幾種常見(jiàn)概率分布

1、第五章第五章 幾種常見(jiàn)的概率分布律幾種常見(jiàn)的概率分布律主要內(nèi)容：第一節(jié)二項(xiàng)分布第一節(jié)二項(xiàng)分布第二節(jié)泊松分布第二節(jié)泊松分布第三節(jié)正態(tài)分布第三節(jié)正態(tài)分布一、貝努利試驗(yàn)及其概率公式一、貝努利試驗(yàn)及其概率公式（一）獨(dú)立試驗(yàn)和貝努利試驗(yàn)（一）獨(dú)立試驗(yàn)和貝努利試驗(yàn) 對(duì)于n次獨(dú)立的試驗(yàn)，如果每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)且只出現(xiàn)對(duì)立事件 與 之一; 在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)A的概率是常數(shù)p（0p0,q0,p+q=1）,則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記為( ),0,1,2.,xxnxnnPxp qxnC()( ),0,1,2.,xxnxnnnPXxPxp qxnC),(pnBx（二）二項(xiàng)分布的性質(zhì)（二）二項(xiàng)分布的性質(zhì)二

2、項(xiàng)分布是一種離散型隨機(jī)變量的概率分布，由n和p兩個(gè)參數(shù)決定，參數(shù)n稱為離散參數(shù)離散參數(shù)，只能取正整數(shù)；p是連續(xù)參數(shù)連續(xù)參數(shù)，取值為0與1之間的任何數(shù)值。 二項(xiàng)分布具有概率分布的一切性質(zhì)，即： （x=0,1,2,n） 二項(xiàng)分布的概率之和等于1，即：()( )0nP XxPx0()1nxxnxnnxC p qqp上面 是二項(xiàng)分布概率的基本性質(zhì)； 是我們?cè)谶\(yùn)算中經(jīng)常要根據(jù)題目要求運(yùn)算時(shí)要應(yīng)用到的，要注意理解。0()()mxxnxnnxP XmPxmC p q()()nxxnxnnxmP XmPxmC p q21121212()()()mxxn xnnx mP mXmP mxmC p qmm 三、二項(xiàng)

3、分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差三、二項(xiàng)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差 統(tǒng)計(jì)學(xué)證明，服從二項(xiàng)分布B(n,p)的隨機(jī)變量之平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與參數(shù)n、p有如下關(guān)系： npqnp四、二項(xiàng)分布的概率計(jì)算及其應(yīng)用條件四、二項(xiàng)分布的概率計(jì)算及其應(yīng)用條件（一）概率計(jì)算（一）概率計(jì)算 二項(xiàng)分布的概率計(jì)算，可以直接利用二項(xiàng)概率公式進(jìn)行。把時(shí)間A發(fā)生的次數(shù)k代入公式即可求得對(duì)應(yīng)的概率。 例例 有一批種蛋，其孵化率為0.85，今在該批種蛋中任選6枚進(jìn)行孵化，試給出孵化出小雞的各種可能情況的概率。 這個(gè)問(wèn)題屬于貝努里模型，其中 ，孵化6枚種蛋孵出的小雞數(shù)x服從二項(xiàng)分布 .其中x的可能取值為0，1，2，3，4，5，6。85. 0, 6pn15

4、. 085. 01q)85. 0 , 6(B00001139.0)15.0()15.0()85.0()0(660066 CP00038728. 0)15. 0()85. 0( 6)15. 0()85. 0() 1 (51161166CP00548648. 0)15. 0()85. 0(15)15. 0()85. 0() 2(42262266CP04145344. 0)15. 0()85. 0(20)15. 0()85. 0() 3 (33363366CP17617711. 0)15. 0()85. 0(15)15. 0()85. 0() 4(24464466CP39933478. 0)15.

5、0()85. 0(6)15. 0()85. 0()5(15565566CP37714952.0)85.0()15.0()85.0()6(6066666CP思考：求至少孵出3只小雞的概率是多少？孵出的小雞數(shù)在2-5只之間的概率是多大？其中：應(yīng)用條件：應(yīng)用條件： n個(gè)觀察單位的觀察結(jié)果互相獨(dú)立觀察結(jié)果互相獨(dú)立; 各觀察單位只具有互相對(duì)立的一種結(jié)果只具有互相對(duì)立的一種結(jié)果，如陽(yáng)性或 陰性，生存或死亡等，屬于二項(xiàng)分類資料。 已知發(fā)生某一結(jié)果已知發(fā)生某一結(jié)果(如死亡) 的概率為的概率為p p，其對(duì)立結(jié)果的概率則為1-P=q，實(shí)際中要求p 是從大量觀察中獲得的比較穩(wěn)定的數(shù)值。 泊松分布是一種可以用來(lái)描述和

6、分析隨機(jī)地發(fā)生在單位空間或時(shí)間里的稀有事件稀有事件的分布。所謂稀有事件即為小概率事件。要觀察到這類事件，樣本含量n必須很大 。在生物、醫(yī)學(xué)研究中，服從泊松分布的隨機(jī)變量是常見(jiàn)的。 由于泊松分布是描述小概率事件的，二項(xiàng)分布中p很小，n很大時(shí)，可使用泊松分布 泊松分布常用于描述在某一指定時(shí)間內(nèi)或在某一指定范圍內(nèi)，源源不斷出現(xiàn)的稀有事件個(gè)數(shù)的分布。 例如，120急救中心每天接到要求服務(wù)的呼叫次數(shù)；每天到達(dá)機(jī)場(chǎng)的飛機(jī)數(shù)；在早上（7：00 8：00）交通高峰期間通過(guò)某一道口的機(jī)動(dòng)車數(shù)；紡織品在單位面積上的疵點(diǎn)數(shù)等等。 一、泊松分布的意義一、泊松分布的意義（一）定義（一）定義 若隨機(jī)變量X(X=x)只取零

7、和正整數(shù)值，且其概率分布為 其中x=0，1，；0;e=2.7182是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布記為X XP(P() )。（二）特征（二）特征 泊松分布作為一種離散型隨機(jī)變量的概率分布有一個(gè)重要的特征。這就是它的平均數(shù)平均數(shù)和方差方差相等，都等于常數(shù)都等于常數(shù) ，即=2 2= = 。利用這一特征， 可以初步判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從泊松分布()!xP Xxex二、泊松分布的概率計(jì)算二、泊松分布的概率計(jì)算 是是泊松分布所依賴的唯一參數(shù)所依賴的唯一參數(shù)。泊松分布的概率計(jì)算，只要參數(shù)確定了，問(wèn)題就解決了。把x=0,1,2,代入公式即可求得各項(xiàng)的概率。但是在大多數(shù)服從泊松分布的實(shí)例中，分布

8、參數(shù)往往是未知的，只能從所觀察的隨機(jī)樣本中計(jì)算出相應(yīng)從所觀察的隨機(jī)樣本中計(jì)算出相應(yīng)的樣本平均數(shù)作為的樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值的估計(jì)值。 例例 我們調(diào)查了200個(gè)奶牛場(chǎng)，統(tǒng)計(jì)各場(chǎng)某10年內(nèi)出現(xiàn)的怪胎（如缺皮癥，全身無(wú)毛等）的頭數(shù)，然后以怪胎頭數(shù)把200個(gè)奶牛場(chǎng)分類，統(tǒng)計(jì)每類中奶牛場(chǎng)數(shù)目，結(jié)果如下：試研究10年內(nèi)母牛怪胎數(shù)的概率分布。1010年內(nèi)母牛產(chǎn)怪胎次數(shù)年內(nèi)母牛產(chǎn)怪胎次數(shù)（m m）0 01 12 23 34 4總總 計(jì)計(jì)奶牛場(chǎng)數(shù)（奶牛場(chǎng)數(shù)（f f）1091096565 2222 3 31 1200200先假設(shè)假設(shè)母牛產(chǎn)怪胎數(shù)的概率分布為泊松分布。根據(jù)觀察結(jié)果計(jì)算每一奶牛場(chǎng)10年內(nèi)母牛產(chǎn)怪胎的平

9、均數(shù) ，根據(jù)加權(quán)法可得： 用 =0.61估計(jì) ，代入 計(jì)算當(dāng)m=0,1,2,3,4時(shí)的概率和理論次數(shù)怪胎數(shù)（怪胎數(shù)（m m）0 01 12 23 34 4總總 計(jì)計(jì)實(shí)際次數(shù)實(shí)際次數(shù)（f f）109109656522223 31 1200200概概 率（理論）率（理論）0.54340.54340.33140.33140.10110.10110.0200.0206 60.00310.00310.99960.9996理理 論論 次次 數(shù)數(shù)108.68108.6866.2866.2820.2220.224.124.120.620.62199.92199.92xx61. 0200143322216501

10、09nfxx()!xP Xxex 下面我們?cè)賮?lái)證實(shí)我們所得的資料是否具有泊松分布的特征。 已經(jīng)計(jì)算出 =0.61，樣本方差計(jì)算如下， 與很接近，這正是泊松分布所具有的特征611. 0199200/122413322216501091/)(222222222nnfmfmSxx2S一、正態(tài)分布的定義及其特征一、正態(tài)分布的定義及其特征（一）定義（一）定義 若連續(xù)性隨機(jī)變量若連續(xù)性隨機(jī)變量X X的概率分布密度函數(shù)為：的概率分布密度函數(shù)為： 其中，其中，為平均數(shù)，為平均數(shù)，2 2 為方差，則稱隨機(jī)變量為方差，則稱隨機(jī)變量服從服從正態(tài)分布正態(tài)分布, ,記為記為N(N(, ,2 2).).相應(yīng)的概率分布函數(shù)

11、為相應(yīng)的概率分布函數(shù)為0,21)(222)(xexfxxxexF222)(21)(（二）特征（二）特征正態(tài)分布密度曲線是以= 為對(duì)稱軸的單峰、對(duì)稱單峰、對(duì)稱的懸鐘形；懸鐘形；f(x)在=處達(dá)到極大值,極大值為f(x)是非負(fù)數(shù)，以x軸為漸進(jìn)線；曲線在 處各有一個(gè)拐點(diǎn)；正態(tài)分布正態(tài)分布密度函數(shù)曲線密度函數(shù)曲線 21)(f正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。是位置參位置參數(shù)數(shù)，是變異度參數(shù)變異度參數(shù)。分布密度曲線與橫軸所夾的面積為1，即：正態(tài)分布正態(tài)分布密度函數(shù)曲線密度函數(shù)曲線 121)(222)(dxexPx 相同而相同而不同的三個(gè)正態(tài)總體不同的三個(gè)正態(tài)總體 相同而相同而不同的三個(gè)正態(tài)總體不同的

12、三個(gè)正態(tài)總體二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布standard normal distribution（一）定義（一）定義 由于正態(tài)分布是依賴于參數(shù) 和（或）的一簇分布，造成研究具體正態(tài)總體時(shí)的不便。因此將一般的(,2)轉(zhuǎn)換為=0, =0, 2 2=1=1的正態(tài)分布，則稱=0, =0, 2 2=1=1的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)如下：若隨機(jī)變量U U服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作U(0, 1)dee222221)(,21)(（二）標(biāo)準(zhǔn)化的方法（二）標(biāo)準(zhǔn)化的方法 對(duì)于任何一個(gè)服從正態(tài)分布(,2)的隨機(jī)變量X ，都可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化變換：u=(- )/ 即減平均數(shù)后

13、再減平均數(shù)后再除以標(biāo)準(zhǔn)差除以標(biāo)準(zhǔn)差，將其變換為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。 對(duì)不同的u及P(Uu)值編成函數(shù)表，稱為正態(tài)分布表，從中可以查到任意一個(gè)區(qū)間內(nèi)曲線下的面積，即為概率。三、正態(tài)分布的概率計(jì)算三、正態(tài)分布的概率計(jì)算（一）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算（一）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算 設(shè)U服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則u落在u1,u2內(nèi)的概率dueuuuPuuu21222121)(duedueuuuu1222222121)()(12uu可由附表查得與而)()(12uu99. 0)58. 258. 2(95. 0)96. 196. 1(9973. 0) 33(9545. 0)22(6826. 0) 11(uPu

14、PuPuPuP99. 0)58. 258. 2(95. 0)96. 196. 1(9973. 0)33(9545. 0)22(6826. 0)(uPuPuPuPuP應(yīng)熟記的幾種標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率應(yīng)熟記的幾種標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率（二）一般正態(tài)分布的概率計(jì)算（二）一般正態(tài)分布的概率計(jì)算 將區(qū)間的上下限標(biāo)準(zhǔn)化將區(qū)間的上下限標(biāo)準(zhǔn)化，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量落在1,2內(nèi)的概率，等于服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量落在 的概率。然后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率表查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率表 例例 若服從=30.26,2 =5.102的正態(tài)分布，試求P(21.64x32.98)。 令u=(-30.26)/5.10,則u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

15、，故/,/21xx21.64 30.2630.2632.98 30.26(21.6432.98)()5.105.105.10( 1.600.53)(0.53)( 1.69)0.6564xPxPPu （三）雙側(cè)（兩尾）概率與單側(cè)（一尾）概率（三）雙側(cè)（兩尾）概率與單側(cè)（一尾）概率隨機(jī)變量x落在平均數(shù)加減不同倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間之外的概率稱為雙側(cè)概率（兩尾概率）雙側(cè)概率（兩尾概率），記作 對(duì)應(yīng)于雙側(cè)概率可以求得隨機(jī)變量x小于-k或大于+k的概率，稱為單側(cè)概率（一尾概率）單側(cè)概率（一尾概率），記作/2 如x落在(-1.96,+1.96) 之外的雙側(cè)概率為0.05，而單側(cè)概率為0.025。即025. 0)9

16、6. 1()96. 1(005. 0)58. 2()58. 2(xPxPxPxP)()(kxPkxP2/)()(kxPkxP標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)雙側(cè)分位數(shù)的查法：附表附表3 3 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ) 1 , 0( Nu2uuuu（雙側(cè)）表示 的上側(cè)臨界值表示 的下側(cè)臨界值或表示 的雙側(cè)臨界值正態(tài)分布正態(tài)分布密度函數(shù)曲線密度函數(shù)曲線 為雙側(cè)臨界值為雙側(cè)概率，其中uuuuPuuP0)(1)( 例例 假設(shè) ，求下列概率： 1. ； 2. ； 3. ； 4. 。 解解 1. 2. 3. 4. 如果 ，則 于是，在正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度f(wàn)(x)和(u) 、分布函數(shù)F(x) 和(u) 之間存在下列關(guān)系式： 這就是說(shuō)，計(jì)算任一正態(tài)分布隨機(jī)變量的概率都能通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來(lái)實(shí)現(xiàn)。 正態(tài)分布在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究及應(yīng)用中具有極其重要的作用，它在各種概率分布中居首要地位，是抽樣和抽樣分布的理論基礎(chǔ)。這是因?yàn)椋?1.客觀世界的許多現(xiàn)象都可以利用正態(tài)分布來(lái)近似地描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。例如，人的身高和體重等，都可以看作是具有“兩頭小，中間大”分布特征的隨機(jī)變量，一般可以認(rèn)為是近似服從正態(tài)分布的。 2.正態(tài)分布是許多重要分布的極限分布。例如可以用正態(tài)分布來(lái)近似二項(xiàng)分布。 3.正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)推斷中有重要的應(yīng)用。例如t分布，F(xiàn)分布和 分布都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的函數(shù)。四、三種重要的概率