線性代數(shù)——矩陣的運算-文檔資料

1、上頁上頁下頁下頁返回返回1第二節(jié)第二節(jié) 矩陣的計算矩陣的計算 一、一、 矩陣的加法矩陣的加法 二、數(shù)與矩陣相乘二、數(shù)與矩陣相乘 三、矩陣與矩陣相乘三、矩陣與矩陣相乘 四、四、 矩陣轉置矩陣轉置 五、方陣的行列式五、方陣的行列式 六、六、 共軛矩陣共軛矩陣 七、矩陣的應用七、矩陣的應用上頁上頁下頁下頁返回返回2、定義、定義 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111設有兩個設有兩個 矩陣矩陣 那么矩陣那么矩陣 與與 的和記作的和記作 ，規(guī)定為，規(guī)定為nm ,bB,aAijij ABBA 上頁上頁下頁下頁返回返回3說明說明 只有

2、當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 上頁上頁下頁下頁返回返回42 2、矩陣加法的運算規(guī)律、矩陣加法的運算規(guī)律 ;ABBA1 .ABCABC21 1、定義、定義,AAA 數(shù)數(shù) 與與矩矩陣陣 的的乘乘積積記記作作或或規(guī)規(guī)定定為為 矩矩陣陣 與與的的差差規(guī)規(guī)定定為為記記為為上頁上頁下頁下頁返回返回5.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 2 2、數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律、數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律（設（設 為為 矩陣，矩陣， 為數(shù)）為數(shù)） ,nm BA、 ;1AA ;2A

3、AA .3BABA 上頁上頁下頁下頁返回返回6矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來, ,統(tǒng)稱為矩陣統(tǒng)稱為矩陣的的線性運算線性運算. .12123,t tx xx設設變變量量到到變變量量的的線線性性變變換換為為 111 112 2221 122 2331 132 2Ix = b t + b tx = b t + b tx = b t + b t ,x x xy y12312變變量量到到變變量量的的線線性性變變換換為為： 11111221332211222233ya xa xa xya xa xa x 上頁上頁下頁下頁返回返回7,t ty y1212那那么么變變量量到到變變量量的的線線

4、性性變變換換為為：11111 112 21221 122 21331 132 222111 112 22221 122 22331 132 2()()()()()()()yab tb tab tb tab tb tyab tb tab tb tab tb t 111 1112211331111 12122213322221 1122212331121 12222223322()()()()ya ba ba bta ba ba btya ba ba bta ba ba bt 即即 111211121321222122233132bbaaaA= B = bbaaabb令 令 11 1112 211

5、3 3111 1212 2213 3221 1122 2123 3121 1222 2223 32a ba ba ba ba ba bCa ba ba ba ba ba b 上頁上頁下頁下頁返回返回8、定義、定義設設 是一個是一個 矩陣，矩陣， 是一個是一個 矩陣，那末規(guī)定矩陣矩陣，那末規(guī)定矩陣 與矩陣與矩陣 的乘積的乘積是一個是一個 矩陣矩陣 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB skkjiksjisjijiijbabababac12211CAB矩陣 是由矩陣 與 按照某種運算得到的，這就是下面要給出的矩陣乘法。11 1112 2113 3111 1212 22

6、13 3221 1122 2123 3121 1222 2223 32a ba ba ba ba ba bCa ba ba ba ba ba b 上頁上頁下頁下頁返回返回9并把此乘積記作并把此乘積記作.ABC 例例222263422142 C22 16 32 816?設設 415003112101A 121113121430B例例2 2上頁上頁下頁下頁返回返回10故故 121113121430415003112101ABC. 解解 ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10上頁上頁下頁下頁返回返回11注意注意只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時

7、，兩個矩陣才能相乘.、矩陣乘法的運算規(guī)律、矩陣乘法的運算規(guī)律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中 為數(shù)）; 注意注意矩陣乘積一般不滿足交換律例例 設設 1111A 1111B上頁上頁下頁下頁返回返回12則則,0000 AB,2222 BA.BAAB 故故方陣的冪1211AnAAAA A設設 是是 階階方方陣陣，定定義義：，()klk lklkl+A A = AA= A注意：，()kkkAB= A B但不一定成立。kkAA Ak11，其其中中 為為正正整整數(shù)數(shù)。上頁上頁下頁下頁返回返回13例3nAA設矩陣，求11012A解：11110101120132

8、AA A12110101130143AA A131101011401nnA =利用數(shù)學歸納法可以證明，101nn11111010101上頁上頁下頁下頁返回返回14例4 ,( + ).n=+=A BAABBA BABABBA設都是 階方陣，且滿足，及證明：222=AABB證明 由已知，有222()ABAABBAB( + ) =+A BAB而已知，所以2+=+AABBABABAABBAB22上頁上頁下頁下頁返回返回15AB+ BA= O即A用用 分分別別左左乘乘，右右乘乘上上式式，得得A B+ABA=2ABABA2AB =所以有所以有 AB = BA= O注： 事實上注： 事實上 AB+ ABA=

9、 OABABAOABABA上頁上頁下頁下頁返回返回16四、矩陣轉置四、矩陣轉置定義112111222212()ijmmnnmnAamnaaaaaaaaa設是矩陣，稱矩陣設是矩陣，稱矩陣T.AA為為矩矩陣陣 的的轉轉置置，記記為為上頁上頁下頁下頁返回返回17轉置矩陣的運算性質轉置矩陣的運算性質 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 上頁上頁下頁下頁返回返回18證明：由矩陣乘法定義有：()( )ijijA= am sB= bs n 設設是是一一個個矩矩陣陣，是是一一個個矩矩陣陣，TT()()ijm nijn mABCcB ADd 記記， T()jiABijc由于的第

10、行，第 列的元素為由于的第 行，第 列的元素為1sjijkkikcab TTT11(,)(,)isijjsBibbAjaa而而的的第第 行行為為，的的第第 列列為為，1122.ijijijkijksijsdb ab ab ab a 11(1,2, ;1,2,)sskijkjkkijikkb aa bcin jm ， 上頁上頁下頁下頁返回返回19設設 為為 階方陣，如果滿足階方陣，如果滿足 ，即，即那么那么 稱為稱為對稱陣對稱陣.AnTAA n,j , iaajiij21 A.A為對稱陣為對稱陣例如例如 6010861612說明說明對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應相對稱陣的元素以主對角線為對稱

11、軸對應相 等等.稱稱為為反反對對稱稱的的則則矩矩陣陣如如果果AAAT TTTT,() D = CABB A即亦即 上頁上頁下頁下頁返回返回20例例5 5 設列矩陣設列矩陣 滿足滿足 TnxxxX,21 , 1 XXT.,2,EHHHXXEHnETT 且且陣陣是是對對稱稱矩矩證證明明階階單單位位矩矩陣陣為為證明證明 TTTXXEH2 TTTXXE2 ,2HXXET .是對稱矩陣是對稱矩陣H2HHHT 22TXXE TTTXXXXXXE44 TTTXXXXXXE44 TTXXXXE44 .E 上頁上頁下頁下頁返回返回21五、方陣的行列式五、方陣的行列式定義定義 由由 階方陣階方陣 的元素所構成的行

12、列式，的元素所構成的行列式，叫做方陣叫做方陣 的行列式，記作的行列式，記作 或或nAAA.det A 8632A例例8632 A則則. 2 運算性質運算性質 ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB 上頁上頁下頁下頁返回返回22證明：(1) 由行列式性質即得（2）多次利用行列式性質3，有nnnnnnaaaaaaaaaA111212122212( )n設階行列式 32nAnnnnnnnaaaaaaaaa111212122212上頁上頁下頁下頁返回返回23nnnnnnnnaaaaDbbbbO1111111111AOEB.D A B由第一章例9得nDbbnbn+分別將 中第1列的倍，第2列的

13、倍，.第 列的倍加到列，112111,nDbbb使 中所在位置的元素為 ，112110ijb同法可使其它所在位置的元素化為0上頁上頁下頁下頁返回返回24最后得到最后得到nnnnnnnnn naaccaaccDO1111111111()ni jikk ji jn nkca bcCCAB這里，記，顯然1(, , )jnjDrrjnACEO對做運算1 2()nD EOAC有，1()() ().nnnD E CCCAB111.ABA B所以 上頁上頁下頁下頁返回返回25定義定義 行列式行列式 的各個元素的代數(shù)余子式的各個元素的代數(shù)余子式 所所構成的如下矩陣構成的如下矩陣AijA nnnnnnAAAAA

14、AAAAA212221212111性質性質.EAAAAA 證明證明 ,ijaA 設設 ,ijbAA 記記則則jninjijiijAaAaAab 2211,ijA 稱為矩陣稱為矩陣 的的伴隨矩陣伴隨矩陣.A上頁上頁下頁下頁返回返回26六、共軛矩陣六、共軛矩陣定義定義當當 為復矩陣時，用為復矩陣時，用 表示表示 的共軛的共軛復數(shù)，記，稱為復數(shù)，記，稱為 的共軛矩陣的共軛矩陣. ijaA ijaija ijaA AA故故 ijAAA ijA .EA 同理可得同理可得1nkikjkA AA a ijA ijA .EA 上頁上頁下頁下頁返回返回27 ;2AA .3BAAB 運算性質運算性質 ;1BABA

15、 （設（設 為復矩陣，為復矩陣， 為復數(shù)為復數(shù),且運算都是可行的）且運算都是可行的）:BA, 上頁上頁下頁下頁返回返回28七七矩陣的應用矩陣的應用nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb對于線性方程組11112211211222221122引進矩陣記號，令nnmmmnnmaaaxbaaaxbaaaxbAxb，1112111212222212上頁上頁下頁下頁返回返回29方程組可以表示為矩陣形式方程組可以表示為矩陣形式Ax = bjjaA設表示矩陣 的第 個向量，即, ,jjjmjaajnaa121 2上述方程組又可以表示為向量形式nnxxxaaab1122上頁上

16、頁下頁下頁返回返回30nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xa xya xaxa x11111221221122221122yAx的矩陣形式是 ()ijm nnmxyxyaxyAxy其中， 1122,nmx xxy yy變量到變量的線性變換1212上頁上頁下頁下頁返回返回31,t tx x x變量到的線性變換為12123xb tb txb tb txb tb t111 112 2221 122 2331 132 2x = Bt用矩陣表示為：.bbxtbbxtbbxBxt這里，11121121222231323,x x xy y變量到的線性變換12312上頁上頁下頁下頁返回返回3

17、2ya xa xa xya xa xa x11111221332211222233y = Ax用矩陣表示：.xaaayxaaayxAyx這里，111121312212223231212,()t ty yy = AB t變量到得線性變換為：()().()()ya ba ba bta ba ba btya ba ba bta ba ba bt111 1112 2113 31111 1212 2213 322221 1122 2123 31121 1222 2223 322上頁上頁下頁下頁返回返回33矩陣運算矩陣運算 加法加法數(shù)與矩陣相乘數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉置矩陣轉置矩陣 （對稱矩陣）（對稱矩陣）方陣的行列式方陣的行列式 （伴隨矩陣）（伴隨矩陣）共軛矩陣共軛矩陣上頁上頁下頁下頁返回返回34（2）只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個）只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘矩陣的行數(shù)時，兩