一元二次方程的解法(習題課)精編

1、例例1.選擇適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋哼x擇適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋簄 nn9)2(2x542 tt0) 52 ( 4) 32 ( 922mmn.解一元二次方程的方法有：解一元二次方程的方法有：n 因式分解法n 直接開平方法n 配方法n 公式法（方程一邊是（方程一邊是0，另一邊整式容易因式分解），另一邊整式容易因式分解）（ (ax+b)(ax+b)2 2=C C0=C C0 ）(化方程為一般式）化方程為一般式） （易湊成完全平方的易湊成完全平方的)（二次項系數(shù)為（二次項系數(shù)為1，而一次項系為偶數(shù)），而一次項系為偶數(shù)）因 開配公 5x2-3 x=0 3x2-2=0 x2-4x=6 (4) 2x2+7x-

2、7=0 2例例1：給下列方程選擇較簡便的方法：給下列方程選擇較簡便的方法（運用因式分解法）運用因式分解法）（運用直接開平方法）（運用直接開平方法）（運用配方法）運用配方法）（運用公式法）（運用公式法）1、填空：、填空： x x2 2-3x+1=0 -3x+1=0 3x 3x2 2-1=0 -1=0 -3t -3t2 2+t=0+t=0 x x2 2-4x=2 -4x=2 x x2 2 +9=6x +9=6x 5(m+2) 5(m+2)2 2=8=8 3y 3y2 2-y-1=0 -y-1=0 2x 2x2 2+4x-1=0+4x-1=0 適合運用直接開平方法適合運用直接開平方法_ 適合運用因式

3、分解法適合運用因式分解法_ 適合運用公式法適合運用公式法 _ 適合運用配方法適合運用配方法_ 規(guī)律：規(guī)律： 一般地，當一元二次方程一次項系數(shù)為一般地，當一元二次方程一次項系數(shù)為0時（時（ax2+c=0），），應(yīng)選用直接開平方法；若常數(shù)項為應(yīng)選用直接開平方法；若常數(shù)項為0（ ax2+bx=0），應(yīng)選用因式分解法；），應(yīng)選用因式分解法；若一次項系數(shù)和常數(shù)項都不為若一次項系數(shù)和常數(shù)項都不為0 (ax2+bx+c=0），先化為一般式，看，先化為一般式，看一邊的整式是否容易因式分解，若容易，宜選用因式分解法，不然選一邊的整式是否容易因式分解，若容易，宜選用因式分解法，不然選用公式法；不過當二次項系數(shù)是用

4、公式法；不過當二次項系數(shù)是1，且一次項系數(shù)是偶數(shù)時，用配方法，且一次項系數(shù)是偶數(shù)時，用配方法也較簡單。也較簡單。 公式法雖然是萬能的，對任何一元二次方程都適用，但不一定公式法雖然是萬能的，對任何一元二次方程都適用，但不一定是最簡單的，因此在解方程時我們首先考慮能否應(yīng)用是最簡單的，因此在解方程時我們首先考慮能否應(yīng)用“直接開平直接開平方法方法”、“因式分解法因式分解法”等簡單方法，若不行，再考慮公式法等簡單方法，若不行，再考慮公式法（適當也可考慮配方法）（適當也可考慮配方法）2、用適當方法解下列方程 -5x2-7x+6=0 x2+2x-9999=0 4(t+2)2=3 例2. 解方程 (x+1)(

5、x-1)=2x (x+1)(x-1)=2x (2m+3) (2m+3)2 2=2(4m+7)=2(4m+7) 2(x-2) 2(x-2)2 2+4(x-2)-3=0+4(x-2)-3=0總結(jié)總結(jié)：方程中有括號時，應(yīng)先用整體思想考慮有沒有簡單方法，若看不出合適的方法時，則把它去括號并整理為一般形式再選取合理的方法。選擇適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠踢x擇適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠? 0 04 42 2) )3 3( (x x2 2) )( (x x1 10 02 2) )x x( (x x2 2) )3 3( (x x9 90 03 3- -7 7x x2 2x x8 8 1 1x x2 22 22 2x x7

6、70 05 5- -4 4x xx x6 6 0 01 1x x- -x x5 56 6x x2 2x x4 4 1 1) )( (x x4 4x x3 30 02 25 53 3) )( (x x2 2 9 9x x3 3x x1 12 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2檢測反饋檢測反饋： (y+ )(y- )=2(2y-3) (3-t)2+t2=9 3t(t+2)=2(t+2) (x+101)2-10(x+101)+9=022小結(jié)小結(jié)：ax2+c=0 =ax2+bx=0 =ax2+bx+c=0 =因式分解法因式分解法公式法（配方法）公式法（配方法）公式法雖然是萬

7、能的，對任何一元二次方程都適用，但不一公式法雖然是萬能的，對任何一元二次方程都適用，但不一定定 是最簡單的，因此在解方程時我們首先考慮能否應(yīng)用是最簡單的，因此在解方程時我們首先考慮能否應(yīng)用“直接開平方法直接開平方法”、“因式分解法因式分解法”等簡單方法，若不行，等簡單方法，若不行，再考慮公式法（適當也可考慮配方法）再考慮公式法（適當也可考慮配方法）方程中有括號時，應(yīng)先用整體思想考慮有沒有簡單方法，若看方程中有括號時，應(yīng)先用整體思想考慮有沒有簡單方法，若看不出合適的方法時，則把它去括號并整理為一般形式再選取合不出合適的方法時，則把它去括號并整理為一般形式再選取合理的方法。理的方法。直接開平方法直

8、接開平方法因式分解法因式分解法結(jié)束寄語結(jié)束寄語n配方法和公式法是解一元二次方程重要配方法和公式法是解一元二次方程重要方法方法,要作為一種基本技能來掌握要作為一種基本技能來掌握.n一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實世界的有效一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型.運用開平方法的運用開平方法的條件條件是是: :對于缺少一次項的一元二次方對于缺少一次項的一元二次方程用直接開平方法來解比較簡便。程用直接開平方法來解比較簡便。例如：例如：9y2-1=0形如形如（1） ax2+c=0，（2）a(x-m)2=k例如：例如：3(x-2)2=12一變一變：先將方程變?yōu)橐话阈问?，寫出各系?shù)先將方程變?yōu)橐话阈问剑?/p>

9、寫出各系數(shù)a、b、c的值的值二求：二求：求出求出b2-4ac的值的值， 若若b2-4ac0則方程有實數(shù)根，則方程有實數(shù)根， 若若b2-4ac0則方程無實數(shù)根。則方程無實數(shù)根。三化三化：方程化為兩個一元一次方程：方程化為兩個一元一次方程四解四解：寫出方程兩個解：寫出方程兩個解注意注意: (1)當方程中各項系數(shù)為分數(shù)時，在整理方程過程中，當方程中各項系數(shù)為分數(shù)時，在整理方程過程中， 方程兩邊同乘以適當?shù)臄?shù)，化分數(shù)系數(shù)為整系數(shù)，這樣便于運算。方程兩邊同乘以適當?shù)臄?shù)，化分數(shù)系數(shù)為整系數(shù)，這樣便于運算。 （2）在計算）在計算b2-4ac時，將時，將b2-4ac化為含有某數(shù)平方的因式?；癁楹心硵?shù)平方的因

10、式。便于開方運算便于開方運算公式法解一元二次方程的一般公式法解一元二次方程的一般步驟步驟: :1.1.用因式分解法的用因式分解法的條件條件是是: :方程左邊能夠分解方程左邊能夠分解, ,而右邊等于零而右邊等于零; ;2.2.理論理論依據(jù)依據(jù)是是: :如果兩個因式的積等于零如果兩個因式的積等于零 那么至少有一個因式等于零那么至少有一個因式等于零. .因式分解法解一元二次方程的一般因式分解法解一元二次方程的一般步驟步驟: :一移一移-方程的右邊方程的右邊=0;=0;二分二分-方程的左邊因式分解方程的左邊因式分解; ;三化三化-方程化為兩個一元一次方程方程化為兩個一元一次方程; ;四解四解-寫出方程兩個解寫出方程兩個解; ;適應(yīng)于任何一個一元二次方程適應(yīng)于任何一個一元二次方程，但是在沒有特別，但是在沒有特別要求的情況下，除了形如要求的情況下，除了形如x2+2kx+c=0 用配方法用配方法外，一般不用。外，一般不用。 用配方法解一元二次方程的用配方法解一元二次方程的步驟步驟:1.變形變形:把二次項系數(shù)化為把二次項系數(shù)化為12.移項移項:把常數(shù)項移到方程的右邊把常數(shù)