樣條曲線插值法

1、逆向工程中曲線和曲面的重構(gòu)方法主要內(nèi)容： 曲線擬合的一般方法 均勻B樣條曲線的擬合方法 曲面重構(gòu)的方法 一雙3次B樣條曲面的重構(gòu)方法 曲線擬合就是用一條(或一組)理論鹽線去模擬一條(或一組)實(shí)驗(yàn)曲線。因此，曲線擬合有兩大任務(wù)：第一是解決用什么樣的函數(shù)表達(dá)式(即理論曲線)去描述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)即確定數(shù)學(xué)模式問(wèn)題；第二是在函數(shù)表達(dá)式確定之后，如何計(jì)算表達(dá)式中的參數(shù)問(wèn)題。擬合可以分為插值和逼近兩種方式。使用插值方法擬合曲面通過(guò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，適合于測(cè)量設(shè)各精度高，數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)比較精確的場(chǎng)合：使用逼近的方法所擬合的曲面不一定通過(guò)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，適用于測(cè)量數(shù)據(jù)較多，測(cè)量數(shù)據(jù)含噪聲較高的情況。 在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)中

2、得到了廣泛的應(yīng)用的方法有：Bezier法，均勻B樣條法，NURBS法等。 B樣條曲線擬合的核心思想： 1)對(duì)給定的型值點(diǎn)進(jìn)行局部逼近，而非插值。 2)相鄰的逼近曲線之間的連續(xù)性有一定的要求。 均勻B樣條函數(shù)的定義： 設(shè)空間有一序列點(diǎn)P(j=1,2， n)，被一組曲線所逼近，要求每個(gè)曲線段的形狀僅由點(diǎn)列中的k個(gè)順序排列的點(diǎn)所控制，則第j曲線段具有下列形式： 其中函數(shù) 中， 為多項(xiàng)式的未定系數(shù)。 可以看出， 一個(gè)k-1次多項(xiàng)式， 也是個(gè)k-1次多項(xiàng)式。每個(gè) 需要k個(gè)條件來(lái)確定，而 共有k個(gè)這樣的基函數(shù)，所以 共需要kk=k2個(gè)約束條件。 B樣條曲線主要具有的性質(zhì)有：局部支承性、遞推性、規(guī)范性、可微

3、性。 常用的二次與三次B樣條的圖形如圖23中所示。三次均勻B樣條曲線: 一段封閉的三次B樣條曲線輪廓如圖25所示。圖中共有n個(gè)控制點(diǎn) ,構(gòu)成了n條分段連接的曲線段s(t)，相鄰曲線段間的連接點(diǎn)P即為結(jié)點(diǎn)。 對(duì)于每一條曲線段墨Si(t)(ot1)，可表示為相鄰的四個(gè)控制點(diǎn)Vi,Vi+1,Vi+2,Vi+3與三次B樣條基函數(shù)乘積的線性組合，即 寫(xiě)成和式為 曲線段置Si(t)與對(duì)應(yīng)的控制多邊形如圖26中所示。 每一段曲線的兩端點(diǎn)Si(o)與Si(1)即對(duì)應(yīng)于B樣條曲線上的結(jié)點(diǎn)Pi與Pi+1,且在端點(diǎn)處為C2連續(xù)的。有上述方程可知，分段連接點(diǎn)及其各階導(dǎo)矢與控制頂點(diǎn)的關(guān)系為 因此曲線段S可按如下幾何作圖求出。 三次均勻B樣條曲線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)均不在多邊形的邊上，但曲線仍落在四個(gè)控制頂點(diǎn)所形成的凸包內(nèi)。曲面的重構(gòu)方法： 對(duì)于一雙三次B樣條曲面片的示意圖如圖28中所示。 對(duì)于常用的雙三次B樣條曲面片，由包含16個(gè)頂點(diǎn)的控制網(wǎng)格定義，令控制網(wǎng)格為P： 設(shè)首先按上述網(wǎng)格V中的行構(gòu)造v向的曲線，則可得到四條B樣條曲線Qi(V)： 當(dāng)參數(shù)v在o，1內(nèi)取值v1時(shí)，則可分別在曲線Q0(V)，Q1(V)，Q2(V)和Q3(v)上得到四個(gè)點(diǎn)q0,q1,q2,q3。若以該四點(diǎn)作為新的特征多邊形頂點(diǎn)再構(gòu)造u向的B樣條曲線P(u，v1)： 則P(u，v1)為