考研數(shù)學(xué)模擬試題數(shù)學(xué)二

1、考研數(shù)學(xué)模擬試題數(shù)學(xué)二考研數(shù)學(xué)模擬試題（數(shù)學(xué)二）參考答案一、選擇題（本題共8 小題，每小題 4 分，滿分32 分，每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項的字母填在題后的括號內(nèi)）1.設(shè) x0 是多項式 P(x) x4 ax3 bx2 cx d 的最小實根，則（） .（ A） P (x0 ) 0（B） P ( x0 ) 0 （C） P ( x0 ) 0（D） P ( x0 ) 0解選擇A. 由于lim P( x)x是多項式P(x)的x x0，又 0最小實根，故 P ( x0 ) 0 .2.設(shè) limxaf ( x) f (a)1則函數(shù) f ( x) 在點 xa （） .3ax（A）

2、取極大值（ B）取極小值（ C）可導(dǎo)（ D）不可導(dǎo)解選擇 D. 由極限的保號性知，存在U ( a) ，當(dāng)x U (a) 時，f ( x)f (a)0 ，當(dāng) xa 時，f (x)f (a) ，當(dāng) x a時，3axf ( x)f (a) ，故 f (x) 在點 xa 不取極值 .f ( x)f (a)f ( x)f (a)12，所以f ( x)在點x a不x ax a3limxalim3a( x a)x可導(dǎo) .3.設(shè) f ( x, y) 連續(xù)，且滿足 f ( x, y)f ( x, y) ，則f ( x, y) dxdyx2y2 1（） .（A） 211x2B11 y 20 dx0f ( x, y

3、)dy0 dy1y2（ ） 2（C） 211x2（D） 211y20 dx1 x2 f ( x, y) dy0 dy0解選擇 B. 由題設(shè)知f (x, y)dx f ( x, y)dx11y2f ( x, y)dxdy 2f ( x, y)dxdy 20dy1y2 f (x, y)dx .x2 y2 1x2 y2 1, y 04.微分方程 y2 yx e2x 的特解 y* 形式為（） .(A)(C)y*(axb)e 2x(B) y* ax e2 xy*ax2 e2x(D) y* (ax2 bx)e 2 x解 選擇 D. 特征方程 r 2 2r 0，特征根 r 0, r 2 ， 2 是特征根，特

4、解 y* 形式為y*x(axb) e2 x .5. 設(shè)函數(shù) f (x) 連續(xù)，則下列函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是（） .（ A）（ C）xf (t 2 ) dt（B）xf 2 (t )dt00xt f (t ) f ( t )dt（ D）xt f (t ) f ( t ) dt00解選 擇C.由 于 t f (t) f ( t ) 為 奇 函 數(shù) ， 故x t f (t )f ( t )dt 為偶函數(shù) .06. 設(shè)在全平面上有x0 ，y，則保證不等f (x, y)f (x, y)0式 f (x1, y1 ) f ( x2 , y2 ) 成立的條件是（A） x1x2 ， y1y2 .（B）（C） x1

5、x2 ， y1y2 .（D）x1x2， y1y2x1x2， y1y2.解選擇 A. f ( x, y)0f ( x, y) 關(guān)于 x 單調(diào)減少，xf ( x, y)0f (x, y) 關(guān)于 y 單調(diào)增加，y當(dāng) x1x2 ， y1y2 時， f ( x1 , y1 )f ( x2 , y1 ) f ( x2 , y2 ) .7.設(shè) A 和 B 為實對稱矩陣， 且 A 與 B 相似，則下列結(jié)論中不正確的是（） .(A) AE與 BE相似(B) A與B合同(C)AEBE(D)AEBE解 選擇 D. A 與 B 相似可以推出它們的多項式相似，它們的特征多項式相等，故 A，C 正確，又 A和 B為實對稱

6、矩陣， 且 A與 B相似，可以推出 A 與 B合同，故 B 正確.8. AAm n ， R( A)r ， b 為 m 維列向量，則有（）.(A)當(dāng) r(B)當(dāng) r(C)當(dāng) m(D)當(dāng) rm 時，方程組 n 時，方程組n 時，方程組 n 時，方程組AxAxAxAxb 有解b 有唯一解b 有唯一解b 有無窮多解解選擇 A. 當(dāng) r m 時， r A, br (A) ，方程組 Ax b 有解.二、填空題（本題共6 小題，每小題 4 分，滿分24 分，把答案填在題中橫線上）19.x(1x) xe.0xlim解 答案為 e .211 ln(1x)1 ln(1 x)1lim(1x) xelim exeel

7、imex1x 0xx 0xx 0x1 ln(1x)1ln(1x)x11eelimxelim2elim 1 xx 0xx0xx02x210 設(shè) f 有 二 階 連 續(xù)偏 導(dǎo)數(shù) ， u f (x, xy , xyz) ， 則2u.z y解答案為 xf3x2 yf32x2 yzf33 .uxyf3z2uxf3 xy( f 32 xf33 xz) xf 3x2 yf32 x2 yzf33z y11.設(shè) 微 分 方 程 yy( x ) 的 通 解 為 yx ， 則xyln Cx( x).解答案為x12 .將 ylnxCx 代入微分方程，得(ln Cx)1，故 ( x)12Cxx2 .ln12.數(shù)列 n

8、n 中最大的項為3解答案為3.【將數(shù)列的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題， 以便利用導(dǎo)數(shù)解決問題】設(shè) f (x)111ln x 1 ln xxln x， f ( x)exxx x exx20 x e ，x e 時， f (x)0 ， f ( x) 單調(diào)增加，故 n e時， f (n)nn 遞增，2 最大，x e 時， f (x)0 ， f ( x) 單調(diào)減少，故 n e時， f (n)nn 遞減， 33 最大，又 3369682 ，數(shù)列 nn的最大項為 33 .13. 方 程 5x2x dt0在區(qū)間 (0,1) 內(nèi)的實根個數(shù)0 1t 8為.解答 案 為1. 令f ( x) 5x 2xdt，0 1t8f (

9、0)2 0, f (1)31dt0，0 1t 8由零點定理知，此方程在區(qū)間(0,1) 內(nèi)至少有一個實根，又 f ( x) 510 ，f ( x)單調(diào)增加，故此方程1 x8在區(qū)間 (0,1) 內(nèi)有且僅有一個實根.14.設(shè) n 階矩陣 A 的秩為 n 2 ， 1 , 2 , 3 是非齊次線性方程組 Ax b 的三個線性無關(guān)的解，則Ax b 的通解為.解答案為 1 k () k()k ,k為任意常數(shù) .12123，121 , 2 , 3 是非齊次線性方程組Axb 的三個線性無關(guān)的解，則21, 31 是 Ax0 的兩個解，且它們線性無關(guān)，又 n r ( A) 2，故 21 ,31 是 Ax0 的基礎(chǔ)解

10、系，所以 Ax b 的通解為 1k1 ( 21 )k2 (31 ) .三、解答題（本題共 9 小題，滿分 94 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）115. （本題滿分9 分）求極限 x(1x)xesin ln(1x)0.lim1x sin x 1解111x)1x) 1(1x) xesin ln(1 x)(1x) xeln(1ln(1exeex1lim1xsin x 12limx2limx2elimxx 0x0x0x 01 ln(1x) 1ln(1x)x11elimx2elim 1xe2elim2x 0xx0xx 02x16. （本題滿分 9 分）設(shè) f ( x) 單調(diào)且具有一階連續(xù)導(dǎo)

11、數(shù)， zf (x( y) 滿足 ( y) zz0 ，求可導(dǎo)函數(shù) ( y) .xy解zf ，z( )，代入方程() zz0xfyyxy，得y( y ) ff( y)，即 ( y)( y) ，解得 ( y) C ex ，其中 C 為任意常數(shù) .17. （本題滿分 9 分）計算積分 112y2dy11y2 ( x2y2sin 3 y)dx解 畫出二重積分區(qū)域 D ， D1 是 D 的第一象限部分，由對稱性，得12y2x2y2sin 3 y)dx( x2y2sin 3 y)dxdydy1y2(11D2(x2y2)dxdy24 d2cosr 2 dr2D1024 (8cos 322) d20223093

12、18. （本題滿分 11 分）求微分方程 ya( y )20 ( a0) 滿足初始條件y x 0 0 ，y x01的特解 .解令,dp，代入原方程，得yp ydxdp2dpadx ，dpadx ，1，dxap0 ，p2p2pax C1由 x 0, y 0, y p1，得 C1 1，1ax1 ， p1，即 y1，pax1ax1故 y11C2 ，axdxln(ax 1)1a由 x0, y0得 C20 ，所以 y1 ln( ax1) .a19. （本題滿分 11 分）設(shè) f ( x) 和 g ( x) 在 區(qū) 間 (a,b) 可 導(dǎo) ， 并 設(shè) 在 (a, b) 內(nèi)f ( x)g ( x) f (

13、x) 0 ，證明在 ( a, b)內(nèi)至多存在一點，使得f ( ) 0 .證設(shè) (x) f ( x)e g ( x ) ，則 ( x) e g ( x) ( f ( x) f (x)g ( x) .若 在 ( a, b) 內(nèi) 存 在 兩 個 不 同 的 點 1 , 2， 使 得f ( 1 ) f ( 2 ) 0 ，則由羅爾定理知，至少存在一點介于1, 2 之間，使()0，即 e g ( ) ( f ( )f ( ) g ( )0 ，于是有f ( )f ()g ( )0 ，與題設(shè)矛盾，故在 (a, b) 內(nèi)至多存在一點，使得 f ( ) 0 .20. （本題滿分 11 分）設(shè)有拋物線： yabx

14、2 ，試確定常數(shù)a, b 的值，使得與直線 y x 1相切；與 x 軸所圍圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積最大 .解設(shè)切點為 (x0 , y0 ) ， y2bx ，切線斜率 k 2bx0 1x01, y0 a1 ，2b4b代入切線方程，得111a14(1 a) .4b2bb又旋轉(zhuǎn)體體積 Vax2dya00a y dyba0a y dy 2 ( a2 a3 ) ， bV 2(2 a 3a2 ) 0 ，解得 a 0 或者 a2， V 2(2 6a) ，3V (0)24 0 ，故 a2時，體積 V最大，4 0,V()33將 a 23 代入得 b 34 ，所以 a 23 ， b 34 .21.（本題

15、滿分 11 分）一質(zhì)量為m 的物體以速度v0 從原點沿y 軸正方向上升，假設(shè)空氣阻力與物體的運動速度平方成正比（比例系數(shù) k 0 ），試求物體上升的高度所滿足的微分方程及初始條件， 并求物體上升的最大高度.解根據(jù)牛頓第二定律， 物體上升的高度 yy(t ) 所滿足的微分方程為m d 2 ydy2mgk，dt2dt初始條件為y(0)0, y (0)v0 .vdy 代入方程，得 m dvmg kv2 ， dvgkv2，dtdtdtm記 a2g,b2k ， dva2b2 v2 ，2 dv 2 2dt ，mdtab v1bvt C ， t0 時， v v0，故 C1bv0，積分得 abarctan a

16、abarctana1 arctan bvt1 arctan bv0，abaaba令 v0 ，得上升到最高點的時間為t11 arctan bv0abaarctan bvab(t1t ) ， va tan ab(t1t )ab上升的最大高度為yt1 atan ab(t1t)dt1ln cos ab(t1t11ln(1b2v02) .0bb2t) 02b2a222. （本題滿分 11 分）設(shè)1 1,2,3,1T ,2 1,1,2,1T ,31,3,a,3T ,43,5,7, 1T,0,1,1,bT .當(dāng) a, b 滿足什么條件時，可由 1,2 ,3 , 4線性表示，且表示式唯一？當(dāng) a, b 滿足什

17、么條件時，可由1,2 ,3 , 4線性表示，且表示式不唯一？并求出的表示式 .解設(shè) x11x 22x33 x4，其增廣矩陣1113011130(1,2,3, 4 ,2135101111)2a7141030 a 01131b000b 22當(dāng) a 4時，r ( 1,2 ,3 ,4, )r ( 1 , 2 , 3 ,4 )4 ，方程組有唯一解，即 可由 1, 2 , 3 , 4 線性表示，且表示式唯一.11130當(dāng) a 4 時， ( 1, 2 , 3 , 4 , ) 0 11 11 ，000100000b2故當(dāng) a 4,b 2 時， r ( 1 , 2 , 3,4 ,)r (1, 2, 3,4)3 ，方程組有無窮多解，即可由1,2 ,3,4 線性表示，且表示式不唯一，10201x112x3(1,2,3,4,)01101 ，同解方程組為x21x3 ，00010x3x300000x40通解為 (1, 1,0,0) Tk( 2,1,1,0) T ，故 的表示式為(1 2k ) 1