正交試驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析方法

1、2022-3-22第二章第二章 實(shí)驗(yàn)結(jié)果的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析方法統(tǒng)計(jì)分析方法方差分析法方差分析法第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-22方差分析方差分析所要解決的問(wèn)題所要解決的問(wèn)題：各影響因素對(duì)結(jié)果影響程度的相對(duì)大??；各影響因素對(duì)結(jié)果影響程度的相對(duì)大?。桓饔绊懸蛩亻g是否存在相互作用；各影響因素間是否存在相互作用；實(shí)驗(yàn)條件如何優(yōu)化。實(shí)驗(yàn)條件如何優(yōu)化。通常稱多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的差異為通常稱多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的差異為變差變差，變差一般用，變差一般用偏差平偏差平方和方和表示。各因素形成的偏差平方和恰好等于總偏差平方和，表示。各因素形成的偏差平方和恰好等于總偏差平方和，即偏差平方和具有即偏差平方和具

2、有加和性加和性，這是建立方差分析的基礎(chǔ)。，這是建立方差分析的基礎(chǔ)。第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-22本章內(nèi)容本章內(nèi)容：2.1 概述概述2.2 單因素方差分析單因素方差分析2.3 無(wú)重復(fù)兩因素方差分析無(wú)重復(fù)兩因素方差分析第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-222.1 概述概述2.1.1 基本概念基本概念（1）因素因素：表示對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響的各種條件、方式、方法等，如溫度、：表示對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響的各種條件、方式、方法等，如溫度、時(shí)間、酸度等。時(shí)間、酸度等。（2）水平水平：一種因素的各種不同取值狀態(tài)，如溫度、壓力等的不同取值。：一種因素的各種不同取值狀態(tài)，如溫度、壓力等的不同取值。

3、（3）指標(biāo)指標(biāo)：結(jié)果的標(biāo)志，可體現(xiàn)為收率、產(chǎn)量等。：結(jié)果的標(biāo)志，可體現(xiàn)為收率、產(chǎn)量等。（4）偶然誤差偶然誤差：因未能控制的：因未能控制的“偶然因素偶然因素”所引起的誤差叫所引起的誤差叫“實(shí)驗(yàn)誤實(shí)驗(yàn)誤差差”，即隨機(jī)誤差。，即隨機(jī)誤差。（5）系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差：由于實(shí)驗(yàn)因素的變異引起實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)量差異，也稱為：由于實(shí)驗(yàn)因素的變異引起實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)量差異，也稱為“條件誤差條件誤差”。2.1.2 方法方法 把全部數(shù)據(jù)關(guān)于總體平均值的方差分解成幾個(gè)部分，每一部分表示方把全部數(shù)據(jù)關(guān)于總體平均值的方差分解成幾個(gè)部分，每一部分表示方差的一種來(lái)源，將各種來(lái)源的方差進(jìn)行比較，判斷實(shí)驗(yàn)各有關(guān)因素對(duì)實(shí)驗(yàn)差的一種來(lái)源，將各

4、種來(lái)源的方差進(jìn)行比較，判斷實(shí)驗(yàn)各有關(guān)因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響大小。結(jié)果的影響大小。第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-22【例例21】考察催化劑對(duì)收率的影響，分別用考察催化劑對(duì)收率的影響，分別用5種催化劑獨(dú)立進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，種催化劑獨(dú)立進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，每種催化劑測(cè)試每種催化劑測(cè)試4次，得收率如下表：次，得收率如下表：因素因素：催化劑；：催化劑； 水平水平：5種種指標(biāo)指標(biāo)：收率：收率偶然誤差偶然誤差：每種催化劑下所得結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差：每種催化劑下所得結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差s系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差：各催化劑下所得平均值的差異：各催化劑下所得平均值的差異催化劑催化劑12345收率收率/0.860.800.830.760.960

5、.890.830.900.810.950.910.880.940.840.930.900.840.850.820.94平均值平均值/0.89000.83750.88000.80750.9450第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-222.2 單因素方差分析單因素方差分析 研究單一因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響。此時(shí)，方差分析的目研究單一因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響。此時(shí)，方差分析的目的是考察一個(gè)因素的的是考察一個(gè)因素的m個(gè)水平對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否存在顯著影響。個(gè)水平對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否存在顯著影響。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型：xij=+ai+rij式中，式中，：總體平均值；：總體平均值； ai：i水平（水平（i=1,2,ni,

6、ni為水平重復(fù)數(shù)）對(duì)結(jié)果的影響，為水平重復(fù)數(shù)）對(duì)結(jié)果的影響，即即i水平下的水平下的系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差； rij：隨即誤差（：隨即誤差（j=1,2,m,m為水重復(fù)平數(shù)）。為水重復(fù)平數(shù)）。該數(shù)學(xué)模型表示：該數(shù)學(xué)模型表示： 實(shí)驗(yàn)結(jié)果總體平均值因素作用隨即誤差實(shí)驗(yàn)結(jié)果總體平均值因素作用隨即誤差第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-222.2.1 單因素方差分析基本公式單因素方差分析基本公式 設(shè)有設(shè)有m 個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)總體個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)總體: 各個(gè)總體的方差相等：各個(gè)總體的方差相等： 現(xiàn)從總體中抽取容量為現(xiàn)從總體中抽取容量為ni的隨機(jī)樣本：的隨機(jī)樣本： 設(shè)設(shè) 為從第為從第i個(gè)總體抽取的樣本平均值

7、（個(gè)總體抽取的樣本平均值（組平均值組平均值），）， 為為總平均值總平均值，n為從為從m個(gè)總體中抽取的樣本總?cè)萘浚瑒t：個(gè)總體中抽取的樣本總?cè)萘?，則： ),(,),(,),(),(22222211mmiiNNNN2222221mi), 2 , 1;, 2 , 1(,21iinijiinjmixxxxiixxinjijiixnx11imiiminjijxnnxnxi11111miinn1第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-22樣本對(duì)照表樣本對(duì)照表第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-222.2.2 偏差平方和偏差平方和 設(shè)設(shè)Q為偏差平方和，為偏差平方和，即所有樣本測(cè)定值與總體平均值之差

8、的即所有樣本測(cè)定值與總體平均值之差的平方和平方和，則：，則：式中最后一項(xiàng)為協(xié)方差，由于：式中最后一項(xiàng)為協(xié)方差，由于：所以所以)(2)()()()()(11211211211211xxxxxxxxxxxxxxQiiminjijminjiiminjijiiminjijminjijiiiii injijiixxn10)()()()(111111 iinjijmiinjijmiiiiminjijxnxxxxxxxxxxxiii第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-22令：令：則：則：Q=Qe+U1211)(iminjijexxQi2111)(xxUminjii單因素方差分析的基本關(guān)系式，說(shuō)明偏差

9、平方和具有加和性，即總單因素方差分析的基本關(guān)系式，說(shuō)明偏差平方和具有加和性，即總偏差平方和可以分解為具有不同來(lái)源的若干項(xiàng)。偏差平方和可以分解為具有不同來(lái)源的若干項(xiàng)。Qe為組內(nèi)偏差平方和為組內(nèi)偏差平方和：表示各水平下多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果間的差異：表示各水平下多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果間的差異。由于因素影響完全相同，所以為隨機(jī)波動(dòng)所致，屬于。由于因素影響完全相同，所以為隨機(jī)波動(dòng)所致，屬于隨機(jī)隨機(jī)誤差誤差。U1為組間偏差平方和為組間偏差平方和：反映各樣本平均值間的差異，即在因：反映各樣本平均值間的差異，即在因素不同的水平下實(shí)驗(yàn)結(jié)果相互間的差異，它說(shuō)明了素不同的水平下實(shí)驗(yàn)結(jié)果相互間的差異，它說(shuō)明了因素的不因素的不同水平對(duì)結(jié)

10、果的影響同水平對(duì)結(jié)果的影響。第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-222.2.3 方差分析統(tǒng)計(jì)量方差分析統(tǒng)計(jì)量（1）自由度）自由度令令f、fe及及 f1分別為總自由度、組內(nèi)（隨即誤差）自由度和組間分別為總自由度、組內(nèi)（隨即誤差）自由度和組間自由度，則：自由度，則：111nnfmiimnnfmiie) 1(111 mf1fffe表明自由度具有加和性表明自由度具有加和性第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-22（2）方差）方差令令 分別為總方差、組內(nèi)方差和組間方差，則有：分別為總方差、組內(nèi)方差和組間方差，則有：（3）統(tǒng)計(jì)量）統(tǒng)計(jì)量為構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，先求出為構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，先求出Qe、U1的期望

11、值：的期望值：2122ssse和、12nQfQsmnQfQseeee2111121mUfUs221211211)() 1()()()(mnnxxExxEQEmiiinjijmiiminjijeii2mnQEe22)(esE表明，不論各總體平均值表明，不論各總體平均值1，2，i，m是否相等，是否相等， 為為2的無(wú)偏估計(jì)量的無(wú)偏估計(jì)量2es第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-22令令則可以推得：則可以推得：imiiinn112122111)() 1()()(imiiminjinmxxEUEi2121)(111imiinmmUE21221)(11)(imiinmsE可見(jiàn)，只有當(dāng)可見(jiàn)，只有當(dāng)1

12、=2=i=m時(shí)，時(shí)， 才是才是2的無(wú)的無(wú)偏估計(jì)量，否則它的期望值將大于偏估計(jì)量，否則它的期望值將大于221s第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-2221221)(11)(imiinmsE式中，第二項(xiàng)表達(dá)了因素不同水平的影響，為判斷因素的式中，第二項(xiàng)表達(dá)了因素不同水平的影響，為判斷因素的 m個(gè)水平對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響是否存在顯著性差異，只需判斷該個(gè)水平對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響是否存在顯著性差異，只需判斷該項(xiàng)是否存在即可。為此，可進(jìn)行項(xiàng)是否存在即可。為此，可進(jìn)行F-檢驗(yàn)，用如下統(tǒng)計(jì)量：檢驗(yàn)，用如下統(tǒng)計(jì)量：)/() 1/(1221mnQmUssFee若因素的若因素的m個(gè)水平對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響不存在顯著性差

13、異，則個(gè)水平對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響不存在顯著性差異，則相當(dāng)于各總體均值相等。則第二項(xiàng)為相當(dāng)于各總體均值相等。則第二項(xiàng)為0， 有相同的期望有相同的期望值，皆為值，皆為2。此時(shí)，統(tǒng)計(jì)量應(yīng)趨于此時(shí)，統(tǒng)計(jì)量應(yīng)趨于1。若因素的不同水平對(duì)結(jié)果存在顯著性影響，則若因素的不同水平對(duì)結(jié)果存在顯著性影響，則 的期望的期望值不等，值不等，此時(shí)，統(tǒng)計(jì)量將明顯大于此時(shí)，統(tǒng)計(jì)量將明顯大于1。因此，可以根據(jù)因此，可以根據(jù)F的大?。ㄅc臨界值比較）判斷有關(guān)因素的的大?。ㄅc臨界值比較）判斷有關(guān)因素的不同水平對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否存在顯著性影響。不同水平對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否存在顯著性影響。221ess 和221ess 和第四章第四章 方差分析方差分析

14、2022-3-22單因素方差分析的程序：?jiǎn)我蛩胤讲罘治龅某绦颍?提出原假設(shè)和備擇假設(shè)：提出原假設(shè)和備擇假設(shè)：原假設(shè)為原假設(shè)為H H0 0: :1=2=i=m備擇假設(shè)備擇假設(shè)H1：各總體均值不等：各總體均值不等設(shè)原假設(shè)的前提成立：設(shè)原假設(shè)的前提成立：由已知條件計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：計(jì)算偏差平方和、自由度及由已知條件計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：計(jì)算偏差平方和、自由度及F F值值根據(jù)顯著性水平根據(jù)顯著性水平，查出，查出 ，若，若 ，原假，原假設(shè)成立；若設(shè)成立；若 ，原假設(shè)不成立，而備擇假設(shè)成立，原假設(shè)不成立，而備擇假設(shè)成立最后，將計(jì)算結(jié)果及結(jié)論整理成方差分析表。最后，將計(jì)算結(jié)果及結(jié)論整理成方差分析表。22221m),( ,1

15、effF),( ,1effFF),( ,1effFF第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-22單因素方差分析表單因素方差分析表211)(iminjijexxQi第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-22【例例22】考察催化劑對(duì)收率的影響，分別用考察催化劑對(duì)收率的影響，分別用5種催化劑獨(dú)立進(jìn)行實(shí)種催化劑獨(dú)立進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，每種催化劑測(cè)試驗(yàn)，每種催化劑測(cè)試4次，得收率如下表：次，得收率如下表：請(qǐng)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析。請(qǐng)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析。解：解：n=20，m=5，ni=4催化劑催化劑12345收率收率/0.860.800.830.760.960.890.830.900.810.950.

16、910.880.940.840.930.900.840.850.820.94平均值平均值/0.89000.83750.88000.80750.9450第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-22催化劑催化劑12345總和總和收率收率/0.860.800.830.760.960.890.830.900.810.950.910.880.940.840.930.900.840.850.820.94平均值平均值/0.89000.83750.88000.80750.94503.653.353.523.233.7817.443.16982.80893.10502.61173.572615.2680in

17、jijx1injijx12第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-22（1 1）偏差平方和）偏差平方和016. 0)(1211112iinjijmiiminjijexnxQ04427. 0)(1)(12112111minjijnjijmiiiixnxnU所以：所以：Q=Qe+U1=0.06027（2 2）自由度：）自由度：f fe e= =n-mn-m=20-5=15=20-5=15 f f1 1=m=m-1=5-1=4-1=5-1=4 f=n-f=n-1=20-1=191=20-1=19（3）方差）方差011. 015016. 02eeefQs001106. 0404427. 01121

18、fUs第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-22（4）F-檢驗(yàn)檢驗(yàn)06.100011. 001106. 0221essF查查F-分布表得：分布表得：F0.05,(4,15) =3.06F（5）結(jié)論：催化劑間有差別，且對(duì)結(jié)果影響較大。）結(jié)論：催化劑間有差別，且對(duì)結(jié)果影響較大。（6）方差分析如下表所示）方差分析如下表所示誤差來(lái)源誤差來(lái)源偏差平方和偏差平方和自由度自由度均方差均方差F值值F臨界值臨界值結(jié)論結(jié)論*組間組間0.0442740.0110610.063.06* *組內(nèi)組內(nèi)0.01605150.0011總和總和0.06032190.003175注：用注：用*表示有影響；表示有影響；*表示

19、影響顯著；表示影響顯著；*表示影響高度顯著；下同表示影響高度顯著；下同第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-22【例例23】某某4個(gè)實(shí)驗(yàn)室用典法測(cè)定一種銅合金（個(gè)實(shí)驗(yàn)室用典法測(cè)定一種銅合金（HPb60-1）試樣中銅的）試樣中銅的含量，均測(cè)定含量，均測(cè)定5次，結(jié)果如下表所示：次，結(jié)果如下表所示：實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)室測(cè)定結(jié)果測(cè)定結(jié)果/Cu%A66.3760.8560.5660.9260.22B60.8660.9861.0460.5360.71C60.6360.4760.8260.3960.77D61.4461.2461.6761.0461.15試分析各實(shí)驗(yàn)室的測(cè)定結(jié)果之間是否存在顯著性差異。試分析各

20、實(shí)驗(yàn)室的測(cè)定結(jié)果之間是否存在顯著性差異。第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-222.3 無(wú)重復(fù)兩因素方差分析無(wú)重復(fù)兩因素方差分析 單因素方差分析只研究一種因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，當(dāng)單因素方差分析只研究一種因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，當(dāng)可能存在多個(gè)因素對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響時(shí)，雖然可以采用可能存在多個(gè)因素對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響時(shí)，雖然可以采用“固定固定其他因素，研究變化因素其他因素，研究變化因素”的方法，對(duì)所有影響因素分別研的方法，對(duì)所有影響因素分別研究，但這種方法不僅效率低，而且往往會(huì)遺漏最好的組合。究，但這種方法不僅效率低，而且往往會(huì)遺漏最好的組合。2.3.1 無(wú)重復(fù)兩因素方差分析的數(shù)學(xué)模型無(wú)重復(fù)兩因素方差

21、分析的數(shù)學(xué)模型 設(shè)因素設(shè)因素A有有a個(gè)水平，即：個(gè)水平，即： A1,A2,Ai,Aa 因素因素B有有b個(gè)水平，即：個(gè)水平，即： B1,B2,Bj,BbAi，Bj作用下的實(shí)驗(yàn)指標(biāo)為作用下的實(shí)驗(yàn)指標(biāo)為xijk，則有：，則有： xijk=+i+j+ij+rijk 式中，式中，k為重復(fù)測(cè)定次數(shù)；為重復(fù)測(cè)定次數(shù)；ij為為Ai、Bj的交互作用；的交互作用；rijk為隨為隨機(jī)誤差。機(jī)誤差。有重復(fù)兩因素方差有重復(fù)兩因素方差分析的數(shù)學(xué)模型分析的數(shù)學(xué)模型第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-22對(duì)于無(wú)重復(fù)兩因素方差分析，對(duì)于無(wú)重復(fù)兩因素方差分析，ij、rijk無(wú)法分辨，可合為一項(xiàng)，無(wú)法分辨，可合為一項(xiàng)，用用

22、rij表示，相當(dāng)于隨機(jī)誤差，則：表示，相當(dāng)于隨機(jī)誤差，則： xij=+i+j+rij在在A、B兩因素的共同作用下，得到兩因素的共同作用下，得到ab個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如下表：個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如下表： 無(wú)重復(fù)兩因素方差分無(wú)重復(fù)兩因素方差分析的數(shù)學(xué)模型析的數(shù)學(xué)模型平均值平均值平均值平均值bjBBBB21ABixabajaaibijiibjbjxxxxxxxxxxxxxxxx2121222221111211aiAAAA21xjx.bjxxxx.21.21aixxxx第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-22無(wú)重復(fù)兩因素方差分析的簡(jiǎn)化計(jì)算公式為：無(wú)重復(fù)兩因素方差分析的簡(jiǎn)化計(jì)算公式為：總偏差平方和：總偏差平方

23、和：反映隨機(jī)誤差的反映隨機(jī)誤差的偏差平方和：偏差平方和：反映因素反映因素A各水各水平之間的偏差：平之間的偏差：反映因素反映因素B 各水各水平間的偏差：平間的偏差：aibjijaibjijaibjijxabxxxQ11211211)(1)( aibjijaibjijaiixabxbxxbU112211211)(1)(1).(21UUQQe211211212)(1)(1).( aibjijbjaiijbjjxabxaxxaU第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-22無(wú)重復(fù)兩因素方差分析表無(wú)重復(fù)兩因素方差分析表偏差來(lái)源偏差來(lái)源偏差平偏差平方和方和自由度自由度方差方差F值值F臨界值臨界值顯顯著著

24、性性A的影響的影響U1B的影響的影響U2隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差Qe總和總和Q11 af12bf) 1)(1(bafe1 abf1121aUs1222bUs) 1)(1(2baQse12abQs221eAssF 222eBssF ),( ,1effF),( ,2effF顯著性判斷準(zhǔn)則顯著性判斷準(zhǔn)則:如如FA大于臨界值，大于臨界值，HA不成立，即因素不成立，即因素A影響顯著；影響顯著； 如如FB大于臨界值，大于臨界值，HB不成立，即因素不成立，即因素B影響顯著；影響顯著； 第四章第四章 方差分析方差分析2022-3-22【例例24】為了研究酵解作用，分別從為了研究酵解作用，分別從8位健康人體中抽取血液制成血濾位健康人體中抽取血液制成血濾液，再將每個(gè)受試者的血濾液分成液，再將每個(gè)受試者的血濾液分成4份，分別放置份，分別放置0 min、45 min、90 min、135 min，測(cè)定其中血糖濃度，得到下表的數(shù)據(jù)：，測(cè)定其中血糖濃度，得到下表的數(shù)據(jù)：受試者受試者放置時(shí)間放置時(shí)間t0