特殊三角形與特殊角三角形在幾何題型中的應(yīng)用

1、特殊三角形與特殊角三角特殊三角形與特殊角三角形在幾何題型中的應(yīng)用形在幾何題型中的應(yīng)用特殊三角形特殊三角形 等腰三角形 等邊三角形 一般的直角三角形 等腰直角三角形 有30角的直角三角形 頂角為120的等腰三角形特殊角特殊角 30 150 45 135 60 120特殊角三角形特殊角三角形可分兩類：1、只有一個特殊角的三角形2、有兩個特殊角的三角形注：此處不包括特殊三角形1、只有一個特殊角的三角形1、只有一個特殊角的三角形1、只有一個特殊角的三角形 一個特殊角需要兩條已知邊 輔助線：高（特殊角其中一條邊上的高） 變成兩個直角三角形，其中一個是有特殊角的直角三角形2、有兩個特殊角的三角形2、有兩個

2、特殊角的三角形2.有兩個特殊角的三角形 兩個特殊角需要一條已知邊 輔助線：高（兩特殊角公共邊上的高） 變成兩個直角三角形，且兩個都是有特殊角的直角三角形干嘛使？-求值！求哪些值？ 求邊 求角 求面積 等等等.例例1 1、(2014年海淀區(qū)一模)如圖，在ABC中，ACB=90，ABC=30，BC=4，以AC為邊在ABC的外部作等邊ACD，連接BD（1）求四邊形ABCD的面積；（2）求BD的長點(diǎn)評：第1問求兩個特殊三角形的面積和 第2問找出BD所在的三角形，然 后過濾特殊三角形與特殊角三角形， 就能發(fā)現(xiàn)如ADB就是一個有120 角，且有邊AD，AB已知的特殊角 三角形，問題迎刃而解！例例2 2、（

3、2012年北京中考）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)E，BAC=90，CED=45，DCE=30，DE= ，BE= 求CD的長和四邊形ABCD的面積點(diǎn)評：找特殊三角形和特殊角三角形， 發(fā)現(xiàn)ABE為等腰三角形， ABC為一般的直角三角形，而 DEC則有兩個特殊角，且有DE 這條邊已知，問題即可迅速解決。222例例3 3、(2015年海淀一模)如圖，在ABCD中，BAD的平分線交CD于點(diǎn)E，交BC的延長線于點(diǎn)F，連接BE，F(xiàn)= 45 (1)求證：四邊形ABCD是矩形； (2)若AB =14，DE =8，求sin AEB的值點(diǎn)評：第1問此處略去100字， 第2問，只需找出ABE這 個

4、特殊角三角形就可解決例例4 4、如圖，在 ABCD中，AE平分BAD，交BC于點(diǎn)E，BF平分ABC，交AD于點(diǎn)F，AE與BF交于點(diǎn)P，連接EF，PD（1）求證：四邊形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，ABC=60，求tanADP的值點(diǎn)評：第1問真的懶得看哈， 第2問，發(fā)現(xiàn)APD為特殊 角三角形有木有？綜合練習(xí)、綜合練習(xí)、如圖1，已知DAC=90，ABC是等邊三角形，點(diǎn)P為射線AD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），連結(jié)CP，將線段CP繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60得到線段CQ，連結(jié)QB并延長交直線AD于點(diǎn)E.（1）如圖1，證明：BQ=AP；（2）如圖2，3，若當(dāng)DAC是銳角或鈍角時，其它條件不變，

5、第（1）問的結(jié)論是否任然成立，若不成立請說明理由；（3）如圖3，若DAC=135，ACP=15，且AC=4，求BQ的長 圖1 圖2 圖3 例例5 5、(2014年朝陽區(qū)一模)如圖，ABC中，BC AC，點(diǎn)D在BC上，且CA=CD，ACB的平分線交AD于點(diǎn)F，E是AB的中點(diǎn)（1）求證：EFBD ；（2）若ACB=60，AC=8，BC=12，求四邊形BDFE的面積 點(diǎn)評：此題中非常簡單， 大家瞧一眼就會吧。例例6 6、在正方形ABCD中，直線EF平行于對角線AC，與邊AB、BC的交點(diǎn)為E、F，在DA的延長線上取一點(diǎn)G，使AG=AD，若EG與DF的交點(diǎn)為H，求證：AH與正方形的邊長相等。 點(diǎn)評：直角

6、三角形斜邊上的中線 等于斜邊的一半例例7 7、（2014順義區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，B=D=90，C=60，BC=4，CD=3，求AB的長點(diǎn)評：發(fā)現(xiàn)圖形是一個30角的直角三角形，補(bǔ)全這個直角三角形 就可解決問題例例8 8、已知：如圖，為等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3,PB=4,PC=5，求APB的度數(shù)。點(diǎn)評：根據(jù)已知條件的三條邊的關(guān)系 想著去構(gòu)造直角三角形，此處 運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的思想構(gòu)造特殊三角形例例9 9、如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若PA:PB:PC=1:2:3，求APB的度數(shù)。點(diǎn)評：思路跟前面一題思路一樣，只是 等邊三角形旋轉(zhuǎn)構(gòu)造特殊三角形 旋轉(zhuǎn)60，等腰直角三角形或正方 形則旋轉(zhuǎn)

7、90。例例1010、如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，ABC是等邊三角形ADC=30，AD = 3，BD = 5，求CD的長。點(diǎn)評：此題通過觀察特別像手拉手模型 因此想辦法補(bǔ)全模型，因為ADC=30， 結(jié)果還能發(fā)現(xiàn)ADDE，從而構(gòu)造出了 直角三角形，而根據(jù)手拉手 模型求BD等價于求AE。例例1111、如圖，三角形ABC，BAC=30，AP=3，在AB,AC邊上分別取D,E兩點(diǎn)，連接PD,DE,PE，求PDE周長的最小值點(diǎn)評：最短距離問題，運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短 BAC=30，對稱之后自然就是等邊了例例1212、如圖：在ABC中，C=900，CAD=300,AC=BC=AD,求CBD的度數(shù)。點(diǎn)評：又是30，對稱翻折就能出等邊了， 因此如圖所示將ABD翻折到ABD， 證下AAD ACD就好了。例例1313、如圖：在ABC中，AD是邊BC上的高，BD=2，DC=3，BAC=45，求AD的長，以及ABC的面積。點(diǎn)評：45，翻折就成90了，因此 可如此翻折構(gòu)造特殊三角形， 在直角三角形BPC中運(yùn)用勾股 定理解決問題