例某系統(tǒng)的結構圖如圖所示試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)_第1頁
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1、1例1.某系統(tǒng)的結構圖如圖所示。試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 。 sRsC總總 復復 習習 題題21.解:3456 1sRsCsG所以提示:提示:本題用等效變換法做較復雜。主要困難可能出現(xiàn)在分支點和相加點互相移動時(本例中的第一步變換),其移動的思路大致是:(參考圖a)當原圖的反饋點(即分支點)A前移到 點時, 點的反饋值比在A點反饋少了 ,為了保證變換的等效性,需在相加點 處加以補償,大小為 ,于是有了圖a。下例的變換也是這個思路,碰到這類分支點和相加點需要相互移動的題目,可用梅遜公式求解較為簡單。 AA sRsB sRs71k2ka例2. 圖(a)為系統(tǒng)結構圖,圖(b)為某典型單位階躍響應。試確定,

2、和 的值。08 . 0t0 . 218. 2 ty(b)(a)系統(tǒng)結構圖 (b)階躍響應曲線8 2221kasskksRsY skasskksRkasskksY122212221 21limlim122210kskasskkstyyst nnssassksG222aknn222所以又因為所以2. 解: 因為921%9%1002218. 2%e608. 0218 . 0nptsradn946. 4據題意知解得解得463.2422k014. 6946. 4608. 022na提示:提示:該例顯示了由動態(tài)性能指標求系統(tǒng)參數(shù)的方法。故10例3. 系統(tǒng)的結構圖如圖所示,試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若不穩(wěn)定求在S

3、右半 平面的極點數(shù)。11 22245ssss02245sss系統(tǒng)的特征方程為看出特征方程的系數(shù)不全為正,所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。為了求出S右半平面的極點數(shù),列勞斯陣如下: 2016200080202101012345ssssss0224s第三行元素全為零,對輔助方程求導得083s3. 解:系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為12 可用8,0替換第三行0,0;第四行第一列元素為零;用小正數(shù) 替換0,繼續(xù)排列勞斯陣。 勞斯陣第一列元素變號一次,說明特征方程有一個正根。勞斯陣有一行元素全為零,說明可能有大小相等、符號相反的實根;或一對共軛虛根;或對稱于虛軸的兩對共軛復根。解輔助方程得:0112224jsjssss011

4、2jsjssss這樣特征方程可寫為1sjs js1s2s可見,系統(tǒng)在S右半平面有一個根 ,在虛軸上有兩個根 , ,在S左半平面有兩個根 , 。,提示:該例顯示了用勞斯判據是系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。討論了兩種特殊情況 (勞斯陣某行元素全為零和第一列某元素為零)下勞斯陣的組成方法。13 sG0106423sss例4.閉環(huán)控制系統(tǒng)的結構圖如圖所示。試求滿足下列兩個條件的三階開環(huán)傳遞函 數(shù) ,應滿足的條件: (1)由單位階躍函數(shù)輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差為零; (2) 閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 。14 sGssGsRsE111 011lim0sGssesss由題意知穩(wěn)態(tài)誤差為 sGs0lim sG cbsassksG2

5、 kcsbsasksGsGs231所以設則閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為則 分母的常數(shù)項應為零。4. 解:由單位階躍引起的誤差sskcsbsas1a4b6c10k 21046G ss ss特征方程式為比較系數(shù)得即,16 500520000ssssG%st試計算閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能指標 和 。例5. 某單位反饋隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為175. 解:這是一個高階系統(tǒng),我們注意到極點離虛軸的距離較極點離虛軸遠的 多,這個極點對閉環(huán)系統(tǒng)瞬態(tài)性能的影響很小,因此,可以忽略該極點, 而使系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)。近似原則如下: 保持系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值不變; 瞬態(tài)性能變化不大。根據這個原則,原開環(huán)傳遞函數(shù)近

6、似為 5401500540500520000sssssssssG 2222240540nnnsssss近似后的閉環(huán)傳遞函數(shù)為18395. 0325. 652402nnn所以%26%100%21e時當時當26 . 1452 . 13nnst提示:提示:該例顯示了高階系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)的方法,請注意近似原則。則1901. 0例6已知系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡和反饋通路的零、極點分布如圖的(a)和(b)所示, 試確定閉環(huán)存在重極點情況下的閉環(huán)傳遞函數(shù),此時反饋通路根軌跡 增益為 。 sH圖 根軌跡和 的零、極點分布20212ssskGH21kkk1k2k 122ssksH其中 , 為前向通路的根軌跡增益; 為反

7、饋通路的根軌跡增益。6. 解:由圖(a)可知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為由圖(b)知因此,系統(tǒng)結構如圖所示。09. 0618. 1618. 0382. 02122sssk由幅值條件知,分離點處2101. 02k91k由已知條件知在分離點處因此,有2 mn382. 02382. 021s236. 11s由 ,可知閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和,將分離點 代入得09. 0k382. 0382. 0236. 1 由此可知,當 時,閉環(huán)系統(tǒng)有重根極點,且三個極點為 , 和 ,于是 221382. 0236. 119382. 0236. 11ssssssks22提示提示:(1)系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益為前向通路根軌跡增

8、益和反饋通路根軌跡 增益的乘積。 (2)系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡增益等于前向通路的根軌跡增益。 (3)系統(tǒng)的閉環(huán)零點由前向通路傳遞函數(shù)的零點和反饋通路傳遞函 數(shù)的極點所組成。23 42sssksGkk5 . 0k例7已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(1)畫出系統(tǒng)的根軌跡;(2)確定系統(tǒng)呈阻尼振蕩瞬態(tài)響應的 值范圍;(3)求產生持續(xù)等幅振蕩時的 值和振蕩頻率;(4)求主導復數(shù)極點具有阻尼比為 時的 值和閉環(huán)極點。244, 2, 02342a0, 2312180ka于是,漸近線與實軸交點為 。7. 解:(1)畫根軌跡 該系統(tǒng)有三條根軌跡,開環(huán)極點為 。 求漸近線0k60a1k180a當 時當 時 1sP 4

9、2ssssQ 0sQsPsQsP, 求分離點:由開環(huán)傳遞函數(shù)知 , 代入方程081232ss有25155. 122, 1s155. 31s845. 02s901 . 3422222sssk不在根軌跡上,舍去。分離角為 。根據幅值條件可求出分離點處的增益,是分離點, 08623kssssfkskskss0123648681 根軌跡與虛軸的交點 特征方程為勞斯表為2648k04862s83. 22, 1js當 時,輔助方程為解得根軌跡如圖所示。27481 . 3 k(2)當 時,系統(tǒng)閉環(huán)主導極點為一對共軛復數(shù)極點,系統(tǒng)瞬態(tài)響應為 欠阻尼狀態(tài),階躍響應呈阻尼振蕩形式。48k83. 2n(3)當 時,

10、系統(tǒng)有一對共軛虛根,系統(tǒng)產生持續(xù)等幅振蕩, 。605 . 0cos160138. 1675. 02, 1js(4)阻尼角 ,解方程或由圖可知阻尼角為 的主導極點2 mn 686. 442213sss634. 842111sssk根據幅值條件知由于 ,因此閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和,另一個閉環(huán)極點為28例8. 最小相角系統(tǒng)對數(shù)幅頻漸近特性如圖所示,請確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。29lg20)(vL0v8. 解:由圖知在低頻段漸近線斜率為0,因為最小交接頻率前的低頻段 ,故 。漸近特性為分段線性函數(shù),在各交接頻率處, 漸近特性斜率發(fā)生變化。 1 . 0decdB20處斜率變化 ,屬一階微分環(huán)節(jié)。 1decdB202decdB203decdB204decdB20在 處斜率變化 ,屬慣性環(huán)節(jié)。在 處斜率變化 ,屬慣性環(huán)節(jié)。在 處斜率變化 ,屬慣性環(huán)節(jié)。在 處斜率變化 ,屬慣性環(huán)節(jié)。30 111111 . 04321sssssKsG因此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有下述形式4321,K式中, 待定 30lg20K62.31105 . 1K由 得 。k)(,AAL)(,BBL因漸近線特性為折線,相鄰的兩交接頻率間,漸近特性為直線,故若設斜率為 , 、 、為該直線上的兩點,則有直線方程BABAkLLlglg)()(或BABALLklglg)()(3111lg101 . 0lglg3040

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