李雅普諾夫第二法

1、第4章 穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法 李氏第二法（直接法）：通過構(gòu)造李氏函數(shù)，從能量的角李氏第二法（直接法）：通過構(gòu)造李氏函數(shù)，從能量的角度直接判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。度直接判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。逐漸衰減至最小值逐漸衰減至最小值漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定儲(chǔ)能不變儲(chǔ)能不變李氏穩(wěn)定李氏穩(wěn)定儲(chǔ)能越來越大儲(chǔ)能越來越大不穩(wěn)定不穩(wěn)定系統(tǒng)被激勵(lì)系統(tǒng)被激勵(lì)隨時(shí)間隨時(shí)間對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，如果能夠找到一個(gè)正定的標(biāo)量對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，如果能夠找到一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)函數(shù)V(x)（廣義能量函數(shù)）（廣義能量函數(shù)）, ,顯然可以根據(jù)該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)顯然可以根據(jù)該函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 來確定能量隨著時(shí)間的推移是減小的，還是增加的，或者是來確定能量隨著時(shí)間的推移是減

2、小的，還是增加的，或者是保持不變的。保持不變的。( )V x平平衡衡處處是是否否穩(wěn)穩(wěn)定定。系系統(tǒng)統(tǒng)在在的的符符號(hào)號(hào)性性質(zhì)質(zhì)來來直直接接判判斷斷及及李李氏氏直直接接法法：利利用用)x(V)x(V（3） ，則稱 是負(fù)定的。 1. 標(biāo)量函數(shù)符號(hào)性質(zhì)標(biāo)量函數(shù)符號(hào)性質(zhì)設(shè) 是向量 x 的標(biāo)量函數(shù)，且在 x=0 處，恒有 對(duì)所有在定義域中的任何非零向量 x，如果成立：( )V x(0)0V ，( )0V x ( )V x4.3.1 4.3.1 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)（1） ，則稱 是正定的。( )V x 0( )V x（2） ，則稱 是半正定(非負(fù)定)的。( )0V x ( )V x（4） ，則稱 是半負(fù)定(非正

3、定)的。( )0V x ( )V x（5） ，或 則稱 是不定的。( )0V x ( )V x( )0V x 例 設(shè)22122) ( )V xxx221231) ( )()V xxxx123Txxxx）是半正定的。（，所以）（也使），（，有，而且對(duì)非零向量）（因?yàn)閤VxVa-axxV0, 0000T）是半正定的。（，所以）（也使），（，有，而且對(duì)非零向量）（因?yàn)閤VxVa00 xxV0, 000T2. 二次型標(biāo)量函數(shù)個(gè)變量，為，設(shè)nxxx n21二次型標(biāo)量函數(shù)可寫為11121121222121( )nTnnnnnpppxppxV xx Pxxxxppx12221122312323110( )2

4、110001xV xxx xxxxxxxx其中，P為實(shí)對(duì)稱矩陣。例如：二次型函數(shù)，若P為實(shí)對(duì)稱陣，則必存在正交矩陣T，通過變換 ，使之化為：xTx1221( )()0 0TTTTTTnTiiinV xx Pxx T PTxxT PT xx Pxxxx此稱為二次型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型， 為P的特征值，則 正定的充要條件是P的特征值 均大于0。ii( )V x矩陣P的符號(hào)性質(zhì)定義如下：設(shè) P 為nn實(shí)對(duì)稱陣， 為由 P 決定的二次型函數(shù)，則（1） 正定，則 P 正定矩陣，記為 P0;（2） 負(fù)定，則 P 負(fù)定矩陣，記為 P0;（3） 半正定，則 P 半正定矩陣，記為 P0;（4） 半負(fù)定，則 P 半負(fù)定矩

5、陣，記為 P0;( )TV xx Px( )V x( )V x( )V x( )V x3、希爾維斯特判據(jù)設(shè)實(shí)對(duì)稱陣 為其各階順序主子式，即矩陣P或V(x)定號(hào)性的充要條件是：1112121221,nijjinnnpppppPppppi111211122122,npppPpp (2)若 ，則 P 負(fù)定；(1)若 ， 則 P 正定；(3)若 ，則 P 半正定；(4)若 ，則 P 半負(fù)定；0 (1,2, )iin 0(0(iii為偶數(shù))為奇數(shù))0(0(iii=1,2, ,n-1)=n)0(0(iiii為偶數(shù))0 為奇數(shù))=n) 解：二次型 可以寫為1T123231012( )141211xV xx

6、Pxxxxxx010 04111010121414022 16 1 100211 0)(xV( )V x,2221231 2231 3( )104224V xxxxx xx xx x 例 證明如下二次型函數(shù)是正定的?？梢姶硕涡秃瘮?shù)是正定的，即 ( ), xf x( )V x( )V x0,ex ()0ef x( )V xex ( ), xf x( )V xx ( )V x ( )V x0,ex ()0ef x( )V xex( )V x0( )0 x t( )V x 則平衡狀態(tài) 是的。( ), xf x( )V x( )V x0,ex ()0ef x( )V xex說明：說明：( )0V x

7、 ( )V xC( )V x( )V xCC)x(V 2x1xex0 xC)x(V 2x1xex0 x 解: 顯然，原點(diǎn) 是系統(tǒng)平衡點(diǎn)， 取 ，則又因?yàn)楫?dāng) 時(shí)， 有 ，所以系統(tǒng)在原點(diǎn)處是大范圍漸近穩(wěn)定的。e0 x 2212( )0V xxxx ( )V x 22221 1221211221212222222121122121222212( )222 ()2()22()22()2()V xx xx xx xx xxxxx xxx xxxxx xxxxxx 例4-4 已知系統(tǒng)試用李雅普諾夫第二方法判斷其穩(wěn)定性。22121122221212()()xxx xxxxx xx 00 x10 x2【例 4

8、-5】已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程，試分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：線性系統(tǒng)，故 是其唯一平衡點(diǎn)。將矩陣形式的狀態(tài)方程展開得到： 取標(biāo)量函數(shù)(李雅譜諾夫函數(shù))：0111xx0ex 12212xxxxx 2212( )0V xxx21 1222( )( )2220dV xV xx xx xxdt 且當(dāng) 時(shí)， ，x ( )V x 半負(fù)定，不恒為0，漸近穩(wěn)定。所以系統(tǒng)在其原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。12212xxxxx 12212xxxxx 另選一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)：22212121( )()22V xxxxx2212121 12212( )()()2()V xxxxxx xx xxx 當(dāng) 時(shí)， ，所以系統(tǒng)在其原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。x ( )V x 解: 系統(tǒng)具有唯一的平衡點(diǎn) 。取 則于是知系統(tǒng)在原點(diǎn)處不穩(wěn)定。 e0 x 2212( )0V xxx221 12212( )222()0V xx xx xxx例4-8 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)在其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。112212xxxxxx 4.3.3 對(duì)李雅譜諾夫函數(shù)的討論（1） V(x)是正定的標(biāo)量函數(shù)，V(x)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；（2）并不是對(duì)所有的系統(tǒng)都能找到V(x