概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第三版)課后答案習(xí)題1

1、第一章 事件與概率1寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間。（1）記錄一個(gè)班級(jí)一次概率統(tǒng)計(jì)考試的平均分?jǐn)?shù)（設(shè)以百分制記分）。（2）同時(shí)擲三顆骰子，記錄三顆骰子點(diǎn)數(shù)之和。（3）生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10件正品為止，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。（4）對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的記上“正品”，不合格的記上“次品”，如連續(xù)查出2個(gè)次品就停止檢查，或檢查4個(gè)產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。（5）在單位正方形內(nèi)任意取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)。（6）實(shí)測(cè)某種型號(hào)燈泡的壽命， 解 （1）其中n為班級(jí)人數(shù)（2） （3）。（4）00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111

2、，其中0表示次品，1表示正品。 （5）(x,y)| 0<x<1,0<y<1。 （6） t| t ³ 0。2設(shè)A，B，C為三事件，用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件，。（1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生。（2）A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生。（3）A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生。（4）A，B，C都發(fā)生。（5）A，B，C都不發(fā)生。（6）A，B，C中不多于一個(gè)發(fā)生。（7）A，B，C至少有一個(gè)不發(fā)生。（8）A，B，C中至少有兩個(gè)發(fā)生。 解 （1），（2），（3），（4），（5）， （6）或（7）， （8）或 3指出下列命題中哪些成立，哪些不成立，并作圖說(shuō)明。（1） （2）（3） （4

3、）若 （5） （6） 若且， 則 解 : (1) 成立，因?yàn)椤?2) 不成立，因?yàn)椤?3) 成立，。(4) 成立。(5) 不成立，因左邊包含事件C，右邊不包含事件C，所以不成立。(6) 成立。因若BC，則因CÌA，必有BCÌAB，所以AB與已知矛盾，所以成立。 圖略。 4簡(jiǎn)化下列各式：（1） （2） （3） 解:（1），因?yàn)?，所以，。（2），因?yàn)?，且，所以 。（3）。 5設(shè)A，B，C是三事件，且P（A）P（B） P（C），求A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。解 ABCÌAB 0P(ABC)P(AB)=0，故P(ABC)=0所求概率為P(ABC)=P(A)+P(B

4、)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)6 從1、2、3、4、5這5個(gè)數(shù)中，任取其三，構(gòu)成一個(gè)三位數(shù)。試求下列事件的概率：（1）三位數(shù)是奇數(shù)； （2）三位數(shù)為5的倍數(shù)；（3）三位數(shù)為3的倍數(shù)； （4）三位數(shù)小于350。解 設(shè)A表示事件“三位數(shù)是奇數(shù)”， B表示事件“三位數(shù)為5的倍數(shù)”， C表示事件“三位數(shù)為3的倍數(shù)”，D表示事件“三位數(shù)小于350”?；臼录倲?shù)為 ，(1) ；(2) ；(3) ； (4) 。7某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、紅漆3桶，在搬運(yùn)中所有標(biāo)簽脫落，交貸人隨意將這些油漆發(fā)給顧客。問(wèn)一個(gè)定貨4桶白漆、3桶黑漆和2桶紅漆的顧客，能按

5、所定顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？解 隨機(jī)試驗(yàn)E為任意取9桶交與定貨人，共有種交貨方式。其中符合定貨要求的有··種，故所求概率為8在1700個(gè)產(chǎn)品中有500個(gè)次品、1200個(gè)正品。任取200個(gè)。（1）求恰有90個(gè)次品的概率；（2）求至少有2個(gè)次品的概率。解 （1）試驗(yàn)E為1700個(gè)產(chǎn)品中任取200個(gè)，共有種取法，其中恰有90個(gè)次品的取法為·，故恰有90個(gè)次品的概率為（2）設(shè)事件A表示至少有2個(gè)次品，B表示恰有1個(gè)次品，C表示沒(méi)有次品，則A=S-(BC)，且BC=，BCÌSP(A)=PS-(BC)=P(S)-P(B)+P(C)9把10本書任意地放在書架上，

6、求其中指定的三本書放在一起的概率。解 V=P10=10！，設(shè)所論事件為A，則 VA=8！×3！ 10從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率是多少？解 V=C410，設(shè)A 表示事件“4只鞋中至少有2只配成一雙”，則 表示“4只鞋中沒(méi)有2只能配成一雙”。先求出P( )，再求P(A)。有利于 的情形共有 種（因?yàn)椴豢紤]取4只鞋的次序，所以被4！除）。 故 另一解法：有利于事件A的總數(shù)為11將3雞蛋隨機(jī)地打入5個(gè)杯子中去，求杯子中雞蛋的最大個(gè)數(shù)分別為1，2，3的概率。解 依題意知樣本點(diǎn)總數(shù)為53個(gè)。以Ai(i=1, 2, 3)表示事件“杯子中雞蛋的最大個(gè)數(shù)為i”

7、，則A1表示每杯最多放一只雞蛋，共有種放法，故A2表示由3個(gè)雞蛋中任取2個(gè)放入5個(gè)杯中的任一個(gè)中，其余一個(gè)雞蛋放入其余4個(gè)杯子中，放法總數(shù)為種A3表示3個(gè)雞蛋放入同一個(gè)杯中，共有種放法，故 12把長(zhǎng)度為a的線段在任意二點(diǎn)折斷成為三線段，求它們可以構(gòu)成一個(gè)三角形的概率。解 設(shè)所論事件為A，線段a被分成的三段長(zhǎng)度分別用x，y和a-x-y表示，則樣本空間為：0xa，0ya，0x+ya，其面積為 而有利于A的情形必須滿足構(gòu)成三角形的條件，即其面積為 。 13甲乙兩艘輪船要在一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘輪船的碼頭停泊，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)的時(shí)刻是等可能的。若甲船的停泊時(shí)間是一小時(shí)，乙船的停泊時(shí)間是兩小時(shí)，求它們中

8、任何一艘都不需等候碼頭空出的概率。解 設(shè)自當(dāng)天0時(shí)算起，甲乙兩船到達(dá)碼頭的時(shí)刻分別為x及y，則為：0x24，0y24，L()=242，設(shè)所論事件為A，則有利于A的情形分別為：（1）當(dāng)甲船先到時(shí)，乙船應(yīng)遲來(lái)一小時(shí)以上，即y-x1或y1+x；（2）當(dāng)乙船先到時(shí)，甲船應(yīng)遲來(lái)兩小時(shí)以上，即x-y2或yx-2；事件A應(yīng)滿足關(guān)系：y1+x，yx-2，L(A) 。14已知 求。解 由乘法公式知 15已知在10只晶體管中有2只次品，在其中取兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。求下列事件的概率。 （1）兩只都是正品；（2）兩只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品。解 設(shè)以Ai(i=1

9、,2)表示事件“第i次取出的是正品“，因?yàn)椴环呕爻闃樱剩?）（2）（3） （4）16在做鋼筋混凝土構(gòu)件以前，通過(guò)拉伸試驗(yàn)，抽樣檢查鋼筋的強(qiáng)度指標(biāo)，今有一組A3鋼筋100根，次品率為2%，任取3根做拉伸試驗(yàn)，如果3根都是合格品的概率大于095，認(rèn)為這組鋼筋可用于做構(gòu)件，否則作為廢品處理，問(wèn)這組鋼筋能否用于做構(gòu)件？解 設(shè)表示事件“第i次取出的鋼筋是合格品”，則所以 故這組鋼筋不能用于做構(gòu)件。17某人忘記了密碼鎖的最后個(gè)數(shù)字，他隨意地?fù)軘?shù)，求他撥數(shù)不超過(guò)三次而打開鎖的概率。若已知最后一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)，那么此概率是多少？解 設(shè)以Ai表示事件“第i次打開鎖”（i=1,2,3），A表示“不超過(guò)三次打開”，

10、則有易知：是互不相容的。同理，當(dāng)已知最后一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)時(shí)，所求概率是18袋中有8個(gè)球，6個(gè)是白球、2個(gè)是紅球。 8個(gè)人依次從袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中。問(wèn)第一人，第二人，最后一人取得紅球的概率各是多少個(gè)。解 設(shè)以Ai(i=1,2,8)表示事件“第i個(gè)人取到的是紅球”。則又因A2=，由概率的全概公式得類似地有 19設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知兩件中有一件是不合格品，問(wèn)另一件也是不合格品的概率是多少？解 設(shè)A，B分別表示取出的第一件和第二件為正品，則所求概率為20對(duì)某種水泥進(jìn)行強(qiáng)度試驗(yàn)，已知該水泥達(dá)到500#的概率為09，達(dá)到600#的概率為0.3，現(xiàn)取一水泥塊進(jìn)行

11、試驗(yàn)，已達(dá)到500#標(biāo)準(zhǔn)而未破壞，求其為600#的概率。解 設(shè)A表示事件“水泥達(dá)到500#”， B表示事件“水泥達(dá)到600#”。 則 P(A)=0.9, P(B)=0.3, 又 ,即P(AB)=0.3,所以。21以A，B分別表示某城市的甲、乙兩個(gè)區(qū)在某一年內(nèi)出現(xiàn)的停水事件，據(jù)記載知P（A）0.35，P（B）0.30，并知條件概率為P（AçB）0.15，試求： （1）兩個(gè)區(qū)同時(shí)發(fā)生停止供水事件的概率； （2） 兩個(gè)區(qū)至少有一個(gè)區(qū)發(fā)生停水事件的概率。解 （1） 由題設(shè)，所求概率為 ； （2） 所求概率為 。22設(shè)有甲、乙兩袋，甲袋中裝有n只白球、，m只紅球；乙袋中裝有N只白球、M只紅球，

12、今從甲袋中任意取一只球放人乙袋中，再?gòu)囊掖腥我馊≈磺颉?wèn)取到白球的概率是多少？解 設(shè)A1、A2分別表示從甲、乙袋中取到白球，則由全概率公式23盒中放有12只乒乓球，其中有9只是新的。第一次比賽時(shí)從其中任取3只來(lái)用，比賽后仍放回盒中。第二次比賽時(shí)再?gòu)暮兄腥稳?只，求第二次取出的球都是新球的概率。解 設(shè)表示事件“第一次比賽時(shí)用了i個(gè)新球”，用A表示事件“第二次比賽時(shí)取出的球都是新球”。則有。由全概公式有 。24 將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時(shí)，A被誤收作B的概率為002而B被誤收作A的概率為001信息A與信息B傳送的頻繁程度為2：l若接收站收到的信息是A，問(wèn)原發(fā)信息是A的概率是多

13、少？解 設(shè)事件H表示原發(fā)信息為A，C表示收到信息為A，則表示原發(fā)信息是B。H，是S的一個(gè)劃分。依題意有由貝葉斯公式有25甲、乙、丙三組工人加工同樣的零件，它們出現(xiàn)廢品的概率：甲組是0.01，乙組是0.02，丙組是0.03，它們加工完的零件放在同一個(gè)盒子里，其中甲組加工的零件是乙組加工的2倍，丙組加工的是乙組加工的一半，從盒中任取一個(gè)零件是廢品，求它不是乙組加工的概率。解 設(shè)分別表示事件“零件是甲、乙、丙加工的”，B表示事件“加工的零件是廢品”。則 所以 。26有兩箱同種類的零件。第一箱裝50只，其中10只一等品；第二箱裝30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每

14、次任取一只，作不放回抽樣。試求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。解 設(shè)事件A表示“取到第一箱”，則表示“取到第二箱”，B1，B2分別表示第一、二次取到一等品。（1）依題意有：，由全概率公式 （2） 由全概率公式 27設(shè)有四張卡片分別標(biāo)以數(shù)字1，2，34今任取一張?jiān)O(shè)事件A為取到4或2，事件B為取到4或3，事件C為取到4或1，試驗(yàn)證 P（AB）P（A）P（B）， P（BC）P（B）P（C）， P（CA）P（C）P（A， P（ABC）¹PAP（B）P（C）。證 樣本空間中有4個(gè)樣本點(diǎn)，而A、B、C中均含有2個(gè)樣本點(diǎn)，

15、故 又AB、AC、BC中均含有1個(gè)樣本點(diǎn)“取到4”故 同理 P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C)又ABC中有1個(gè)樣本點(diǎn)取到4 28假設(shè)關(guān)于條件與都相互獨(dú)立，求證 證 由關(guān)于條件與是相互獨(dú)立的，故有，以及，從而29如果一危險(xiǎn)情況C發(fā)生時(shí)，一電路閉合并發(fā)出警報(bào)，我們可以借用兩個(gè)或多個(gè)開關(guān)井聯(lián)以改善可靠性，在C發(fā)生時(shí)這些開關(guān)每一個(gè)都應(yīng)閉合，且若至少一個(gè)開關(guān)閉合了，警報(bào)就發(fā)出，如果兩個(gè)這樣的開關(guān)并聯(lián)聯(lián)接，它們每個(gè)具有096的可靠性（即在情況C發(fā)生時(shí)閉合的概率），問(wèn)這時(shí)系統(tǒng)的可靠性（即電路閉合的概率）是多少？如果需要有一個(gè)可靠性至少為09999的系統(tǒng)，則至少需要用多少只開關(guān)并聯(lián)？這

16、里設(shè)各開關(guān)閉合與否都是相互獨(dú)立的。解 設(shè)n只開關(guān)并聯(lián)，以 Ai表示事件“在C發(fā)生時(shí)，第i只開關(guān)閉合“，則由已知條件諸Ai相互獨(dú)立，且P(Ai)=0.96，從而知，當(dāng)n=2時(shí)，系統(tǒng)的可靠性為又若使系統(tǒng)可靠性至少為0.9999，則必須0.9999即 故至少需用3只開關(guān)才能使系統(tǒng)的可靠性至少為0.9999。30甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人中的概率分別為0.4，0.5，0.7飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。解 設(shè)分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī)，表示有i個(gè)人擊中飛機(jī)，H表示飛機(jī)被擊落。則獨(dú)立，且于是 依題意有

17、：于是，由全概公式有。31在裝有6個(gè)白球，8個(gè)紅球和3個(gè)黑球的口袋中，有放回地從中任取5次，每次取出一個(gè)。試求恰有3次取到非白球的概率。解 由題設(shè)知，取一個(gè)非白球的概率 p=11/17，于是。若視 ，則可查表得 。32電燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率為0.2，求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)后最多只有一只壞了的概率。解 設(shè)A表示事件“一個(gè)燈泡可使用1000小時(shí)以上”，則A的概率為p=0.2,q=0.8?？疾烊齻€(gè)燈泡可視為n=3 的貝努利試驗(yàn)，于是所求概率為 。33某地區(qū)一年內(nèi)發(fā)生洪水的概率為0.2，如果每年發(fā)生洪水是相互獨(dú)立的，試求：（1） 洪水十年一遇的概率；（2） 至少要多少年才能以99%以上的概率保證至少有一年發(fā)生洪水。解 這是貝努利概型， p=0.2.(1) n=10,設(shè)A表示事件“洪水十年一遇”，則 （2）由題設(shè)，即要 成立，解此不等式得 ， 即至少要21年才能以99%以上的概率保證至少有一年發(fā)生洪水。34 在打樁施工中，斷樁是常見的，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，甲組斷樁的概率為3%，乙組斷樁的概率為1.2%。某工地準(zhǔn)備打15根樁，甲組打5根，乙組打10根，問(wèn)：（1） 產(chǎn)生斷樁的概率是多少？（2） 甲組斷兩根