高中數(shù)學復習學(教)案(第42講)圓的方程

1、題目 第七章直線和圓的方程圓的方程高考要求 1掌握圓的標準方程和一般方程 2了解參數(shù)方程的概念 理解圓的參數(shù)方程 3掌握圓的方程的兩種形式并會根據(jù)具體情況選擇其中的一種解題;4掌握圓系方程并會運用它解決有關問題;5靈活運用圓的幾何性質(zhì)解決問題知識點歸納1圓的定義平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合(軌跡)叫圓2圓的標準方程圓心為（a，b），半徑為r的圓的標準方程為方程中有三個參量a、b、r，因此三個獨立條件可以確定一個圓3圓的一般方程二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（*）配方得（x+）2+（y+）2=把方程其中，半徑是，圓心坐標是叫做圓的一般方程（1）圓的一般方程體現(xiàn)了圓方程的代數(shù)特點：x

2、2、y2項系數(shù)相等且不為零 沒有xy項（2）當D2+E24F=0時，方程（*）表示點（，）；當D2+E24F0時，方程（*）不表示任何圖形（3）根據(jù)條件列出關于D、E、F的三元一次方程組，可確定圓的一般方程4圓的參數(shù)方程圓心在O（0，0），半徑為r的圓的參數(shù)方程是：圓心在點，半徑為的圓的參數(shù)方程是：在中消去得x2+y2=r2，在中消去得（xa）2+（yb）2=r2，把這兩個方程相對于它們各自的參數(shù)方程又叫做普通方程5二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件若二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓，則有A=C0，B=0，這僅是二元二次方程表示圓

3、的必要條件，不充分在A=C0，B=0時，二元二次方程化為x2+y2+x+y+=0，僅當D2+E24AF0時表示圓故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是：A=C0，B=0，D2+E24AF06 線段AB為直徑的圓的方程： 若，則以線段AB為直徑的圓的方程是7經(jīng)過兩個圓交點的圓系方程：經(jīng)過，的交點的圓系方程是：在過兩圓公共點的圖象方程中，若=1，可得兩圓公共弦所在的直線方程 8 經(jīng)過直線與圓交點的圓系方程： 經(jīng)過直線與圓的交點的圓系方程是：9確定圓需三個獨立的條件（1）標準方程： ， （2）一般方程：，（ 題型講解 例1 (1)求經(jīng)過點A(5,2),B(3,2),圓心在直線

4、2xy3=0上的圓的方程;(2)求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)為頂點的三角形OAB外接圓的方程解：(1)設圓心P(x0,y0),則有,解得 x0=4, y0=5, 半徑r=, 所求圓的方程為(x4)2+(y5)2=10(2)采用一般式,設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,將三個已知點的坐標代入列方程組解得：D=2, E=4, F=0點評：第(1),(2)兩小題根據(jù)情況選擇了不同形式例2 設A（c，0）、B（c，0）（c>0）為兩定點，動點P到A點的距離與到B點的距離的比為定值a（a>0），求P點的軌跡分析：給曲線建立方程是解析幾何的兩個主要問題之一，其基本方法

5、就是把幾何條件代數(shù)化；主要問題之二是根據(jù)方程研究曲線的形狀、性質(zhì)，即用代數(shù)的方法研究幾何問題解：設動點P的坐標為（x，y），由=a（a>0）得=a，化簡，得（1a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1a2）+（1a2）y2=0當a=1時，方程化為x=0當a1時，方程化為 =所以當a=1時，點P的軌跡為y軸；當a1時，點P的軌跡是以點（c，0）為圓心，|為半徑的圓點評：本題主要考查直線、圓、曲線和方程等基本知識，考查運用解析幾何的方法解決問題的能力，對代數(shù)式的運算化簡能力有較高要求同時也考查了分類討論這一數(shù)學思想例3 一圓與y軸相切，圓心在直線x3y=0上，且直線y=x截圓所得弦長為2，求

6、此圓的方程分析： 利用圓的性質(zhì)：半弦、半徑和弦心距構成的直角三角形解：因圓與y軸相切，且圓心在直線x3y=0上，故設圓方程為又因為直線y=x截圓得弦長為2，則有+=9b2，解得b=±1故所求圓方程為或點評：在解決求圓的方程這類問題時，應當注意以下幾點：（1）確定圓方程首先明確是標準方程還是一般方程；（2）根據(jù)幾何關系（如本例的相切、弦長等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）待定系數(shù)法的應用，解答中要盡量減少未知量的個數(shù)例4 已知O的半徑為3，直線l與O相切，一動圓與l相切，并與O相交的公共弦恰為O的直徑，求動圓圓心的軌跡方程分析：問題中的幾何性質(zhì)十分突出，切線、直徑、垂直、圓

7、心，如何利用這些幾何性質(zhì)呢？解：取過O點且與l平行的直線為x軸，過O點且垂直于l的直線為y軸，建立直角坐標系設動圓圓心為M（x，y），O與M的公共弦為AB，M與l切于點C，則|MA|=|MC|AB為O的直徑，MO垂直平分AB于O由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=|y+3|，=|y+3|化簡得x2=6y，這就是動圓圓心的軌跡方程點評：求軌跡的步驟是“建系，設點，找關系式，除瑕點”例5 已知y軸右側一動圓與一定圓外切，也與y軸相切 （1）求動圓圓心M的軌跡C； （2）過點T（2，0）作直線l與軌跡C交于A、B兩點，求一點，使得 是以點E為直角頂點的等腰直角

8、三角形解（1）由題意知動點M到定點（2,0）與到定直線的距離相等，則動點M的軌跡是以定點（2,0）為焦點，定直線為準線的拋物線所以點M的軌跡方程為又點M在原點時，圓并不存在，所以，動點M的軌跡C是以（0，0）為頂點，以（2，0）為焦點的拋物線，除去原點（2）設直線 設的兩個實數(shù)根，由韋達定理得，所以，線段AB的中點坐標為而軸上存在一點E，使AEB為以點E為直角頂點的等腰直角三角形，且 直線EF的方程為：令得E點坐標為，則 所以 解之得 ，則E點坐標為（10,0）例6 已知圓C的圓心在直線xy4=0上,并且通過兩圓C1:x2+y24x3=0和C2:x2+y24y3=0的交點,(1)求圓C的方程;

9、 (2)求兩圓C1和C2相交弦的方程解：(1)因為所求的圓過兩已知圓的交點,故設此圓的方程為：x2+y24x3+(x2+y24y3)=0,即 (1+)(x2+y2)4x4y33=0,即 =0,圓心為 (,),由于圓心在直線xy4=0上,4=0, 解得 =1/3所求圓的方程為：x2+y26x+2y3=0(2)將圓C1和圓C2的方程相減得：x+y=0,此即相交弦的方程點評：學會利用圓系的方程解題例7 求過直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x4y+1=0的交點,且面積最小的圓的方程解法一：因為通過兩個交點的動圓中，面積最小的是以此二交點為直徑端點的圓，于是解方程組得交點A(11/5,2/5),

10、B(3,2),利用圓的直徑式方程得:(x+11/5)(x+3) +(y2/5)(y2)=0,化簡整理得 (x+13/5)2+(y6/5)2=4/5解法二: (運用曲線系方程)設過直線與用圓的交點的圓的方程為x2+y2+2x4y+1+(2x+y+4)=0, 即 (x+1)2+(y+)2=要使圓面積最小，必須半徑最小，由于r=³=,當且僅當=8/5時，r最小 故所求圓的方程是 (x+13/5)2+(y6/5)2=4/5例8 求圓關于直線的對稱圓方程解：圓方程可化為, 圓心O(-2,6),半徑為1設對稱圓圓心為，則O與O關于直線對稱，因此有解得所求圓的方程為點評：圓的對稱問題可以轉(zhuǎn)化為點(

11、圓心)的對稱問題，由對稱性質(zhì)知對稱圓半徑相等例9 設方程，若該方程表示一個圓，求m的取值范圍及這時圓心的軌跡方程解：配方得： 該方程表示圓，則有，得，此時圓心的軌跡方程為 ，消去m，得，由得x=m+3所求的軌跡方程是，點評：方程表示圓的充要條件，求軌跡方程時，一定要討論變量的取值范圍，如題中例10 已知圓x2+y2=16,A（2，0），若P,Q是圓上的動點，且，求PQ中點的軌跡方程解：設PQ中點M的坐標為（x,y），由已知圓的參數(shù)方程，可設，-（1）又，化簡得代入（1）式，得 ，所以所求軌跡方程為小結：1不論圓的標準方程還是一般方程，都有三個字母（a、b、r或D、E、F）的值需要確定，因此需要

12、三個獨立的條件利用待定系數(shù)法得到關于a、b、r（或D、E、F）的三個方程組成的方程組，解之得到待定字母系數(shù)的值2求圓的方程的一般步驟：（1）選用圓的方程兩種形式中的一種（若知圓上三個點的坐標，通常選用一般方程；若給出圓心的特殊位置或圓心與兩坐標間的關系，通常選用標準方程）；（2）根據(jù)所給條件，列出關于D、E、F或a、b、r的方程組；（3）解方程組，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它們代入所設的方程中，得到所求圓的方程3解析幾何中與圓有關的問題，應充分運用圓的幾何性質(zhì)幫助解題學生練習 1方程x2+y22（t+3）x+2（14t2）y+16t4+9=0（tR）表示圓方程，則t的取值范圍是A1&

13、lt;t< B1<t< C<t<1 D1<t<2解：由D2+E24F>0，得7t26t1<0，即<t<1答案：C2點P（5a+1，12a）在圓（x1）2+y2=1的內(nèi)部，則a的取值范圍是Aa1 Ba Ca Da解：點P在圓（x1）2+y2=1內(nèi)部（5a+11）2+（12a）21a答案：D3已知圓的方程為（xa）2+（yb）2=r2（r>0），下列結論錯誤的是A當a2+b2=r2時，圓必過原點 B當a=r時，圓與y軸相切C當b=r時，圓與x軸相切 D當b<r時，圓與x軸相交解：已知圓的圓心坐標為（a，b），半徑為r，當

14、b<r時，圓心到x軸的距離為|b|，只有當|b|<r時，才有圓與x軸相交，而b<r不能保證|b|<r，故D是錯誤的故選D答案：D4圓的圓心和半徑分別是（ ）A (2,-1), B (2,-1), 5 C (-2,1), D (-2,1), 5答案: A5點（1，1）在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（ ）A , B , C 或 D 答案: A6已知直線ax+by+c=0 ()與圓x2+y2=1相切,則三條邊長分別為的三角形（ ）A 是銳角三角形 B 是直角三角形 C 是鈍角三角形 D 不存在答案: B7與y2的系數(shù)相同,且不等于零,并且沒有xy這樣的項是二元二次方程表示圓的（

15、 ）A 必要條件 B充分條件 C充分且必要條件 D既不充分也不必要條件答案: A8方程表示一個圓，則m的取值范圍是（ ）A B C D 答案: C9已知圓心為點（2，-3），一條直徑的兩個端點恰好落在兩個坐標軸上，則這個圓的方程是（ ）A B C D 答案: D10圓的圓心在x軸上，半徑r=2， 且D>E，則D=（ ）A B C 1 D 2答案: D11M（3，0）是圓內(nèi)一點，過M點最長的弦所在的直線方程是（ ）A B C D 答案: B12過點C(-1，1)和D（1，3），圓心在x軸上的圓的方程是_答案: （x-2）2+y2=1013方程表示的曲線是_答案：兩個半圓14已知圓C的圓心在

16、直線上，與直線相切，且截直線所得弦長為6，則圓C的方程：_（答案：）15過點A（1，2）和B（1，10）且和直線相切的圓方程為_答案: （x-3）2+（y-6）2=80或（x+7）2+（y-6）2=8016圓 上到直線的距離等于1的點有_個答案: 217已知BC是圓的弦，且，則BC的中點的軌跡方程是_答案: x2+y2=1618圓關于點（1，1）的對稱圓方程是_答案: （x-4）2+（y+4）2=40-3q19圓關于y軸對稱的圓的方程是_答案: 20將圓x2+y2=1按向量平移得到圓（x+1）2+（y2）2=1，則的坐標為_解：由向量平移公式即得=（1，2）答案：（1，2）21已知P（1，2）為圓x2+y2=9內(nèi)一定點，過P作兩條互相垂直的任意弦交圓于點B、C，則BC中點M的軌跡方程為_解：RtOMC中，|MP|=|BC|（直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半）故所求軌跡方程為x2+y2x2y2=0答案：x2+y2x2y2=022已知直線與x軸和y軸分別