最新的版,二面角求法及經(jīng)典題型歸納

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案立體幾何二面角求法一：知識(shí)準(zhǔn)備1、二面角的概念：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面 .2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別 做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角。3、二面角的大小范圍：0° , 180° 4、三垂線定理：平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它就和這條斜線垂直5、平面的法向量：直線L垂直平面”，取直線L的方向向量，則這個(gè)方向向量叫做平面a的法向量。（顯然，一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們是共線向

2、量）6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3種方法：（1）、定義法：在棱上取一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的2條射線，這2條所夾的角；（2）、垂面法：做垂直于棱的一個(gè)平面，這個(gè)平面與2個(gè)半平面分別有一條交線，這2條交線所成的角；（3）、三垂線法：過(guò)一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)（記為 A）做另一個(gè)半平面的一條垂線，過(guò)這個(gè)垂 足（記為B）再做棱的垂線，記垂足為 C,連接AC,則/ ACB即為該二面角的平面角。7、兩個(gè)平面的法向量的夾角與這兩個(gè)平面所成的二面角的平面角有怎樣的關(guān)系？二：二面角的基本求法及練習(xí)1、定義法:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面

3、角的面，在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直， 這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例1中從二面角SAM一B中半平面ABM上的一已知點(diǎn)（B）向棱AM作垂線，得垂足（F）; 在另一半平面 ASM內(nèi)過(guò)該垂足（F）作棱AM的垂線（如GF）,這兩條 垂線（BF、GF）便形成該二面角的一個(gè)平面角，再在該平面角內(nèi)建立一 個(gè)可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。例1.在正方體 ABCDA1B1C1D1中，求 （1）二面角 A- B1C- A的大小;（2）平面ADC）與平面ADDA所成角的正切值。AB精彩文檔例2:如圖1,設(shè)正方形ABC

4、D-AiCiD中，E為CC中點(diǎn)，求截面 AiBD和EBD1斤成 二面角的度數(shù)。國(guó)i練習(xí)：過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn) A作PAA平面ABCD ,設(shè)PA=AB= a ,求二面角B- PC - D的大小。2、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線 的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.通常當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如(例 2)過(guò)二面角B-FC1-C中半平面BFC上的一已知點(diǎn)B作另一半平面FCiC的垂 線，得垂足O;再過(guò)該垂足。作棱FCi的垂線，得垂足 P,連結(jié)起點(diǎn)與終點(diǎn)得斜線段 PB,便形成了三垂線定理的基本構(gòu)

5、圖(斜線PB、垂線BO、射影OP)。再解直角三角形求二面角的度數(shù)。1例1.平面ABCDA平面ABEF, ABCD是正萬(wàn)形，ABEF是矩形且AF= ad= a , G是 2EF的中點(diǎn)，(1)求證： 平面AGC a平面BGC ; (2)求GB與平面AGC所成角的正弦值;(3)求二面角B- AC- G的大小。例2.點(diǎn)P在平面ABC外，ABC是等腰直角三角形，？ABC 90； PAB是正三角形, PAA BC。(1)求證：平面PABA平面ABC；(2)求二面角P- AC- B的大小。例3.如圖3,設(shè)三棱錐 V-ABC中，VAL底面 ABC AB± BC DE垂直平分 VC 且分別交 AC V

6、C于D> E,又VA=AB VB=BC求二面角 E-BD-C的度數(shù)。圖3練習(xí)：正方體 ABCDAiBiCiDi的棱長(zhǎng)為1, P是AD的中點(diǎn)，求二面角 A- BD1 - P的大小。3.無(wú)棱二面角的處理方法(1)補(bǔ)棱法本法是針對(duì)在解構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒(méi)有明確交線的求二面角題目時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線(稱為補(bǔ)棱)，然后借助前述的定義法與三垂線法解題。 即當(dāng)二平面沒(méi)有明確的交線時(shí)，一般用補(bǔ)棱法解決例1.過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作PAA平面ABCD ,設(shè)PA=AB= a ,(1)求平面PAB與平面PCD所成二面角的大小。例2.如圖所示，四棱錐 P-ABCD的底面ABCD是

7、邊長(zhǎng)為1的菱形，/ BCD = 60° , E是CD 的中點(diǎn)，PA，底面 ABCD, PA= 2.(I )證明：平面 PBE，平面PAB;(n)求平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小.例3.如圖10,設(shè)正三棱柱ABC-A'B'C'各棱長(zhǎng)均為a, D為CC中點(diǎn)，求平面 A'BD與平面ABCT成二面角的度數(shù)。例4、正三角形ABC的邊長(zhǎng)為10, AC平面a , B、C在平面a的同側(cè)，且與a 的距離分別是4和2,求平面ABC與a所成的角的正弦值。s射影（2）射影面積法（cosq =）S凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖

8、形面積 S射的都可利用射影面積公式（cose =）求出二面角的大小。S斜例1:正方體 ABCD-A iBiCiDi中，E為棱AA 1的中點(diǎn)，求平面 EBiC和平面ABCD所成的 二面角。例2.正方體ABCDAiBiCiDi的棱長(zhǎng)為i, P是棱AAi的中點(diǎn)，求平面PB1cl與平面ABCD 所成二面角的大小。AiM：MA=3:1,求截面 BiDiM例3如圖i2,設(shè)正方體 ABCD-A iBiCiDi中，M為AA1上點(diǎn), 與底面ABCD所成二面角。m is例 4.如圖，在三棱錐 PABC 中，AC = BC =2, NACB =900, AP=BP=AB,PC _L AC . (I)求證：PC -L

9、 AB ； (n)求二面角 B-AP-C 的大小;4、垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此 公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角，就是二面角的平面角。例如：過(guò)二面角內(nèi)一點(diǎn) A作AB，a于B,作AC，3于C,面 ABC交棱a于點(diǎn)O,則/ BOC就是二面角的平面角。例 1. SAA 平面ABC, ABA BC, SA= AB = BC,(1)求證：SBA BC ；(2)求二面角C- SA- B的大小;(3)求異面直線SC與AB所成角的余弦值。例2、如圖6,設(shè)正方體ABCD-ABCD中，E、F分別是AB GD的中點(diǎn)(1)求證：A、E、C F四點(diǎn)共面；(2)求二面角A-EC-D的大小

10、。.網(wǎng)6例3、如圖，已知PA與正方形ABCD所在平面垂直，且 AB = PA,求平面PAB 與平面PCD所成的二面角的大小。5、向量法向量法解立體幾何中是一種十分簡(jiǎn)捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說(shuō)所有的立體幾何題都可以用向量法求解， 用向量法解立體幾何題時(shí)，通常要建立空間直角坐標(biāo)系， 寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標(biāo)法表示的向量，進(jìn)行向量計(jì)算解題。在立體幾何中求二面角可歸結(jié)為求兩個(gè)向量的夾角問(wèn)題.對(duì)于空間向量a、b,T T,a b有cosv a , b >= a b .利用這一結(jié)論，我們可以較方便地處理立體幾何中二面角的|a| |b|問(wèn)題.例1.在四錐 V-ABCM,底面AB

11、CD正方形，側(cè)面VAD正三角形，平面VADL底面ABCD求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值.證明： 建立如圖空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,依題意1, 0),是面 VAD的法向量,設(shè)門=(1 , y, z)是面VDB的法向量，則T3n VB =0,|T 3n VB =0.y = -1,=3 =z = 一3cosvAB nI AB| | n |又由題意知，面 VAN面VDB所成的二面角為銳角，所以其余弦值是,21例 2.如圖，直三棱柱 ABC-ABG 中，/ ACB=90°, AC=1, CB=v；2 ,側(cè)棱AA=1,側(cè)面AAB1B的兩條對(duì)角線交點(diǎn)為 D, BC的中點(diǎn)為M.求證 CD1平面BDM求面B1BD與面CBD所成二面角的余弦值.AiCi例3如圖，在四棱錐 P ABCN,底面 ABC皿正方形,側(cè)棱 PDL底面 ABCD PD=DC E是PC的中點(diǎn)，作 EFL PB交PB于點(diǎn)F,求二面角 C-PB- D的大小三、幾點(diǎn)說(shuō)明：1、定義法是選擇一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)（一般為這個(gè)面的一個(gè)頂點(diǎn)）向棱作垂線，再由垂足在另一個(gè)面內(nèi)作棱的垂線。 此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好計(jì)算，不是我們首選的方法。2、三垂線法是從一個(gè)平面內(nèi)選一點(diǎn)（一般為這個(gè)面的一個(gè)頂點(diǎn)）向另一個(gè)面作垂線，再由 垂足向棱作垂線，連結(jié)這個(gè)點(diǎn)