高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設計案例函數(shù)的概念

1、6函數(shù)的概念教材分析與傳統(tǒng)課程內(nèi)容相比，這節(jié)內(nèi)容的最大變化就是函數(shù)概念的處理方式事實上，“先講映射后講函數(shù)”比“先講函數(shù)后講映射”，有利于學生更好地理解函數(shù)概念的本質(zhì)第一，在初中函數(shù)學習基礎上繼續(xù)深入學習函數(shù)，銜接自然，利于學生在原有認知基礎上提升對函數(shù)概念的理解；第二，直接進入函數(shù)概念的學習更有利于學生將注意力放在理解函數(shù)概念的學習上，而不必花大量精力學習映射，使其認識映射與函數(shù)的關(guān)系后才能理解函數(shù)的概念函數(shù)概念是中學數(shù)學中最重要的概念之一函數(shù)概念、思想貫穿于整個中學教材之中通過實例，引導學生通過自己的觀察、分析、歸納和概括，獲得用集合與對應語言刻畫的函數(shù)概念對函數(shù)概念本質(zhì)的理解，首先應通過

2、與初中定義的比較、與其他知識的聯(lián)系以及不斷地應用等，初步理解用集合與對應語言刻畫的函數(shù)概念其次在后續(xù)的學習中通過基本初等函數(shù)，引導學生以具體函數(shù)為依托、反復地、螺旋式上升地理解函數(shù)的本質(zhì)教學重點是函數(shù)的概念，難點是對函數(shù)概念的本質(zhì)的理解教學目標1. 通過豐富實例，進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學模型在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數(shù)，體會對應關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用2. 了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域3. 了解映射的概念任務分析學生在初中對函數(shù)概念有了初步的認識這節(jié)課的任務是在學生原認知水平的基礎上，用集合與對應的觀點認識函數(shù)，了解構(gòu)成函數(shù)定義的三

3、要素，認識映射與函數(shù)是一般與特殊的關(guān)系教學設計一、問題情景1 .一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過60s落到地面擊中目標炮彈的射高為4410m，且炮彈距地面的高度h隨時間t的變化規(guī)律是h=294t4.9t2,(0WtW600WhW441)0.2 .近幾十年來，大氣層中的臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧層空洞問題.下圖中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從1979年到2001年的變化情況.3 .國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個國家人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高.下表中恩格爾系數(shù)隨時間（年）變化的情況表明，八五”計劃以來，我國城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化.表6-1八五”計劃以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾

4、系數(shù)變化情況時間（年）19911992199319941995199619971998199920002001恩格爾系數(shù)（）53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9問題：分析以上三個實例，對任一個給定的t,射高h、臭氧層空洞面積S、恩格爾系數(shù)是否有值與之對應？若有，有幾個？二、建立模型1 .在學生充分分析和討論的基礎上，總結(jié)歸納以上三個實例的共同特點在三個實例中，變量之間的關(guān)系都可以描述成兩個集合間的一種對應關(guān)系：對于數(shù)集A中的任一個x,按照某個對應關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的值與之對應.2 .教師明晰通過學生的討論歸納出函數(shù)的定義：設A,B是

5、非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關(guān)系f,使對于集合A中的任一個x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）與它對應，那么就稱f:A-B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：y=f（x）,xCA.其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域，與x的值相對應的y叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合：y|y=f(x),xCA叫作函數(shù)的值域注意：(1)從函數(shù)的定義可以看出：函數(shù)由定義域、對應法則、值域三部分組成，它們稱為函數(shù)定義的三要素.其中，y=f(x)的意義是：對任一xCA,按照對應法則f有唯一y與之對應(2)在函數(shù)定義的三個要素中，核心是定義域和對應法則，因此，只有當函數(shù)的對應關(guān)系和定義域相同時，我們才認為

6、這兩個函數(shù)相同與 g (x)=思考：函數(shù)f(x)=是同一函數(shù)嗎？三、解釋應用題1.指出下列函數(shù)的定義域、值域、對應法則各是什么？如何用集合與對應的觀點描述它們？(1)y=1,(xCR).(2)y=ax+b,(aw。(3)y=ax2+bx+c,(a0).(4)y=kx,(kwQ.解：(3)定義域：x|xCR,值域：y|y變量）+ c,即：f： x-ax2 + bx+c（ 1），（2），（4）略對應法則f:自變量-a（自變量）2 + b （自2. 已知：函數(shù)f（x）=1）求函數(shù)的定義域(2)求f(3)，f()的值(3)當a0時，求f(a),f(a1)的值.目的：深化對函數(shù)概念的理解3. 求下列函數(shù)

7、的值域(1) f(x)=2x.(2)f(x)=1x+x2,(xCR).(3) y=3-x,(xCN).( 3)解：(1)yIyw6.(2)y|y3,2,1,0,1,2,.4. (1)已知：f(x)=x2,求f(x1)(2)已知：f(x1)=x2,求f(x)目的：深化對函數(shù)符號的理解解：(1)f(x1)=(x-1)2.(2) f(x1)=x2=(x-1)+12=(x-1)2+2(x1)+1.，f(x)=x2+2x+1.練習1 .求下列函數(shù)的定義域2 .已知二次函數(shù)f（x）=x2+a的值域是12,+8）,求a的值.3 .函數(shù)f（x）=x,x表示不超過x的最大整數(shù)，求：（1）f（3.5），（2）f（3.5）四、拓展延伸在函數(shù)定義中，將數(shù)集推廣到任意集合時，就可以得到映射的概念集合A=a1，a2到集合B=b1，b2的映射有哪幾個？解：共有4個不同的映射思考：集合A=ai,32,a3至ijB=bi,b2,b3的映射有多少個？點評這篇案例設計完整，條理清楚案例從三個方面（實際是函數(shù)的三種表示方法，為后續(xù)內(nèi)容埋下伏筆）各舉一個具體事例，從中概括出函數(shù)的本質(zhì)特征，得出函數(shù)概念，體現(xiàn)了由具體到抽象的認知規(guī)律，有利于學生理解函數(shù)概念，更好地體現(xiàn)了數(shù)學從實踐中來例題、練習由淺