（精心整理）初中尺規(guī)作圖詳細(xì)講解(含圖)

1、初中數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖講解初等平面幾何研究的對象，僅限于直線、圓以及由它們（或一部分）所組成的圖形，因此作圖的工具，習(xí)慣上使用沒有刻度的直尺和圓規(guī)兩種.限用直尺和圓規(guī)來完成的作圖方法，叫做尺規(guī)作圖法.最簡單的尺規(guī)作圖有如下三條： 經(jīng)過兩已知點可以畫一條直線； 已知圓心和半徑可以作一圓； 兩已知直線；一已知直線和一已知圓；或兩已知圓，如果相交，可以求出交點；以上三條，叫做作圖公法.用直尺可以畫出第一條公法所說的直線；用圓規(guī)可以作出第二條公法所說的圓；用直尺和圓規(guī)可以求得第三條公法所說的交點.一個作圖題，不管多么復(fù)雜，如果能反復(fù)應(yīng)用上述三條作圖公法，經(jīng)過有限的次數(shù)，作出適合條件的圖形，這樣的作圖題就叫做

2、尺規(guī)作圖可能問題；否則，就稱為尺規(guī)作圖不能問題.歷史上，最著名的尺規(guī)作圖不能問題是： 三等分角問題：三等分一個任意角； 倍立方問題：作一個立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍； 化圓為方問題：作一個正方形，使它的面積等于已知圓的面積.這三個問題后被稱為“幾何作圖三大問題”.直至1837年，萬芝爾（Pierre Laurent Wantzel）首先證明三等分角問題和立方倍積問題屬尺規(guī)作圖不能問題；1882年，德國數(shù)學(xué)家林德曼（Ferdinand Lindemann）證明是一個超越數(shù)（即是一個不滿足任何整系數(shù)代數(shù)方程的實數(shù)），由此即可推得根號(即當(dāng)圓半徑時所求正方形的邊長）不可能用尺規(guī)作出，

3、從而也就證明了化圓為方問題是一個尺規(guī)作圖不能問題.若干著名的尺規(guī)作圖已知是不可能的，而當(dāng)中很多不可能證明是利用了由19世紀(jì)出現(xiàn)的伽羅華理論.盡管如此，仍有很多業(yè)余愛好者嘗試這些不可能的題目，當(dāng)中以化圓為方及三等分任意角最受注意.數(shù)學(xué)家Underwood Dudley曾把一些宣告解決了這些不可能問題的錯誤作法結(jié)集成書.還有另外兩個著名問題： 正多邊形作法 ·只使用直尺和圓規(guī)，作正五邊形. ·只使用直尺和圓規(guī)，作正六邊形. ·只使用直尺和圓規(guī)，作正七邊形這個看上去非常簡單的題目，曾經(jīng)使許多著名數(shù)學(xué)家都束手無策，因為正七邊形是不能由尺規(guī)作出的.·只使用直尺和圓

4、規(guī)，作正九邊形，此圖也不能作出來，因為單用直尺和圓規(guī)，是不足以把一個角分成三等份的. ·問題的解決：高斯，大學(xué)二年級時得出正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并給出了可用尺規(guī)作圖的正多邊形的條件：尺規(guī)作圖正多邊形的邊數(shù)目必須是2的非負(fù)整數(shù)次方和不同的費馬素數(shù)的積，解決了兩千年來懸而未決的難題. 四等分圓周只準(zhǔn)許使用圓規(guī)，將一個已知圓心的圓周4等分這個問題傳言是拿破侖·波拿巴出的，向全法國數(shù)學(xué)家的挑戰(zhàn).尺規(guī)作圖的相關(guān)延伸：用生銹圓規(guī)(即半徑固定的圓規(guī))作圖1.只用直尺及生銹圓規(guī)作正五邊形 2.生銹圓規(guī)作圖，已知兩點、，找出一點使得.3.已知兩點、，只用半徑固定的圓規(guī)，求作使是線段的中點.

5、4.尺規(guī)作圖，是古希臘人按“盡可能簡單”這個思想出發(fā)的，能更簡潔的表達(dá)嗎？順著這思路就有了更簡潔的表達(dá).10世紀(jì)時，有數(shù)學(xué)家提出用直尺和半徑固定的圓規(guī)作圖. 1672年，有人證明：如果把“作直線”解釋為“作出直線上的2點”，那么凡是尺規(guī)能作的，單用圓規(guī)也能作出！從已知點作出新點的幾種情況：兩弧交點、直線與弧交點、兩直線交點 ，在已有一個圓的情況下，那么凡是尺規(guī)能作的，單用直尺也能作出！.五種基本作圖：初中數(shù)學(xué)的五種基本尺規(guī)作圖為：1.做一線段等于已知線段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分線 4.過一點做一已知線段的垂線5.做一線段的中垂線下面介紹幾種常見的尺規(guī)作圖方法： 軌跡交點法：解作圖

6、題的一種常見方法.解作圖題常歸結(jié)到確定某一個點的位置.如果這兩個點的位置是由兩個條件確定的，先放棄其中一個條件，那么這個點的位置就不確定而形成一個軌跡；若改變放棄另一個條件，這個點就在另一條軌跡上，故此點便是兩個軌跡的交點.這個利用軌跡的交點來解作圖題的方法稱為軌跡交點法，或稱交軌法、軌跡交截法、軌跡法.【例1】 電信部門要修建一座電視信號發(fā)射塔，如下圖，按照設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)、的距離必須相等，到兩條高速公路、的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？【分析】 這是一道實際應(yīng)用題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，根據(jù)題意知道，點應(yīng)滿足兩個條件，一是在線段的垂直平分線上；二是在兩條公路夾角的平分線

7、上，所以點應(yīng)是它們的交點.【解析】 作兩條公路夾角的平分線或； 作線段的垂直平分線；則射線，與直線的交點，就是發(fā)射塔的位置.【例2】 在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)是，是坐標(biāo)原點，在直線上求一點，使是等腰三角形，這樣的點有幾個？【解析】 首先要清楚點需滿足兩個條件，一是點在上；二是必須是等腰三角形.其次，尋找點要分情況討論，也就是當(dāng)時，以點為圓心，為半徑畫圓，與直線有兩個點、；當(dāng)時，以點為圓心，為半徑畫圓，與直線無交點；當(dāng)時，作的垂直平分線，與直線有一交點，所以總計這樣的點有3個.【例3】 設(shè)與相離，半徑分別為與，求作半徑為的圓，使其與及外切.【分析】 設(shè)是符合條件的圓，即其半徑為，并與及外切，

8、顯然，點是由兩個軌跡確定的，即點既在以為圓心以為半徑的圓上，又在以為圓心以為半徑的圓上，因此所求圓的圓心的位置可確定.若與相距為，當(dāng)時，該題無解，當(dāng)有唯一解；當(dāng)時，有兩解.【解析】 以當(dāng)與相距為，時為例： 作線段，. 分別以，為圓心，以，為半徑作圓，兩圓交于兩點. 連接，分別交以為半徑的于、兩點. 分別以為圓心，以為半徑作圓.即為所求.【思考】若將例3改為：“設(shè)與相離，半徑分別為與，求作半徑為的圓，使其與 內(nèi)切，與外切.”又該怎么作圖？ 代數(shù)作圖法：解作圖題時，往往首先歸納為求出某一線段長，而這線段長的表達(dá)式能用代數(shù)方法求出，然后根據(jù)線段長的表達(dá)式設(shè)計作圖步驟.用這種方法作圖稱為代數(shù)作圖法.【

9、例4】 只用圓規(guī)，不許用直尺，四等分圓周（已知圓心）.【分析】 設(shè)半徑為.可算出其內(nèi)接正方形邊長為，也就是說用這個長度去等分圓周.我們的任務(wù)就是做出這個長度.六等分圓周時會出現(xiàn)一個的長度.設(shè)法構(gòu)造斜邊為，一直角邊為的直角三角形，的長度自然就出來了.【解析】 具體做法： 隨便畫一個圓.設(shè)半徑為1. 先六等分圓周.這時隔了一個等分點的兩個等分點距離為. 以這個距離為半徑，分別以兩個相對的等分點為圓心，同向作弧，交于一點.（“兩個相對的等分點”其實就是直徑的兩端點啦！兩弧交點與“兩個相對的等分點”形成的是一個底為2，腰為的等腰三角形.可算出頂點距圓心距離就是.） 以的長度等分圓周就可以啦！【例5】

10、求作一正方形，使其面積等于已知的面積.【分析】 設(shè)的底邊長為，高為，關(guān)鍵是在于求出正方形的邊長，使得，所以是與的比例中項.【解析】 已知：在中，底邊長為，這個底邊上的高為，求作：正方形，使得：作法： 作線段； 在的延長線上取一點，使得； 取中點，以為圓心，為半徑作； 過作，交于， 以為一邊作正方形.正方形即為所求.【例6】 在已知直線上求作一點，使得過作已知半徑為的的切線，其切線長為.【分析】 先利用代數(shù)方法求出點與圓心的距離，再以為圓心，為半徑作圓，此圓與直線的交點即為所求.【解析】 作，使得：，. 以為圓心，為半徑作圓.若此圓與直線相交，此時有兩個交點，.，即為所求.若此圓與直線相切，此時

11、只有一個交點.即為所求.若此圓與直線相離，此時無交點.即不存在這樣的點使得過作已知半徑為的的切線，其切線長為. 旋轉(zhuǎn)法作圖：有些作圖題，需要將某些幾何元素或圖形繞某一定點旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度，以使已知圖形與所求圖形發(fā)生聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)作圖途徑.【例7】 已知：直線、，且.求作：正，使得、三點分別在直線、上.【分析】 假設(shè)是正三角形，且頂點、三點分別在直線、上.作于，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，置于的位置，此時點的位置可以確定.從而點也可以確定.再作，點又可以確定，故符合條件的正三角形可以作出.【解析】 作法： 在直線上取一點，過作于點； 以為一邊作正三角形； 過作，交直線于； 以為圓心，為半徑作弧，交于(使與在

12、異側(cè)). 連接、得.即為所求.【例8】 已知：如圖，為角平分線上一點.求作：，使得，且在上，在上.【解析】 過作于. 過作直線; 在直線上取一點，使得(或)； 過(或)作（或），交于(或)點； 連接(或)，過作(或)交于（或）點.連接(或).則(或)即為所求. 位似法作圖：利用位似變換作圖，要作出滿足某些條件的圖形，可以先放棄一兩個條件，作出與其位似的圖形，然后利用位似變換，將這個與其位似得圖形放大或縮小，以滿足全部條件，從而作出滿足全部的條件.【例9】 已知：一銳角.求作:一正方形，使得、在邊上，在邊上，在邊上.【分析】 先放棄一個頂點在邊上的條件，作出與正方形位似的正方形，然后利用位似變換

13、將正方形放大（或縮?。┑玫綕M足全部條件的正方形.【解析】 作法： 在邊上任取一點，過作于 以為一邊作正方形，且使在的延長線上. 作直線交于. 過分別作交于；作交于. 過作交于.則四邊形即為所求. 面積割補(bǔ)法作圖：對于等積變形的作圖題，通常在給定圖形或某一確定圖形上割下一個三角形，再借助平行線補(bǔ)上一個等底等高的另一個三角形，使面積不變，從而完成所作圖形.【例10】 如圖，過的底邊上一定點，求作一直線，使其平分的面積.【分析】 因為中線平分的面積，所以首先作中線，假設(shè)平分的面積，在中先割去，再補(bǔ)上.只要，則和就同底等高，此時它們的面積就相等了.所以就平分了的面積.【解析】 作法： 取中點，連接;

14、過作交于； 過、作直線.直線即為所求.【例11】 如圖：五邊形可以看成是由一個直角梯形和一個矩形構(gòu)成. 請你作一條直線，使直線平分五邊形的面積； 這樣的直線有多少條？請你用語言描述出這樣的直線.【解析】 取梯形的中位線的中點，再取矩形對角線的交點，則經(jīng)過點，的直線即為所求； 這樣的直線有無數(shù)條.設(shè)中的直線交于，交于，過線段中點，且與線段、均有交點的直線均可平分五邊形的面積.【例12】 (江蘇連云港)如圖，點將線段分成兩部分，如果，那么稱點為線段的黃金分割點某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線 研究小組猜想：在中，若點為邊上的黃金分割點(如圖)，則直線是的黃金分割線你認(rèn)為對嗎？為什么？ 請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？ 研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點任作一條直線交于點，再過點作直線，交于點，連接(如圖)，則直線也是的黃金分割線請你說明理由 如圖，點是的邊的黃金分割點，過點作，交于點，顯然直線是的黃金分割線請你畫一條的黃金分割線，使它不經(jīng)過各邊黃金分割點ACB圖1ADB圖2CADB圖3CFEFCBDEA圖4 【解析】 直線是的黃金分割線理由如