數(shù)字信息處理第2章

1、第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析1/86第第2 2章章 離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析2.1 Z2.1 Z變換的定義及收斂域變換的定義及收斂域2.2 Z2.2 Z反變換反變換2.3 Z2.3 Z變換的性質(zhì)與定理變換的性質(zhì)與定理2.4 Z2.4 Z變換與拉普拉斯變換、傅里葉變換變換與拉普拉斯變換、傅里葉變換的關(guān)系的關(guān)系2.52.5傅里葉變換的定義及性質(zhì)傅里葉變換的定義及性質(zhì)2.62.6利用利用Z Z變換求解差分方程變換求解差分方程2.72.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)第第2 2章章離散時間信

2、號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析2/86 在離散時間信號與系統(tǒng)中， 變換法是變換域分析法中最重要的一種。 變換在離散時間信號與系統(tǒng)中的作用就如同拉普拉斯變換在連續(xù)時間信號與系統(tǒng)中的作用。它把描述離散時間系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)方程，使其求解大大簡化。 變換的概念可以從理想抽樣信號的拉普拉斯變換引出，也可以在離散域直接給出。zzz第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析3/862.1變換的定義及收斂域2.1.1 z變換的定義 一個序列 的 變換定義為 其中， 是一個連續(xù)復(fù)變量，也就是說， 變換是在復(fù)頻域內(nèi)對離散時間信號與系統(tǒng)進(jìn)行分析。由定義可

3、見， 是一個復(fù)變量 的冪級數(shù)。亦可將 變換表示成算子的形式： nxz xnznxzXzzzz nxZzX第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析4/86基于此， 變換算子可以看作是將序列 變換為函數(shù) ，二者之間的相應(yīng)關(guān)系可記為由式（2.1.1）所定義的z變換稱為雙邊z變換，與此相對應(yīng)的單邊z變換則定義為 （2.1.2）顯然，只有 為因果序列（即 ）時，其單邊z變換與雙邊z變換才是相等的。z nx zX zXnxz nnznxzX nx 0, 0nnx第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析5/862.1.2 z變換的收斂域1 1、

4、收斂域的定義、收斂域的定義 由定義式，只有冪級數(shù)收斂時，z變換才有意義。對于任意給定的序列 ，使其z變換所定義的冪級數(shù) 收斂的所有z值的集合稱為 的收斂域。 收斂的充分且必要條件是絕對可和收斂的充分且必要條件是絕對可和，即 nx nnznx zX nnnnznxznx第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析6/86 為使上式成立，就須確定 取值的范圍，即收斂域。由于 為復(fù)數(shù)的模，則可以想象出收斂域?yàn)橐粓A環(huán)狀區(qū)域，即 zzRzR其中， 、 稱為收斂半徑，可以小到0，而 可以大到 。式（2.1.4）的 平面表示如圖2.1.1所示。RRRR圖2.1.1 環(huán)狀收斂域jI

5、m（z）Re（z）RR0第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析7/86 常見的一類z變換是有理函數(shù)，即使 的那些z值稱為 的零點(diǎn)，而使 的那些z值稱為 的極點(diǎn)。零點(diǎn)、極點(diǎn)也可能包含 處的點(diǎn)。由于 在收斂域內(nèi)是解析函數(shù)，所以，收斂域內(nèi)不包含極點(diǎn)。所以，收斂域內(nèi)不包含極點(diǎn)。 zQzPzX 0zX zX zX zXz zX第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析8/862、序列形式與其、序列形式與其z變換收斂域的關(guān)系變換收斂域的關(guān)系 每一項(xiàng)都有界則必有（1） 為有限長序列為有限長序列 其它, 0,21nnnnxnx 21nnnnnnz

6、nxznxzX 21,nnnznxn若21,nnnzn nx第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析9/86第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析10/86 當(dāng) 、 時，顯然在 內(nèi)的z值都滿足該條件，收斂域?yàn)槌ピc(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的z平面，如圖2.1.1(b)陰影區(qū)域所示。 當(dāng) 、 時，除去原點(diǎn)外的z值都滿足條件，收斂域?yàn)槌ピc(diǎn)的 z平面，即 ； 當(dāng) 、 時，除去無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的z值都滿足條件，收斂域?yàn)槌o窮點(diǎn)的z平面， ； 特殊的，當(dāng) 、 時，收斂域?yàn)檎麄€z平面，即 。01n02n z001n02n z002n01n z001n02

7、n z0第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析11/86)(2nx 11, 0,nnnnnxnx 1nnnznxzX（2） 為右邊序列為右邊序列 nx 當(dāng) 時， 為z的負(fù)冪級數(shù)，根據(jù)級數(shù)理論，存在一個收斂半徑 ， 在以原點(diǎn)為中心、 為半徑的圓外處處收斂，即收斂域?yàn)?。此時的 為因果序列，因此， 在無窮遠(yuǎn)處收斂是因果序列的特征；01n zXR zXRzR nx zX第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析12/86 當(dāng) 時， 可寫為 上式右端第一項(xiàng)是（1）中討論過的有限長序列的z變換，其收斂域?yàn)?；第二項(xiàng)為 的負(fù)冪級數(shù)，同樣其收斂

8、域?yàn)?。因此， 的收斂域?yàn)槎叩闹丿B區(qū)域，即 ，如圖2.1.3(b)陰影區(qū)域所示。01n zX 0111nnnnnnnnznxznxznxzX z0 zXzR zXzR第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析13/86第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析14/86（3 3） 為左邊序列為左邊序列 nx 22, 0,nnnnnxnx 2nnnznxzX 當(dāng) 時， 為z的正冪級數(shù)，根據(jù)級數(shù)理論，必存在一個最大收斂半徑 ， 在以原點(diǎn)為中心、 為半徑的圓內(nèi)處收斂，即收斂為 ； 02n zXR zXRRz0第第2 2章章離散時間信號與系

9、統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析15/86 當(dāng) 時， 可寫為上式右端第一項(xiàng)為z的正冪級數(shù)，同樣其收斂域?yàn)?；第二項(xiàng)為（1）中討論過的有限長序列的z變換，其收斂域?yàn)?。因此， 的收斂域?yàn)槎叩闹丿B區(qū)域 。02n zXRz0 2210nnnnnnnnznxznxznxzXRz0 z0 zX第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析16/86第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析17/86（4 4） 為雙邊序列為雙邊序列 nx 10nnnnnnznxznxznxzX通過（2）、（3）中的討論可知，上式第一項(xiàng)為右邊序列(因果序列

10、)，其收斂域?yàn)?；第二項(xiàng)為左邊序列，其收斂域?yàn)?；若 ，則取交集得到雙邊序列的收斂域?yàn)?，這是一個環(huán)形的收斂域。如圖2.1.5(b)陰影區(qū)域所示。 Rz Rz RRRzR第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析18/86第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析19/86)(nx1n2n01n02n z001n02n z001n02n z001n2nzR01n2nzR1n02nRz01n02nRz01n2nRzR)(nx1n2n01n02n z001n02n z001n02n z001n2nzR01n2nzR1n02nRz01n02

11、nRz01n2nRzR表2.1.1 序列的形式與z變換收斂域的關(guān)系第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析20/862.1.3 常用序列的z變換（1）單位抽樣序列( )( )x nn z 變換1)()()(0zznnZzXnn收斂域?yàn)檎麄€z平面第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析21/861z（2）單位階躍序列)()(nunxz 變換11 210( )( )1()()nnnnnX zu n zzzzz 當(dāng) ，即 有11z1z111)(1zzzzX 的零點(diǎn)為 ，極點(diǎn)為 。( )X z0z1z第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散

12、時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析22/86（3）單位斜變序列)()(nnunx1011zznn1z2120)1()1 ()(zznznn1z22110) 1()1 ()(zzzznzzXnn1z由（2)中討論可知 將上式兩邊對z求導(dǎo)得兩邊同乘以-z得 的z變換)(nx第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析23/86當(dāng)，即（4）右邊指數(shù)序列)()(nuanxn這是一個右邊序列，其z變換為111 2100( )( )()1()()nnnnnnnnnX za u n za zazazazaz 當(dāng) ，即 時，有 11azaz azzazzX111)(az 零點(diǎn)為 ，

13、極點(diǎn)為( )X z0zaz 第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析24/86（5）左邊指數(shù)序列) 1()(nuanxn這是一個左邊序列，其z變換為111121( )(1)()()nnnnnnnnnnX za unza zaza za za z 當(dāng) ，即 時，有 11a zaz azzzazazX111)( 零點(diǎn)為 ，極點(diǎn)為( )X z0zaz 第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析25/86z（6）雙邊指數(shù)序列) 1()()(nubnuanxnn(0)ba該序列的z變換00101) 1()()()(nnnnnnnnnnnnnn

14、nnnnzbzazbzaznubnuaznxzXbzaz ,若 ，則上面的級數(shù)收斂，得到bzzazzbzbazzzX1)(bza第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析26/86)(zX)(zXz 該序列的雙邊z變換的零點(diǎn)位于 及 ，極點(diǎn)位于 與 處。前已提及,z變換的收斂域內(nèi)不應(yīng)該包含任何極點(diǎn)。由上述分析進(jìn)一步看出， 的收斂域內(nèi)確實(shí)不包含任何極點(diǎn)。通常收斂域以極點(diǎn)為邊界，對于多個極點(diǎn)的情況：1）右邊序列z變換的收斂域一定在模值最大極點(diǎn)所在的圓外，可能包含 ；2）左邊序列z變換的收斂域一定在模最小的極點(diǎn)所在的圓內(nèi)，可能包含 。0z2bazaz bz zXz0z第

15、第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析27/862.2 z2.2 z反變換反變換 與連續(xù)時間系統(tǒng)中的拉普拉斯變換類似，在離散時間系統(tǒng)中，應(yīng)用z變換的目的是為了把描述系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)換為復(fù)變量z的代數(shù)方程，然后寫出離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（z域傳遞函數(shù)）、做某種運(yùn)算處理，再用z反變換求出離散時間系統(tǒng)的時間響應(yīng)。第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析28/862.2.1部分分式展開法 在連續(xù)時間信號與系統(tǒng)中，曾用部分分式展開法求解拉普拉斯逆變換，同樣在離散時間信號與系統(tǒng)中，當(dāng) 的表達(dá)式為有理分式時，z反變換也可以用部分分式展開法求取。首先

16、將 分解成多個部分分式之和，然后對各部分分式求z反變換，則所求序列 就是各部分分式的z反變換之和。在求各部分分式z反變換時，可利用表2.1.2中的基本z變換對。)(zX)(zX)(nx第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析29/86表示成有理分式形式 展成以下部分分式形式 式中，若 時，才存在整式部分系數(shù) （即上式右邊第一項(xiàng)），可用長除法得到，而當(dāng) 時， ； 為 的各一階極點(diǎn)； 為 的一個 s階極點(diǎn)。依據(jù)留數(shù)定理，可求得系數(shù) , 分別為iNiiMiiizazbzQzPzX101)()()(skkiksNkkkNMnnnzzCzzAzBzX11110)1 (1)

17、(NM nBNM 0nBkz)(zXiz)(zXkAkC第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析30/86skzzXzzdzdksCsNkzzXzzzzXsAikkzzsikskskzzkzzk, 2 , 1,)()()!(1, 2 , 1,)()()(Re第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析31/86例例 2.2.1 2.2.1 已知 利用部分分式展開法求z反變換 。22)2)(1(2)(zzzzX2z)(nx2)() 1(1zzzXzA2212)2(21)2)(1(2)(zCzCzAzzzzzX 解：解：第第2 2章章離散

18、時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析32/862)()2(221zzzXzdzdC4)()2(222zzzXzC所以2)2(42212)(zzzzzzzX考慮 收斂域知 應(yīng)為右邊序列。查表2.1.2中的z變換對，得所求序列為)(zX)(nx)()2()2(2) 1(2)(1nunnxnnn第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析33/86例例 2.2.2 已知 ， 利用部分分式展開法求z反變換 。 )6(5)(2zzzzX32 z)(nx32)3)(2(5)(21zAzAzzzzX解1)()2(21zzzXzA1)()3(31zzzXzA第第2

19、 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析34/86則32)(zzzzzX上式第一項(xiàng)只有極點(diǎn) ，由收斂域中 可知，該項(xiàng)的反變換應(yīng)為右邊因果序列，則2z3znzzZ)3(310n，第二項(xiàng)只有極點(diǎn) ，同樣由收斂域中 可知，該項(xiàng)的反變換應(yīng)為左邊序列，則 ， 3z3znzzZ)3(311n第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析35/86所以，所求序列為1,)3(0,2)(nnnxnn或?qū)懗? 1() 3()(2)(nununxnn 由以上分析可見，在求z反變換時，一定要考慮收斂域，注意區(qū)別哪些極點(diǎn)對應(yīng)右邊序列，哪些極點(diǎn)對應(yīng)左邊序列。第第2 2章

20、章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析36/862.2.2 冪級數(shù)展開法 前面已經(jīng)提到， 為 的冪級數(shù)，即 由此可見，在給定的收斂域內(nèi)，如果將 展開為冪級數(shù)，那么 項(xiàng)的系數(shù)就是序列 。將 展開為冪級數(shù)常用的方法有兩種。)(zX1z2102)2() 1 ()0() 1()2()()(zxzxzxzxzxznxzXnn)(zXnz)(nx)(zX)(nx第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析37/86 1）按冪級數(shù)公式展開）按冪級數(shù)公式展開 這種方法是運(yùn)用已經(jīng)熟知的冪級數(shù)展開公式完成對 的展開，往往多用于 是超越函數(shù)的情況，如 是對數(shù)、雙曲正

21、弦等，這些函數(shù)的冪級數(shù)展開公式大多已有表格可查。下面通過例子對其進(jìn)行說明。)(zX)(zX)(zX第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析38/86例例 2.2.3 2.2.3 求 ， 的反變換 。 解: 依據(jù)冪級數(shù)展開公式 ， 以及 中的 （由收斂域得到），可得由上式看到， 項(xiàng)的系數(shù)是 ，又由收斂域的形式得知， 是一個右邊序列，則所求 為)1ln()(1azzXaz )(nx11) 1()1ln(nnnnxx11x)(zX11az111) 1()1ln()(nnnnnzaazzXnznann 1) 1()(nx)(nx0, 01,) 1()(1nnnanxnn

22、第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析39/862）長除法）長除法 一般為有理分式，用 的分母多項(xiàng)式去除分子多項(xiàng)式就可得到其冪級數(shù)形式。在做長除之前，首先應(yīng)該根據(jù) 的ROC判斷 是右邊序列，還是左邊序列，然后決定將 展開z的降冪級數(shù)或升冪級數(shù)。觀察z變換的定義式 ，若 是右邊序列，當(dāng) 時,z的冪逐漸減小，則此時，應(yīng)該將 展開z的降冪級數(shù)；若 是左邊序列，當(dāng) 時，z的冪逐漸增加，則應(yīng)該將 展開z的升冪級數(shù)。)(zX)(zX)(zX)(nx)(zXnnznxzX)()(n)(zX)(nxn)(zX第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域

23、分析40/86例例2.2.22.2.2 試用長除法求 ， 的z 反變換 。 解 由表達(dá)式知， 只有一個極點(diǎn) ，且收斂域 在極點(diǎn)所在圓的外部，所以 應(yīng)為右邊序列，則應(yīng)將 展開成z的降冪級數(shù)。運(yùn)用長除法得111)(azzXaz )(nx)(zXaz az )(nx)(zX第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析41/86即所以 。2211111)(zaazazzX)()(nuanxn第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析42/86例例2.2.32.2.3 試用長除法求 ， 的z反變換 。 解 因?yàn)槭諗坑驗(yàn)榄h(huán)狀，所以所求序列為雙邊序列

24、。對于雙邊序列可先將其分解為右邊序列和左邊序列，所以先將 展開成部分分式再長除。)41)(4()(2zzzzX441 z)(nx)(zX414)41)(4()(21zAzAzzzzzX第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析43/86根據(jù)式（2.2.3）求系數(shù) 、 則1A2A15141441)()41(15164144)()4(41241zzzzXzAzzXzA( )16/151/15144X zzzz第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析44/86所以 為)(zX121611161( )()( )( )1115 41515 4

25、1544zzzzX zXzXzzzzz)(zX 觀察 的收斂域可知，上式的第一項(xiàng)對應(yīng)左邊序列，第二項(xiàng)對應(yīng)右邊序列。分別運(yùn)用長除法如下：第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析45/86即zzzzzzX441664)(23451第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析46/86641641)(3212zzzzX 的冪級數(shù)形式為所以z反變換 為)(zX54312321( )(41)156416441664zzzzzzX zzz )(nx21(4),115( )11( ),015 4nnnx nn 第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散

26、時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析47/862.2.3. 圍線積分法(留數(shù)法) 除了以上討論的求解z反變換的兩種方法外，z反變換也可以用反演積分來計(jì)算。現(xiàn)在用復(fù)變函數(shù)理論來研究 的反變換。 對z變換定義式兩端同乘以 ，得對上式兩端進(jìn)行圍線積分，可得)(zX1kz11)()(knnkznxzzX cknnckdzznxjdzzzXj11)(21)(21第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析48/86其中c是一條位于 收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的逆時針圍線。若級數(shù)收斂，交換上式右端的積分與求和次序，得 依據(jù)柯西積分定理 則綜合得)(zXcknnckdzzjnxdzzzXj1

27、121)()(21knkndzzjckn,0, 1211第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析49/86)()(211kxdzzzXjck將上式的變量k用n代換，得 （2.2.7）這就是圍線積分的z反變換公式。cndzzzXjnx1)(21)(第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析50/86 直接計(jì)算式（2.2.7）的圍線積分比較復(fù)雜，當(dāng) 是有理分式時，通常都采用留數(shù)定理來求解。若 是被積函數(shù) 位于c內(nèi)的所有極點(diǎn)，則按照留數(shù)定理，有1)(nzzXkz1)(nzzX111( )( )Re ( )2knnzzckx nXz zdz

28、s Xz zj第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析51/86若 是被積函數(shù) 位于c外的所有極點(diǎn)，且 分母多項(xiàng)式z的階次比分子多項(xiàng)式z的階次高兩階或兩階以上，則按照留數(shù)輔助定理，有 實(shí)際使用中，具體選用哪一個，取決于計(jì)算的簡便性，一般選用計(jì)算一階極點(diǎn)留數(shù)的那一個。mz1)(nzzX1)(nzzX111( )( )Re ( )2mnnzzcmx nXz zdzs Xz zj 第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析52/86 若 是 的一階極點(diǎn)，則有 若 是 的多重（s階極點(diǎn)），則有kz1)(nzzX11Re( )()( )kkn

29、nkz zz zs X z zzzX z zkz1)(nzzX11111Re( )()( )(1)!kksnsnksz zz zds X z zzzX z zsdz需要注意的是，在使用上述兩式時，一定要計(jì)算 出 位于c內(nèi)或c外的所有可能的極點(diǎn)處的留數(shù)，而且，當(dāng)n取值不同時， 處極點(diǎn)的階次可能會發(fā)生變化。1)(nzzX0z第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析53/86例例2.2.4 求 ， 的反變換。解 的反變換為由于收斂域?yàn)?，所以 應(yīng)為因果序列，當(dāng) 時， 不是 的極點(diǎn)。所以，在收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的圍線c內(nèi)只有一階極點(diǎn) 、 ，則)5 . 0)(1()(2zzz

30、zX)(nx1z( )X z1( )Re(1)(0.5)knkz zzx nszz1z0n0z1(1)(0.5)nzzz1z5 . 0z第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析54/86110.50.5Re(0.5)0.5(1)(0.5)(1)(0.5)nnnzzzzszzzzz 由此得所求序列為( )2(0.5)( )nx nu n1111Re(1)2(1)(0.5)(1)(0.5)nnzzzzszzzzz第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析55/86例2.2.5 試用留數(shù)法求 ， 的z反變換 。解解 c為 收斂域內(nèi)的圍線，

31、如圖2.2.1所示。)41)(4()(2zzzzX441 z)(nxkzzncnkzzzsdzzzzjnx)41)(4(Re)41)(4(21)(11( )X z第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析56/86 當(dāng) 時，圍線c內(nèi)只有一個一階極點(diǎn) ，則 當(dāng) 時，圍線c外只有一個一階極點(diǎn) ，而c內(nèi)有一個一階極點(diǎn) 以及 階極點(diǎn) ，而且1n41z1,)41(151)41)(4()41(Re)(411nzzzzsnxnzn2n4z41z) 1( n0z)41)(4(1zzzn第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析57/862,)4(15

32、1)41)(4()4(Re)(241nzzzzsnxnzn綜合上述分析，得可見，與例2.2.3結(jié)果相同。2,)4(1511,)41(151)(2nnnxnn第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析58/862.3 2.3 變換的性質(zhì)與定理變換的性質(zhì)與定理 在研究離散時間信號與系統(tǒng)過程中，理解并掌握z變換的一些常用性質(zhì)與定理是特別重要的。這些性質(zhì)往往與z變換對結(jié)合起來用，使z變換與z反變換的求解過程得到簡化。第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析59/861.線性性質(zhì)線性性質(zhì) z變換是一種線性變換，滿足均勻性與疊加性，即若 則對于

33、任意常數(shù)a、b下式成立： 收斂域一般是 和 收斂域的重疊部分。若在這些組合過程中，某些零點(diǎn)與極點(diǎn)相抵消，則收斂域有可能擴(kuò)大。Z ( )( ),xxx nX zRzRZ ( )( ),yyy nY zRzR),min(),max(),()()()(yxyxRRzRRzbYzaXnbynaxZ)()(zbYzaX)(zX)(zY第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析60/86例例2.3.1 已知 ，求其z變換。解 依據(jù)歐拉公式，得由題知， 是一個右邊因果序列。查表2.1.2可知 )()cos()(0nunnx0001cos() ( ) ( )2jnjnn u ne

34、eu n)(nx11( ),1nZ a u nzaaz第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析61/86由此得 綜合上述分析，得所求z變換為 00011(),11jnjjZ eu nzeez00011( ),11jnjjZ eu nzeez00011111cos() ( ),12 11jjZn u nzezez第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析62/862移位性質(zhì)移位性質(zhì)1）雙邊）雙邊z變換變換 若序列 的雙邊z變換為 ， 則移位m后的序列 的雙邊z變換為 ， 其中m為任意整數(shù)，若m為正，則為右移（延遲）；若m為負(fù)，則為左移

35、（超前）。)(nxZ ( )( )x nX zxxRzR)(mnxZ ()( )mx nmzX zxxRzR第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析63/86證明 依據(jù)雙邊z變換的定義，可得 可以看出，序列位移只會使新序列的z變換在 或 處的零極點(diǎn)情況發(fā)生變化：當(dāng) m為正時，在 處引入極點(diǎn)，在 處引入零點(diǎn)；當(dāng)m為負(fù)時，在 處引入極點(diǎn)，在 處引入零點(diǎn)。也就是說， 的收斂域與 的收斂域相同， 或 可能除外。)()()()(zXzzkxzzmnxmnxZmkkmnn0zz0zzz0zZ ()x nm( )X z0zz第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)

36、的Z Z域分析域分析64/86 例如， 的收斂域?yàn)檎麄€z平面，而 在 處不收斂， 在 處不收斂。但如果 是雙邊序列， 的收斂域?yàn)榄h(huán)形區(qū)域，則序列位移并不會使z變換收斂域發(fā)生變化。Z ( ) 1nZ (1)nzz1Z (1)nz0z)(zX第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析65/862) 單邊單邊z變換變換 設(shè)序列 的單邊z變換為 ，則 右移k與左移k（k為正整數(shù)）后新序列的單邊 變換分別為 )(nx)(zX)(nx()01 ()()( )( )( )nk mnmkknnkZ x nkx nk zx m zzX zx n z010 ()()( )( )( )

37、nk mnm kkknnZ x nkx nk zx m zzX zx n z第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析66/86 （2.3.7） 如果 是因果序列，則 項(xiàng)都等于零，而且由于因果序列的單邊z變換與雙邊z變換是相同的，于是因果序列右移后的單邊z變換為 而因果序列左移后的單邊z變換為)(nx1( )nnkx n z)()()(zXzzXzknxZkk10 ()( )( )kknnZ x nkzXzx n z第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析67/86)(nx由于在實(shí)際中，需處理的信號大多是因果序列，除了移位性質(zhì)，以外

38、，雙邊z變換的性質(zhì)大多都適用于單邊z變換。 另外，從以上分析可知，若序列 延遲一個單位，即 ，新序列的z變換多乘一個 ，所以，在后續(xù)內(nèi)容中，繪制信號流圖時常用 表示單位延遲。)(nx) 1( nx1z1z第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析68/86例例2.3.2 求序列 的z變換。 解 查表2.1.2可知依據(jù)移位性質(zhì)得因此，依據(jù)線性性質(zhì)得所求為( )( )(3)x nu nu n ( ),11zZ u nzz23 (3) ( ),11zZ u nz Z u nzz2221 ( ),111zzzzZ x nzzzz第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信

39、號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析69/863.序列指數(shù)加權(quán)性質(zhì)（序列指數(shù)加權(quán)性質(zhì)（z域尺度變換）域尺度變換） 此性質(zhì)描述了序列 乘以指數(shù) 后，其z變換如何變化。若 ， 則有 其中a為常數(shù)，可以為復(fù)數(shù)?？梢娦蛄衳(n)乘以實(shí)指數(shù)序列等效于z平面尺度展縮。 證明證明 依據(jù) 定義得 ， 即收斂域?yàn)?。)(nxna)()(zXnxZxxRzRxxnRazRaazXnxaZ),()( )( )( )( )( )nnnnnnzzZ a x na x n zx nXaaxxzRRaxxa Rza R第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析70/860jnae 依據(jù)這一性質(zhì)可見，新

40、序列z變換的零極點(diǎn)的位置均改變了。這是因?yàn)槿绻?有一個零點(diǎn)或極點(diǎn) 處，則 一定有一個零點(diǎn)或極點(diǎn)在 ，即 處。也就是說在z域發(fā)生了尺度變換。若a為正實(shí)數(shù)，則表示零極點(diǎn)位置在z平面內(nèi)沿徑向收縮或擴(kuò)展；若 ，則表示零極點(diǎn)在z平面內(nèi)圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個角度 。( )X zkzz( )zXakzzakzaz0jnae第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析71/864.序列的線性加權(quán)序列的線性加權(quán)(z域微分域微分) 若 則有證明證明 將z定義式 兩端對z求導(dǎo)得即xxRzRzXnxZ, )()(xxRzRzXdzdznnxZ, )()( )( )nnX zx n z11( )(

41、 )( )()( )( )nnnnnnnndX zddx n zx nzdzdzdznx n zznx n z ( )( )dX zZ nx nzdz 第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析72/86例例2.3.3 求 ， 的z反變換。 解 將 兩端對z求導(dǎo)得則查表2.1.2知 ， 依據(jù)移位性質(zhì)得 再依據(jù)z域微分性質(zhì)知 綜合上述兩式，得 即所求序列為 1( )ln(1)X zazza1( )ln(1)X zaz21( )1dX zazdzaz21( )()( )1zndX zaaau nzdzaz za11( )()(1)1zndX zazaau nzdzaz

42、 1( )( )1zdX zaznx nzdzaz 1( )()(1)nnx naau n1()(1)( )naau nx nn第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析73/865.共軛序列共軛序列 若 ，則有 其中， 為 的共軛序列。 證明 xxRzRzXnxZ, )()(xxRzRzXnxZ，)()(*)(*nx)(nxxxnnnnnnRzRzXznxznxznxnxZ，)()()()()(*第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析74/866.反褶序列反褶序列 若 ，則有 從上式可見， 的收斂域是 收斂域的倒置。證明證明即收

43、斂域?yàn)?。xxRzRzXnxZ, )()(xxRzRzXnxZ11, )1()()( nx )(nxxxnnnnnnRzRzXznxznxznxnxZ11)1()()()()(，xxRzR11第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析75/86例例2.3.4 求 的z變換。 解 由題可見， 是序列 的反褶序列，查表2.1.2知 ， 則依據(jù)反褶性質(zhì)得所求z變換為 ， ( )()nx na un( )()nx na un( )na u n11( )1nZ a u nazza1( )(1)1nX zZ a u naz1za第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與

44、系統(tǒng)的Z Z域分析域分析76/867.初值定理初值定理 若 是因果序列，則其初值為 證明證明 依據(jù)z變換定義顯然 由初值定理可以看出，若 是因果序列，則根據(jù) 就可求得 ；反過來，若因果序列 的初值為一個有限值，則其z變換 分子多項(xiàng)式z的階次一定小于等于分母多項(xiàng)式z的階次。( )x n)(lim)0(zXxz120( )( ) ( )( )(0)(1)(2)nnnnX zx n u n zx n zxxzxzlim( )(0)zX zx( )x n)(zX)0(x( )x n)(zX第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析77/868. 終值定理終值定理 對于因果

45、序列 ，若 的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，且只允許單位圓上最多在 處有一階極點(diǎn)，則有 證明 依據(jù)序列移位性質(zhì)得因?yàn)?是因果序列，所以 ( )x n( ) ( )X zZ x n1z 11)(Re)() 1(lim)(limzznzXszXznx (1)( )(1)( ) (1)( )nnZ x nx nzX zx nx n z( )x n11(1)( ) (1)( )lim (1)( )nnmnnmzX zx nx n zx mx m z第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析78/86) 1( z又由于只允許 在z=1處可能有一階極點(diǎn)，故因子 將抵消這一極點(diǎn)，因此 在 上

46、收斂，所以可取z1的極限。所以 ( )X z) 1( z)() 1(zXz z111lim(1)( )lim (1)( )lim (0)0 (1)(0) (1)( )lim (1)lim ( )nmznmnnnzX zx mx mxxxx nx nx nx n1lim(1)( )lim ( )znzX zx n第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析79/86 顯然，只有極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，當(dāng) 時 才收斂，才可應(yīng)用終值定理。該定理又可寫為即通過 可求得 的終值。n( )x n1( )Re ( )zxs X z )(zX( )x n第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離

47、散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析80/869.有限項(xiàng)累加特性有限項(xiàng)累加特性 對于因果序列 ，若 ， ，則有 證明 令 ，顯然 也為因果序列，則依據(jù)定義得( )x n( ) ( )X zZ x nxzR0( )( ),max,11nxmzZx mX zzRz0( )( )nmy nx m( )y n000 ( )( )( )nnnmnmZ y nZx mx m z 第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析81/86由此可知n、m的取值范圍分別為 ，如圖2.3.1所示，交換求和次序，得收斂域?yàn)榈谝淮吻蠛徒Y(jié)果 的收斂域 及 收斂域 的重疊部分。0,),0, nmn

48、 1max),(1)(1111)()1 ()()()()(00110210000， xmmmmmmmmnnnnnmnmRzzXzzzmxzzzmxzzzmxzmxzmxmxZ111 z1z( )X zxzR第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析82/8610.序列的卷積和序列的卷積和(時域卷積定理時域卷積定理) 若 ； ，則 的z變換為 ( ) ( ),xxX zZ x nRzR( ) ( ),hhH zZ h nRzR( )( )( )y nx nh n( ) ( ) ( )( )( )( ),max,min,xhxhY zZ y nZ x nh nX z

49、H zRRzRR Y(z)的收斂域是X(z)和H(z)收斂域的重疊部分。但如果位于某一z變換收斂域邊緣上的極點(diǎn)被另一z變換的零點(diǎn)抵消，則收斂域?qū)U(kuò)大。第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析83/86證明證明 ( )( ) ( )( )nnZ x nh nx nh n z( ) ()( )()( )( )( )( )( )( ),max,min,nnmnmnkmmkmmxhxhx m h nm zx mh nm zx mh k zzx m zH zX z H zRRzRR 第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析84/86 可見

50、兩序列在時域中的卷積對應(yīng)于在z域中兩序列z變換的乘積。在分析離散線性移不變系統(tǒng)中，時域卷積定理特別重要。如果x(n)與h(n)分別為線性移不變離散系統(tǒng)的激勵和單位抽樣響應(yīng)，那么在求系統(tǒng)的響應(yīng)時y(n)時，可以避免卷積運(yùn)算，通過X(z)H(z)的逆變換求出y(n)，在很多情況下，這樣會更方便些。第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析85/86例例2.3.3 已知 ， 求 。 解 、 的z變換分別為則依據(jù)時域卷積定理，得 ， 1( )( ), ( )( )(1),nnnx na u n h nb u nabu nba( )( )( )y nx nh n( )x n

51、( )h n( ) ( ),zX zZ x nzaza1( ) ( ),zzzazaH zZ h nazzbzbzbzbzbzb( )( )( )zzazY zX z H zza zbzbzb第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析86/86( )Y z上式中 的極點(diǎn)與 的零點(diǎn)相消， 的收斂域擴(kuò)大為 ，所以( )X z( )H z( )Y z1( )( )( ) ( )( )ny nx nh nZY zb u n第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析87/8611.序列相乘序列相乘(z域卷積定理域卷積定理) 若 ； ， ， 則

52、的z變換為 , (2.3.16) 其中, c是在啞元變量v平面上， 、 公共收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時針封閉圍線。( ) ( ),xxX zZ x nRzR( ) ( )H zZ h nnnRzR( )( ) ( )y nx n h ndvvvzHvXjdvvvHvzXjnyZzYcc11)()(21)()(21)()(nxnxRRzRR( / )X z v( )H v第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析88/86例例2.3.4 已知 ， 求 。 解：解： 1( )( ), ( )(1)nnx na u n h nbu n( ) ( ) ( )Y zZ x

53、n h ndvbvzavvjdvbvzavvjnhnxZzYcc)(21121)()()(abz 第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析89/86 的收斂域?yàn)?，而 的收斂域?yàn)?，即 ，則重疊部分為 ；因此圍線c內(nèi)只有一個極點(diǎn) ，用留數(shù)計(jì)算可得 ( )X vva( )zHvzbvzvbzavb.,)(Re)(21)(abzabzabvzvbvzavvsdvbvzavvjzYavavc第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析90/8612.帕塞瓦爾帕塞瓦爾(parseval)定理定理 若 且 ，則 (2.3.17)其中“*”表示復(fù)

54、共軛，閉合積分圍線c位于 與 收斂域的重疊部分內(nèi)（證明從略）。( ) ( ),( ) ( ),xxhhX zZ x nRzRH zZ h nRzR；，1xnxnR RR R dvvvHvXjnhnxcn1*)1()(21)()()(vX)1(*vH第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析91/86說明說明 ：這表明序列的能量可用頻譜求得。這就是帕塞瓦爾公式（定理）。為實(shí)序列時，則）當(dāng)（dvvvHvxjnhnxnhcn1)1()(21)()()(111/,1( )( )()()2jjjnvvvex n hnX eHed（2）當(dāng)圍線取單位圓時，因?yàn)閯t。22( )(

55、)1( )()2jnh nx nx nX ed（3）當(dāng)時，則第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析92/862.4 z2.4 z變換與拉普拉斯變換、傅里變換與拉普拉斯變換、傅里葉變換的關(guān)系葉變換的關(guān)系 z變換與拉普拉斯變換、傅里葉變換之間有著密切的聯(lián)系，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)換。本節(jié)詳細(xì)分析三者之間的關(guān)系。第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析93/862.4.1 z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系1.序列序列z變換與理想抽樣信號的拉普拉斯變換的關(guān)系變換與理想抽樣信號的拉普拉斯變換的關(guān)系 設(shè) 為連續(xù)時間信號， 為其理想抽樣信號，則 的

56、拉普拉斯變換為 (2.4.1)(tx)( tx)( tx nnnsTnTsnststnstenTxenTxdtnTtenTxdtenTtnTxdtetxtxLsX)()()()()()()( )( )(第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析94/86而序列 的z變換為 考慮 ，則 時，序列 的z變換就等于理想抽樣信號的拉普拉斯變換。即 )(nxnnznxzX)()()()(nTxnxsTez )(nx( )()( )sTsTz eX zX eX s第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析95/86二者的關(guān)系，實(shí)際上就是由復(fù)變量s

57、平面到復(fù)變量z平面的映射，其映射關(guān)系為 ， 現(xiàn)在進(jìn)一步討論這一映射關(guān)系。將s用直角坐標(biāo)形式表示為而z用極坐標(biāo)形式表示為綜合考慮以上三式，得即 sTez zTsln1sj jrez TjTjeere.,TreT 第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析96/86由此可見，z的模 僅對應(yīng)于s的實(shí)部 ，而z的相角 僅對應(yīng)于s虛部的 。下面具體分析s平面與z平面的映射關(guān)系。 （1） 與與 的映射關(guān)系的映射關(guān)系 依據(jù) 知， （s平面的虛軸）映射為 （z平面單位圓）； （s平面的左半平面）映射為 （z平面的單位圓內(nèi)部）； （s平面的右半平面）映射為 （z平面的單位圓外部）。

58、其映射關(guān)系如圖2.4.1所示。rrTer01r01r01r第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析97/86圖2.4.1 與 的映射關(guān)系r第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析98/86（2) 2) 與與 的映射關(guān)系的映射關(guān)系依據(jù) 知：T (s平面的實(shí)軸)映射為 (z平面的正實(shí)軸)； 00 (常數(shù))(s平面上平行實(shí)軸的直線)映射為 （z平面上始于原點(diǎn)輻角為 的射線）；0 0T T0 由 增加到 ，對應(yīng)于 由 增加到 ，即s平面為 的一個水平條帶對應(yīng)于z平面輻角由 到 轉(zhuǎn)了一周，也就是覆蓋了整個z平面。 TT2T第第2 2章章離散

59、時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析99/86 實(shí)際上， 每增加一個 ，則 相應(yīng)地增加一個 ，也就是說，s平面平面上寬度為 的各個水平條帶都映射為同一個z平面，如圖2.4.2所示。2T22T圖 2.4.2 與 的映射關(guān)系第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析100/862. 序列序列z變換與連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換的關(guān)系變換與連續(xù)時間信號的拉普拉斯變換的關(guān)系 熟悉了s平面和z平面的映射關(guān)系，就可以通過理想抽樣所提供的橋梁，找到序列x(n)的z變換X(z)與連續(xù)時間信號 的拉普拉斯變換 之間的關(guān)系。 是 的周期延拓，即 )(sX)(sXksj

60、ksXTsX)(1)(112( )( )()()sTsz ekkX zX sX sjkX sjkTTT與與 的關(guān)系為的關(guān)系為 )(zX)(sX第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分析域分析101/862.4.2 z變換和傅里葉變換的關(guān)系 我們知道，傅里葉變換可以看作是拉普拉斯變換在虛軸 的特例,因而映射到z平面上為單位圓 ，即 這就是說，序列在單位圓上的序列在單位圓上的z變換變換,就等于理想抽樣就等于理想抽樣信號的傅里葉變換信號的傅里葉變換。 jsTjez( )()()j Tj Tz eX zX eX j第第2 2章章離散時間信號與系統(tǒng)的離散時間信號與系統(tǒng)的Z Z域分