安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院-汪宏喜-《微積分》課件第六章--多元函數(shù)微分學(xué)第七節(jié)

1、第七節(jié)第七節(jié) 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值一、無條件極值一、無條件極值二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法三、最小二乘法三、最小二乘法四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題1 1、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. .使函數(shù)取得極值的點稱為極值點使函數(shù)取得極值的點稱為極值點. .一、無條件極值一、無條件極值(1)(2)(3)例例1 1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 定理定理 1 1（必

2、要條件）（必要條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)，且具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點在點),(00yx處有極值，則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必處有極值，則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件不妨設(shè)不妨設(shè)),(yxfz 在點在點),(00yx處有極大值處有極大值,則則對對于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,證證故故當(dāng)當(dāng)0yy ，0 xx 時時，有有 ),(0yxf),(00yxf,說明一元函數(shù)說明一元函數(shù))

3、,(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值,必必有有 0),(00 yxfx;類類似似地地可可證證 0),(00 yxfy.例如例如, 點點)0 , 0(是函數(shù)是函數(shù)xyz 的駐點，的駐點，但但不不是是極極值值點點. 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，均稱為函數(shù)的的點，均稱為函數(shù)的駐點駐點.駐點駐點可導(dǎo)極值點可導(dǎo)極值點問題問題：如何判定一個駐點是否為極值點？：如何判定一個駐點是否為極值點？注意：注意：求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求出實數(shù)解，得

4、駐點求出實數(shù)解，得駐點.第二步第二步 對于每一個駐點對于每一個駐點),(00yx，無條件極值：無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件限制并無其他條件限制. .求最值的一般方法求最值的一般方法： 將函數(shù)在將函數(shù)在D D 內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值、不可偏內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值、不可偏導(dǎo)點的函數(shù)值、在導(dǎo)點的函數(shù)值、在D D 的邊界上的最大值和最小值在的邊界上的最大值和最小值在一起比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最一起比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值小值. . 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求

5、函數(shù)的最大值和最小值極值來求函數(shù)的最大值和最小值.3 3、多元函數(shù)的最值、多元函數(shù)的最值解解先先求求函函數(shù)數(shù)在在D內(nèi)內(nèi)的的駐駐點點，xyo6 yxDD如圖如圖,解方程組解方程組 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)唯唯一一駐駐點點)1 , 2(,且且4)1 , 2( f,再再求求),(yxf在在D邊邊界界上上的的最最值值， 在邊界在邊界0 x和和0 y上上0),( yxf,在邊界在邊界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2

6、 , 4( f64)2 , 4( f為最小值為最小值.xyo6 yxD, 0)6 , 0(f引例：引例： 小王有小王有200元錢，他決定用來購買兩元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機光盤和錄音磁帶，設(shè)他種急需物品：計算機光盤和錄音磁帶，設(shè)他購買購買 張光盤，張光盤， 盒錄音磁帶達到最佳效果，盒錄音磁帶達到最佳效果，效用函數(shù)為效用函數(shù)為 設(shè)每張光設(shè)每張光盤盤8元，每盒磁帶元，每盒磁帶10元，問他如何分配這元，問他如何分配這200元以達到最佳效果元以達到最佳效果xyyxyxUlnln),( 問題的實質(zhì)：求問題的實質(zhì)：求 在條在條件件 下的極值點下的極值點yxyxUlnln),( 200108

7、yx二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法條件極值條件極值：對自變量有附加條件的極值：對自變量有附加條件的極值解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一駐駐點點)2 , 4 , 6(，.691224623max u則則故最大值為故最大值為 在工程問題中，常常需要根據(jù)兩個變量的在工程問題中，常常需要根據(jù)兩個變量的幾組實驗數(shù)值幾組實驗數(shù)值實驗數(shù)據(jù)，來找出這兩個變實驗數(shù)據(jù)，來找出這兩個變量的函數(shù)關(guān)系的近似表達式通常把這樣得到量的函數(shù)關(guān)系的近似表達式通常把這樣得到的函數(shù)的近似表達式叫做的函數(shù)的近

8、似表達式叫做經(jīng)驗公式經(jīng)驗公式. .問題：如何得到經(jīng)驗公式，常用的方法是什么？問題：如何得到經(jīng)驗公式，常用的方法是什么？三、最小二乘法三、最小二乘法例例8 8為了測定刀具的磨損速度，我們做這樣的實為了測定刀具的磨損速度，我們做這樣的實驗：經(jīng)過一定時間驗：經(jīng)過一定時間( (如每隔一小時如每隔一小時) )，測量一次刀，測量一次刀具的厚度具的厚度, ,得到一組試驗數(shù)據(jù)如下：得到一組試驗數(shù)據(jù)如下： 觀觀察察可可以以認認為為)(tfy 是是線線性性函函數(shù)數(shù), ,并并設(shè)設(shè),)(battf 其其中中a和和b是是待待定定常常數(shù)數(shù). .tyo1 247356824252627如圖，在坐標紙上畫出如圖，在坐標紙上畫

9、出這些點，這些點，因為這些點本來不在一條直線上，我們只因為這些點本來不在一條直線上，我們只能要求選取這樣的能要求選取這樣的 ，使得，使得 在在 處的函數(shù)值與實驗數(shù)據(jù)處的函數(shù)值與實驗數(shù)據(jù) 相相差都很小差都很小ba,battf )(710,ttt710,yyy解解首先確定首先確定)(tf的類型的類型. .就是要使偏差就是要使偏差 )7 , 2 , 1 , 0()( itfyii都很小都很小.因此可以考慮選取常數(shù)因此可以考慮選取常數(shù) ，使得，使得 ba, 702)(iiibatyM定義定義這種根據(jù)偏差的平方和為最小的條件來選這種根據(jù)偏差的平方和為最小的條件來選擇常數(shù)擇常數(shù) 的方法叫做的方法叫做最小二

10、乘法最小二乘法ba,這種確定常數(shù)的方法是通常所采用的這種確定常數(shù)的方法是通常所采用的.最小來保證每個偏差的絕對值都很小最小來保證每個偏差的絕對值都很小M把看成自變量把看成自變量 和和 的一個二元函數(shù)，的一個二元函數(shù)，ab那么問題就可歸結(jié)為求函數(shù)那么問題就可歸結(jié)為求函數(shù) 在那在那些點處取得最小值些點處取得最小值.),(baMM 7070; 0)(2, 0)(2iiiiiiibatybMtbatyaM令令即即 7070. 0)(, 0)(iiiiiiibatytbaty將括號內(nèi)各項進行整理合并，并把未知數(shù)將括號內(nèi)各項進行整理合并，并把未知數(shù) 和和 分離出來，便得分離出來，便得ab)1(.8,707

11、07070702 iiiiiiiiiiiybtatytbta計算得計算得,2870 iit,140702 iit, 5 .20870 iiy0 .71770 iiity代入方程組（代入方程組（1）得）得 . 5 .208828,71728140baba解此方程組，得到解此方程組，得到.125.27,3036. 0 ba這樣便得到所求經(jīng)驗公式為這樣便得到所求經(jīng)驗公式為)2(.125.273036. 0)( ttfy由（由（2）式算出的函數(shù)值）式算出的函數(shù)值 與實測與實測 的有的有一定的偏差一定的偏差.現(xiàn)列表比較如下：現(xiàn)列表比較如下：)(itfiyit01234567實實測測iy27.026.82

12、6.526.326.125.725.324.3算算得得)(itf27.125 26.821 26.518 26.214 25.911 25.607 25.303 25.000偏偏差差-0.125-0.021 -0.018-0.0860.1890.093-0.003-0.200偏差的平方和偏差的平方和 ，它的平方根它的平方根 108165. 0 M329. 0 M我們把我們把 稱為稱為均方誤差均方誤差，它的大小在一定，它的大小在一定程度上反映了用經(jīng)驗公式來近似表達原來函數(shù)關(guān)程度上反映了用經(jīng)驗公式來近似表達原來函數(shù)關(guān)系的近似程度的好壞系的近似程度的好壞M例例9 9 在研究單分子化學(xué)反應(yīng)速度時，得到

13、下列數(shù)據(jù)：在研究單分子化學(xué)反應(yīng)速度時，得到下列數(shù)據(jù)：6.58.912.216.622.731.041.957.6242118151296387654321ii iy其中其中 表示從實驗開始算起的時間，表示從實驗開始算起的時間， 表示時刻表示時刻反應(yīng)物的量試定出經(jīng)驗公式反應(yīng)物的量試定出經(jīng)驗公式 y).( fy 解解)( fy 由化學(xué)反應(yīng)速度的理論知道，由化學(xué)反應(yīng)速度的理論知道， 應(yīng)是應(yīng)是指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：, mkey 其中其中 和和 是待定常數(shù)是待定常數(shù).km由于由于所以仿照例所以仿照例1中的討論中的討論,通過求方程組通過求方程組)3(lg8,lg81818181812 iiiiiiiiiii

14、ybayba 的解的解,把把 確定出來確定出來.ba,lgbay 討論：討論：通過計算得通過計算得,10881 ii ,1836812 ii , 3 .10lg81 iiy.122lg81 iiiy 將他們代入方程組（將他們代入方程組（3）得）得 . 3 .108108,1221081836baba解這方程組，得解這方程組，得 .8964. 1lg,045. 04343. 0kbma.78.78,1036. 0 km因此所求經(jīng)驗公式為因此所求經(jīng)驗公式為.78.781036. 0 ey多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件、充分條件）（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值四、小結(jié)四、小結(jié)最小二乘法最小二乘