412(04)方法二：考慮對(duì)y的積分，如圖中陰影部分繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后的體積差，即方法二：考慮對(duì)y的積分，如圖中陰影部分繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后的體積差，即y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積為拋物線兩半曲線分別繞22dVx2dyx-idy其中，為，x2為Yy與拋物線的交點(diǎn)，且x2x1，把Yy代入拋物線方程y(x1)(x2)，解得3 .14y3、14yX1，X22202故旋轉(zhuǎn)體體積為V1(x242x1)dy.把X1，X2的值代入化簡(jiǎn)，得V°3,14ydy32-°o(14y)23244314432七、(本題滿(mǎn)分9分)【解析】可以利用函數(shù)的極值求解設(shè)B、C的橫坐標(biāo)分別為x1，x，因?yàn)閨A

17、B|1，所以x0，x0.依題設(shè)AB:|DC|2:1，所以有e512e2x，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，得人In22x，BCxx1x(In22x)3xIn2,(x0),所以梯形ABCD的面積為Se2x)(3xIn2)1(2e2xe2x)(3xIn2)|(3xIn2)e2x.3求函數(shù)S(3xIn2)e2x,(x0)的最值,滿(mǎn)足一般函數(shù)求最值的規(guī)律,兩邊對(duì)x求導(dǎo),并令S0有6x2ln2)e0,1111得駐點(diǎn)xIn2,在此點(diǎn)S由正變負(fù)，所以xIn2是極大值點(diǎn)232313又駐點(diǎn)唯一，故xIn20是S-(3xIn2)e2x最大值點(diǎn)32111此時(shí)xIn2,x.In21時(shí),梯形ABCD面積最大，23311(-捫2,0).11(-捫2,0).1故B點(diǎn)的坐標(biāo)為(In21,0),C點(diǎn)的坐標(biāo)為3),f(x)f(x)sin(