矩陣的初等變換

1、第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組1 矩矩 陣陣 的的 初初 等等 變變 換換 二、消元法解線性方程組二、消元法解線性方程組1、定義、定義下面三種變換稱為矩陣的下面三種變換稱為矩陣的初等行變換初等行變換: : ）；記記作作兩兩行行對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)兩兩行行（對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以數(shù)數(shù) k）記記作作行行乘乘（第第krkii , .3 ）記記作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 一、矩陣的初等變換一、矩陣的初等變

2、換 同理可定義矩陣的同理可定義矩陣的初等列變換初等列變換( (所用記號(hào)是所用記號(hào)是把把“r”換成換成“c”)2、定義、定義2 矩陣的矩陣的初等列變換初等列變換與與初等行變換初等行變換統(tǒng)統(tǒng) 稱稱為為初等變換初等變換 初等變換的逆變換仍為初等變換初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類且變換類型相同型相同jirr kri 逆變換逆變換;jirr 逆變換逆變換;)1(krkrii 或或jikrr 逆變換逆變換.)(jijikrrrkr 或或等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：；反身性反身性）（AA 1; , 2ABBA則則若若對(duì)稱性對(duì)稱性）（. , 3CACBBA則則若若）傳傳遞遞性性（具有上述三條性質(zhì)

3、的關(guān)系稱為等價(jià)具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)3 3、定義、定義3 3 如果矩陣如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩經(jīng)有限次初等變換變成矩陣陣B，就稱矩陣，就稱矩陣A與與B等價(jià)等價(jià)，記作，記作A B, BAr, BAc引例引例)1(求解線性方程組求解線性方程組 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342分析：用消元法解下列方程組的過程分析：用消元法解下列方程組的過程2 同解方程組同解方程組解解)(1B)1()(2B2 132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxx

4、x13422 132 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342)(3B)(4B , 3, 62, 0, 42444324321xxxxxxxxx13425 221 33 422 , 00, 3, 0, 4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：解得解得 3344321xcxcxcx.3可任意取值可任意取值x, 3, 3, 443231 xxxxx方程組的解為方程組的解為令令,3cx 小結(jié)：小結(jié)：1上述解方程組的方法稱為消元法上述解方程組的方法稱為消元法 2始終把

5、方程組看作一個(gè)整體變形，用到如始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換下三種變換（1）交換方程次序；）交換方程次序；（2）以不等于的數(shù)乘某個(gè)方程；）以不等于的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍倍ij（與相互替換）（與相互替換）（以替換）（以替換）ik ij（以替換）（以替換）ik i3上述三種變換都是可逆的上述三種變換都是可逆的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的故這三種方程組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是同解變換變換是同解變換ji)(A若若),(B)(B則則);(Ajik

6、)(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B則則);(Aik )(B則則).(Ak ji因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過程中，僅僅只對(duì)方程組因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算算若記若記 97963422644121121112)(bAB則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣B(方方程組程組 (1) 的增廣矩陣的增廣矩陣）的變換）的變換用矩陣的初等行變換用矩陣的初等行變換 解方程組（解方程組（2）：）： 97963422644121121112B197963211322111241211B

7、21rr 23 r331000620000111041211B 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 234330635500222041211B 13322rrrr 143rr 23252rrr 243rr 5 00000310003011040101B 310006200001110412113B43rr 342rr 4 00000310000111041211B 43rr 342rr 21rr 32rr 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的方方程程組組為為5B 33443231xxxxx方方程程組組的的解解可可記記作作或或令令,3cx 3344321cccxxxxx 303

8、40111c.為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中c特點(diǎn)：特點(diǎn)：（1）可劃出一）可劃出一條階梯線，線的條階梯線，線的下方全為零；下方全為零；5 00000310003011040101B （2）每個(gè)臺(tái)）每個(gè)臺(tái)階階 只有一行，只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元零元都稱為都稱為行階梯形矩陣行階梯形矩陣4B和和5B矩陣矩陣4、., 和和行行最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)形形變變換換把把他他變變?yōu)闉樾行须A階梯梯形形總總可可經(jīng)經(jīng)過過有有限限次次初初等等行行對(duì)對(duì)于于任任何何矩矩陣陣nmA .,1,

9、 5的其他元素都為零的其他元素都為零且這些非零元所在的列且這些非零元所在的列零行的第一個(gè)非零元為零行的第一個(gè)非零元為即非即非還稱為還稱為行階梯形矩陣行階梯形矩陣 B行最簡(jiǎn)形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣 000003100030110401015 B214ccc 3215334cccc 例如，例如，F(xiàn) 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 00000301003001040001.的的稱稱為為矩矩陣陣矩矩陣陣BF標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形總總可可經(jīng)經(jīng)過過初初等等變變換換化

10、化為為矩矩陣陣 Anm nmrOOOEF .,的行數(shù)的行數(shù)行階梯形矩陣中非零行行階梯形矩陣中非零行就是就是三個(gè)數(shù)唯一確定，其中三個(gè)數(shù)唯一確定，其中此標(biāo)準(zhǔn)形由此標(biāo)準(zhǔn)形由rrnm例例 將下列矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型：將下列矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型： 343122321(1) 341122121221(2)E 0000001000011 1、定義、定義 由單位矩陣由單位矩陣 E 經(jīng)過經(jīng)過一次一次初等變換得到初等變換得到的方陣稱為的方陣稱為初等矩陣初等矩陣. .三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣.矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛.三、初等矩

11、陣的概念三、初等矩陣的概念 行行（列列）上上去去乘乘某某行行（列列）加加到到另另一一以以數(shù)數(shù)乘乘某某行行或或某某列列；以以數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)兩兩行行或或兩兩列列；kk. 30. 2. 1 )(,，得得初初等等方方陣陣兩兩行行，即即中中第第對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)jirrjiE對(duì)調(diào)兩行或兩列對(duì)調(diào)兩行或兩列)1( 1101111011),(jiE行行第第i行行第第 j),(jiE2、三種初等矩陣、三種初等矩陣 0)2(乘乘某某行行或或某某列列以以數(shù)數(shù) k矩陣矩陣得初等得初等行行乘單位矩陣的第乘單位矩陣的第以數(shù)以數(shù), )(0 kriki 1111)(kkiE行行第第i)( kiE上上去去列列加加到到另另一一行行列列乘乘某

12、某行行以以數(shù)數(shù))()()3(k得得到到初初等等矩矩陣陣列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以)()( ijjikccjiEkkrrijEk 1111)(kkijE行行第第i行行第第j)(kijE例例1 以下矩陣是否初等矩陣以下矩陣是否初等矩陣? 100001010)1(A 100011101)2(A 001010100)3(A4、初等矩陣均可逆、初等矩陣均可逆 ; 則則的的逆逆變變換換是是其其本本身身，變變換換jirr ),(),(1jiEjiE ;1則則，的的逆逆變變換換為為變變換換krkrii )1()(1kiEkiE .)(則則，的的逆逆變變

13、換換為為變變換換jijirkrkrr )()(1kijEkijE 3、初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍為初等矩陣、初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍為初等矩陣.四、初等矩陣的應(yīng)用四、初等矩陣的應(yīng)用引例引例 100001010403621252 430612225 403621252100050001 403621252105010001 40330105252 1125136212521 1、定理、定理1 1 設(shè)設(shè) A 是一個(gè)是一個(gè) m n 矩陣矩陣 , 對(duì)對(duì) A 施行一施行一次初等次初等行行變換，相當(dāng)于在變換，相當(dāng)于在 A 的的左左邊乘邊乘以相應(yīng)的以相應(yīng)的 m 階初等矩陣；對(duì)階初等矩陣；對(duì) A 施行一次初等施行一次初

14、等列列變換變換 , 相當(dāng)于相當(dāng)于在在 A 的的右右邊乘以相應(yīng)的邊乘以相應(yīng)的 n 階初等矩陣階初等矩陣. .初等變換初等變換初等矩陣初等矩陣，得得左左乘乘階階初初等等矩矩陣陣用用nmijmaAjiEm )(),( mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE21212111211),(行行第第i行行第第 j).( jirrjiAA行行對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)行行與與第第的的第第把把：施施行行第第一一種種初初等等行行變變換換相相當(dāng)當(dāng)于于對(duì)對(duì)矩矩陣陣，右右乘乘矩矩陣陣階階初初等等矩矩陣陣以以類類似似地地，AjiEnn),( mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111

15、111),().( jiccjiAA列列對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)列列與與第第的的第第把把：施施行行第第一一種種初初等等列列變變換換相相當(dāng)當(dāng)于于對(duì)對(duì)矩矩陣陣；行行的的第第乘乘相相當(dāng)當(dāng)于于以以數(shù)數(shù))(kriAki mnmminiinmaaakakakaaaaAkiE212111211)(行行第第i類類似似地地，左乘矩陣左乘矩陣以以AkiEm)( ).( )(kciAkAkiEin 列列的第的第乘乘相當(dāng)于以數(shù)相當(dāng)于以數(shù)，其結(jié)果，其結(jié)果矩陣矩陣右乘右乘以以，左左乘乘矩矩陣陣以以AkijEm)( mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaakaakaaaaaAkijE2121221111211)().(jikr

16、rikjA 行行上上加加到到第第行行乘乘的的第第把把 ).()(ijnkccjkiAAkijE 列列上上加加到到第第列列乘乘的的第第把把，其其結(jié)結(jié)果果相相當(dāng)當(dāng)于于右右乘乘矩矩陣陣類類似似地地，以以 mnmimjmimnijinijinakaaaaakaaaaakaaaakijAE1222221111111)(.,9874563211000101011000010102AA求求已已知知例例 ,987456321 B設(shè)設(shè)解解,)1(3 , 1()2 , 1(BAEE 則則有有11)1(3 , 1()2 , 1( BEEA即即)1(3 , 1()2 , 1( BEE 987456321B21rr 9

17、8732145613cc 287221256.A 2、定理定理2 2 方陣方陣A可逆的充分必要條件是存在有可逆的充分必要條件是存在有限個(gè)初等方陣限個(gè)初等方陣.,2121llPPPAPPP 使使證證 ( (充分性充分性) ).,2121llPPPAPPP 使使設(shè)設(shè)存存在在初初等等矩矩陣陣,初初等等矩矩陣陣可可逆逆.可可逆逆A( (必要性必要性) )nrOOOEFAA 的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形為為且且設(shè)設(shè)可可逆逆設(shè)設(shè), AF則則,AF為為經(jīng)經(jīng)有有限限次次初初等等變變換換可可變變即即使使即存在有限個(gè)初等方陣即存在有限個(gè)初等方陣,21lPPPAPFPPPPlss 121,21均均可可逆逆lPPPA,可可逆逆F

18、,nr ,EF 即即lrrPEPPPPA121 .21lPPP 3、推論推論1 1 方陣方陣A可逆的充分必要條件是可逆的充分必要條件是. AEr證證可逆的充要條件是可逆的充要條件是A使使存在有限個(gè)初等方陣存在有限個(gè)初等方陣,21lPPP.21lPPPA .21EPPPAl 即即.AE化為化為可經(jīng)有限次初等行變換可經(jīng)有限次初等行變換即即. AEr即即推論推論 方陣方陣A可逆的充分必要條件是可逆的充分必要條件是. AEc1 4 4、推論、推論2 2., BPAQQnPmBAnm 使使階可逆方陣階可逆方陣及及可逆方陣可逆方陣階階的充要條件是存在的充要條件是存在矩陣矩陣5、利用初等行變換求逆陣的方法：利用初等行變換求逆陣的方法：，有有時(shí)時(shí)，由由當(dāng)當(dāng)lPPPAA21 0 ,11111EAPPPll , 111111 AEPPPll及及 EPPPAPPPllll1111111111, 1, AE EAPPPll, 11111 ., ,),(2 1 AEEAEAnn就變成就變成原來的原來的時(shí)時(shí)變