最值導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用

1、最值 區(qū)間內(nèi)部某點(diǎn)取得區(qū)間端點(diǎn)取得極值點(diǎn)駐點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)第3章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用四、函數(shù)的最值1、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大（小）值)(xf,baabxyO1x 求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù) 最值的步驟：)(xf 求出 在區(qū)間內(nèi)部的所有駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù))(xf不存在的點(diǎn)。 計(jì)算上述點(diǎn)及端點(diǎn)處的函數(shù)值。 比較計(jì)算出的函數(shù)值的大小，其中最大者就是 函數(shù)的最大值，最小者就是函數(shù)的最小值。 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)且單調(diào)，則最值在端點(diǎn)處取得。例 求 在 上的155)(345xxxxf2 , 1最大值和最小值。解23415205)(xxxxf令0)( xf得駐點(diǎn)：, 01x, 12x33x, 1)0(f. 7)2(f所求的最大值為

2、, 2最小值為.10)34(522xxx).3)(1(52xxx（舍）, 2) 1 (f,10) 1(f又2、實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要求在一定條件下，怎樣才能使用料最省，容積最大，平均成本最低，費(fèi)用最少等問(wèn)題， 這些問(wèn)題反映到數(shù)學(xué)上，都可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大（小）值問(wèn)題。 利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題中的最值時(shí)，若所建立的 函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn) ，且從 0 x),(ba)(xf),(ba0 x)(xf實(shí)際問(wèn)題可知 在 內(nèi)必定有最值，則就是最值點(diǎn)。例1 將邊長(zhǎng)為 的正方形四角截去四個(gè)相等的小a解 設(shè)所截小正方形的邊長(zhǎng)為, x由題意得：,)2(2xxav)2, 0(ax2)2(

3、)2)(2(2xaxxav).6)(2(xaxa令, 0 v得駐點(diǎn)： 6ax （惟一的駐點(diǎn)）當(dāng)小正方形邊長(zhǎng)為 時(shí)，能使盒的容積最大。6a正方形，然后折成一個(gè)無(wú)蓋的盒，問(wèn)小正方形邊長(zhǎng)為多少時(shí)，能使盒的容積最大？axxa2例2 要制造一個(gè)容積為 的帶蓋圓柱形16)(3m鐵桶，問(wèn)底半徑 和高 分別為何值時(shí)，才能rh使所用的鐵皮最?。吭O(shè)鐵桶的表面積為, S由題知hrV216216rh hrrS222221622rrr)0( r解rh2324rrS.3222rr令, 0S得駐點(diǎn)：2r（唯一的駐點(diǎn)）從而. 4h當(dāng)?shù)装霃?，高 時(shí)所用的鐵皮最省。2r4h練習(xí) 制作一個(gè)底面為正方形，體積為 64 的 封閉長(zhǎng)方

4、體容器，如何設(shè)計(jì)才能使所用材料最?。?3m 解 設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為 ，高為 ，ah, s長(zhǎng)方體的表面積為由題意得：hav264 264ah ahas422226442aaa.25622aa 22564aas, 0 s令得惟一駐點(diǎn)：. 4a4642ah故.ah（一） 經(jīng)濟(jì)分析中常見(jiàn)的函數(shù)1、需求函數(shù)在一定的價(jià)格水平下，消費(fèi)者愿意而且有支付能力購(gòu)買(mǎi)的商品量。設(shè)dq需求量，p價(jià)格，則)(pqqd 一般地，需求函數(shù)是單調(diào)減少函數(shù)。需求量由多種因素決定。其中商品的市場(chǎng)價(jià)格是影響它的一個(gè)主要因素。需求量：五、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用2、供給函數(shù)在一定的價(jià)格水平下，生產(chǎn)者愿意生產(chǎn)并可供出售的商品量。供給量也由

5、多種因素決定。設(shè)sq供給量，p價(jià)格，則)(pqqs 一般地，供給函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù)。供給量： 市場(chǎng)均衡對(duì)一種商品而言，若 ，則稱 sdqq 此商品達(dá)到市場(chǎng)均衡。市場(chǎng)均衡價(jià)格：市場(chǎng)均衡數(shù)量：0p0q例1 已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)為：,215pqd供給函數(shù)為：, 53pqs求該產(chǎn)品的市場(chǎng)均衡價(jià)格和市場(chǎng)均衡數(shù)量。解由 得sdqq 53215pp解之，4p故. 40p從而5300 pq. 75433、成本函數(shù)生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所要投入的各種生產(chǎn)要素的總費(fèi)用。廠房、設(shè)備等固定資產(chǎn)的折舊，管理者的固定工資等它不隨產(chǎn)品產(chǎn)量的變化而變化。變動(dòng)成本：0C原材料費(fèi)用、工人工資等，)(1qC它隨產(chǎn)品產(chǎn)量的變化而變化。)

6、(10qCCCqqCC)(成本函數(shù)：平均成本函數(shù)：成本：固定成本：C4、收入函數(shù)(收益函數(shù))生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得到的全部 收入。設(shè) R總收入，q銷售量，)()(qpqqR收入函數(shù)：p價(jià)格，則平均收入函數(shù)：qqRR)(總收入：5、利潤(rùn)函數(shù)總收入與總成本之差。)()()(qCqRqLL利潤(rùn)函數(shù)：平均利潤(rùn)函數(shù)：qqLL)( 盈利：虧損：盈虧平衡：0)(qL0)(qL0)(qL利潤(rùn)：例2 設(shè)某商品的需求函數(shù)為：,51000pq試求該商品的收入函數(shù) ，并求銷量為200件)(qR時(shí)的總收入和平均收入。 由 得pq510005200qp)()(qpqqR)5200(qq.52002qq又qqRR)(52

7、00q.320005200200200)200(2R.1605200200)200(R解（二）邊際)(xf定義：若 是經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的某個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，則稱)(xf 邊際函數(shù)值。)(xf的邊際函數(shù)。)(0 xf 邊際函數(shù) 在點(diǎn) 處的)(xf 0 x 邊際成本： 邊際收益： 邊際利潤(rùn)：)(qR)(qL)(qC 邊際函數(shù)的經(jīng)濟(jì)解釋)(0 xf 的經(jīng)濟(jì)解釋：函數(shù) 在點(diǎn) 處，當(dāng) 改變一個(gè)單位時(shí)，)(xf0 xxy相應(yīng)地近似改變 個(gè)單位。)(0 xf 證明：)()(0101100 xfxxfdyyxxxxxxx例1 某化工廠日生產(chǎn)能力最高為1000噸，每日產(chǎn)品求：當(dāng)日產(chǎn)量為100噸時(shí)的邊際成本。xxxC5071

8、000)(Cx,5071000)(xxxC1000, 0 xxxC257)()100(C)100(C的經(jīng)濟(jì)解釋：解)/(5 . 95 . 27100257噸元的總成本 （單位：元）是日產(chǎn)量 （單位：噸）的函數(shù)： 例2 設(shè)某種家具的需求函數(shù)為 p為需求量。試求銷售450 件時(shí)的邊際收入。,31200pq其中 （單位：元）為家具的銷售價(jià)格，（單位：件）q解由 得,31200pq)1200(31qp收入函數(shù)為pqqR)()1200(31qq231400qqqqR32400)(邊際收入函數(shù)為故)450(R.10045032400100)450(R的經(jīng)濟(jì)解釋：（三）經(jīng)濟(jì)分析中的最值問(wèn)題例1 某廠生產(chǎn)某種

9、產(chǎn)品 千件時(shí)的總成本函數(shù)q為： （萬(wàn)元），單位銷售價(jià)格221)(qqqCqp28為： （萬(wàn)元/千件），試求：1）產(chǎn)量為多少時(shí)可使利潤(rùn)達(dá)到最大？2）最大利潤(rùn)是多少？解 1）由已知得 pqqR)()28 (qq228qq利潤(rùn)函數(shù))()()(qCqRqL)21 (2822qqqq.3162qqqqL66)(從而有令 得駐點(diǎn) , 0)( qL1q 是利潤(rùn)函數(shù) 的最大值點(diǎn)。1q故當(dāng)產(chǎn)量為 千件時(shí)可使利潤(rùn)達(dá)到最大。1（2）最大利潤(rùn)為316) 1 (L2（萬(wàn)元）)(qL1q是利潤(rùn)函數(shù)的 的唯一駐點(diǎn)，又該問(wèn)題)(qL確實(shí)存在最大利潤(rùn)。例2 某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本為2000元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為60元

10、，對(duì)這種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求規(guī)律為 （ 為需求量， 為價(jià)格）。pq101000qp試求：1）成本函數(shù)，收入函數(shù)；2）產(chǎn)量為多少噸時(shí)利潤(rùn)最大？解 1）成本函數(shù)200060)(qqCpq101000qp101100故收入函數(shù)pqqR)()101100(qq2101100qq2）利潤(rùn)函數(shù))()()(qCqRqL)200060()101100(2qqq.2000101402qqqqL5140)(令 得駐點(diǎn), 0)( qL200q200q是利潤(rùn)函數(shù) 的唯一駐點(diǎn)，又該問(wèn)題)(qL確實(shí)存在最大利潤(rùn). 200q是利潤(rùn)函數(shù)的最大值點(diǎn)。故當(dāng).例3 設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為：1003251)(2qqqC其中 是產(chǎn)量（單位：臺(tái)）.（萬(wàn)元），q求使平均成本最小的產(chǎn)量，并求最小平均成本是多少？解 平均成本qq