數(shù)學(xué)物理方程第一章答案

1、第一章§ 1方程的導(dǎo)岀。定解條件即得所證。2 在桿縱向振動時，假設(shè) (1)端點固定，(2)端點自由， 1 細桿或彈簧受某種外界原因而產(chǎn)生縱向振動，以u(x,t)表示靜止時在x點處的點在時刻t離開原來位置的偏移，假設(shè)振動過程發(fā)生的張力服從虎克定律，試證明u(x, t)滿足方程端點固定在彈性支承上，試分別導(dǎo)岀這三種情況下所對應(yīng)的邊界條 件。解: (1)桿的兩端被固定在x0, x l兩點那么相應(yīng)的邊界條件其中 為桿的密度，E為楊氏模量。u(0,t)0,u(l,t)0.證：在桿上任取一段，其中兩端于靜止時的坐標分別為假設(shè)x為自由端，那么桿在x l的張力xx?，F(xiàn)在計算這段桿在時刻t的相對伸長。

2、端的坐標分別為：在時刻t這段桿兩T(l,t)uE(x) xl等于零，因此相應(yīng)的邊界條件為u(x,t); x xu(x x,t)l=0同理，假設(shè)x0為自由端，那么相應(yīng)的邊界條件為x x u(xx,t)x u(x,t)Ux(xx,t)假設(shè)xl端固定在彈性支承上，而彈性支承固定于某令 x 0，取極限得在點x的相對伸長為ux(x, t)。由虎克點，且該點離開原來位置的偏移由函數(shù)v(t)給出，那么在x l端支定律，張力T(x,t)等于T(x,t) E(x)ux(x,t)其中E(x)是在點x的楊氏模量。設(shè)桿的橫截面面積為 S(x),那么作用在桿段(x,x x)兩端的力分別為承的伸長為u(l,t) v(t)

3、。由虎克定律有E 1 xlxku(l,t) v(t)其中k為支承的剛度系數(shù)。由此得邊界條件(uu)xI Xi f(t)其中E(x)S(x)ux(x,t); E(xx)S(xx)ux(x x,t).于是得運動方程(x)s(x)x utt(x,t)ESux(xx) |xx ESux(x)Ix利用微分中值定1理，消去x，再令 x0得(x)s(x)utt(ESux )x假設(shè)s(x) 常量，那么得2uu(x)p = (E(x)t xx特別地，假設(shè)支承固定于一定點上，那么v(t)0,得邊界條件u(u) 1 x l 0。x同理，假設(shè)x 0端固定在彈性支承上，那么得邊界條件u Ex1 x 0 ku(0,t)v

4、(t)即(uu) 1 x 0 f (t).x3. 試證:圓錐形樞軸的縱振動方程E- X 2u.2- X 2 u(1 匚)(1 ) ,2xhxht2其中h為圓錐的高(如圖1)證：如圖，不妨設(shè)樞軸底面的半徑為1,那么x點處截面的半徑I為:所以截面積s(x)(1x1 - h h)25.u(x,y,t)t2在錐2y利用第1題，得t2x22y >0中都滿足波動方程2u-2x2u-2y(x) (1 扛h2ut2UxU(x, y,t)在錐t>0內(nèi)對變量假設(shè)E(x) E為常量,那么得x, y,t 有(1 2)二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。且(t2x2y2)4.絕對柔軟逐條而均勻的弦線有一端固定，用下，此線處于鉛

5、垂平衡位置，試導(dǎo)岀此線的微小橫振動方程。在它本身重力作2u(tx22)23(t2x2y2)解：如圖2,設(shè)弦長為|，弦的線密度為，那么x點處的張力T(x)為T(x) g(l x)且T(x)的方向總是沿著弦在 x點處的切線方向。仍以 u(x,t)表 示弦上各點在時刻t沿垂直于x軸方向的位移，取弦段 (x, x x),那么弦段兩端張力在u軸方向的投影分別為32 2 2 2 2 2 2(t x y ) 2 (2tx y )3u "222 2(t x y ) 2 xx23u t2 x2y2 2 3t2 x2y2xg(l x)sin (x); g(l (x x)sin又于是得運動方程sintgu

6、x.2u、. ux,2l (x x)-txx x glxu1x gx利用微分中值定理，消去x，再令 x0得2u、u,2g(lx)。txx其中(x)表示T(x)方向與x軸的夾角(x x)t22 2x y52 t22x2v225同理vu t22 2x y2 t2x22y2y所以2, 2,52,uut2x2y2 2 2t222u2 2xyxyt2.即得所證。6.在單性桿縱振動時，假設(shè)考慮摩阻的影響，并設(shè)摩阻力密度涵數(shù)(即單位質(zhì)量所受的摩阻力)與桿件在該點的速度大小成正比(比例系數(shù)設(shè)為b).但方向相反，試導(dǎo)岀這時位移函數(shù)所滿足的微分方程.解：利用第1題的推導(dǎo)，由題意知此時尚須考慮桿段x, xx上所受的

7、摩阻力.由題設(shè),單位質(zhì)量所受摩阻力為 b u ,故2ut222 u a 2 xtx, xx上所受摩阻力為 3 xut o x(1 x) (0 x l)ut 0sin，-lb p x s xu xtu(0,t)u(l,t)0運動方程為2uES ux x ES解：邊界條侏齊次勺且是第一類的，令txtu(x,t) X(x)T(t)t2利用微分中值定理，消去x，再令 x0得2ux s x2txES bx假設(shè)s(x)常數(shù)，那么得2x uEtxuxb x丄 t假設(shè)x是常量,Ex E也是常量.令a2-,那么得方程得固有函數(shù)Xn(x)nsinx，且lananTn(t) u An cos -t BnSin -t

8、, (n1,2)x sXll于t是anannu(x,t)(An cosn 1lt Bn sinlt)si n -l-x今由始值確定常數(shù) An及Bn,由始值得sin空 Asin-xln 1lx(l x)-a Bn sinxnill所以0,當nt2x2'Bnan2l 2xn2anx(lx) sinXCOS l2l3l23 COs3 l.n sin x4l3an4 4因此所求解為§ 3混合問題的別離變量法1.用別離變量法求以下問題的解：3au(x,t) cos3 t sin x ll4l34a n1 ( 1)n1 nnsin tsi nllanu(O,t)u(x,O)解：邊界條件齊

9、次的，令u(x,t)(1)T a2 X2u-2x21hx,lX(x)T(t)U(l,t)0tu(x,0)X(O)求問題的非平凡解，分以下三種情形討論。0時，方程的通解為(n0,1,2由 X(0)0得c1(n 0,1,2Xn(x)sin2l將代入方程(2)，解得由 X (l)0,X(x) C1e x C2eC20 得 G e lC2 ： eTn (t)AnX (l)(n 0,1,2u(x,t)再由始值得解以上方程組，得C1 0，C2 0,故o時得不到非零解。0時，方程的通解為X (x) C1 C2X由邊值X(0)0得c1得不到非零解。30時，方程的通解為X (x) c1 cos . x c2si

10、n . x由X(0)0得c1 0，再由X (l)0得c2 . cos 丨 l 0為了使c20，必須cosl 0，于是2n 1cos a t2lBn2n 1sin a2l(An2n 1cos a2lBnsin紐n 2l2n 1x2n An sin02n 1a1x2l2n 1 Bn sinx容易驗證2n 1 sinx2l(n0,1,2)構(gòu)成區(qū)間0,l上的正交函數(shù)系： 2m 12n 10當m nsin02lxsin2lxdxl當m n022l2l0n0，再由X (l)0得C20，仍利用sin紅x正交性，得2lAn2 l h . 2n 1xsinxdxl 0 l 2l2h2l2n 1x cos x (

11、2n 1)2l21(2n 1).2nsin其中xsin tfn(t)si n xn 1lfn(t)21 A 2xsinl 0 ltsinL xdxl、8hU(x,t) 2n(1)n 2n 1 2cos (2n 1)2 2l2n 1a tsinx2l2A"72-sinlnxcos xl2 2 sn2。設(shè)彈簧一端固定, 歸結(jié)為一端在外力作用下作周期振動,此時定解問題2ut2u(0,t)a2u(x,0)2 ux0,f(x,0) 02-(n2A1) sinAxlu(l,t)Asin t.nsin xl求解此問題。解：邊值條件是非齊次的，首先將邊值條件齊次化，取AU (x,t) xsint，那

12、么U (x,t)滿足U(0,t)0，U (l,t)As in t令 u(x,t) U(x,t)v(x, t)代入原定解問題，那么 v(x,t)滿足Tn(t)v(x,t)Xn(x)故設(shè)xsinxdx1)n(1)Tn(t)anl2Tn(t)2A2vv(0,t)v(x,0)22 v A2 x0,2xsin t l v(l,t) 0v(x,0)滿足第一類齊次邊界條件，其相應(yīng)固有函數(shù)為(1)Tn(0)Tn(t)由始值,0,An COSTn(0)an tl.nsin x，l(n 0,1,2 )v(x, t)Tn (t)s in x n 1lBn得An丄(an1)2A將方程中非齊次項Axsin t及初始條件

13、中l(wèi)所以v(x,t)sin x 展成級數(shù)，得n 11) sin(1)n 12A 3l22-(1)sinan 2(T)n (an )22l2)1)n2A你宀2 lm (an )2 ( l)1)n2A a(an )2(1)n12A 2l2方程的通解為(an )2( l)2sin tsin nanTn(t) AnCOs-tanBn sin tll( )an2bn272n l2A ln 1(1)222 asinat(an )( l)ll .sinntsinX由Tn(0)°，得:An(anl 、2 2bn22 n1shl因此所求解為由 Tn(°)0，得 Bn 0Au(x,t) xsi

14、n t 2A lln 1 (an(1)2T7Tn(t)l)2(an2 2bn2 l2( Dn1shl(1an cos lt)所求解為an as intl3.用別離變量法求下面問題的解lsinntnt sin xlu(x,t)U Itu |x 022 ua 2xf|t0u |x lbshx解：邊界條件是齊次的，相應(yīng)的固有函數(shù)為Xn (x) sin(n 1,2,u(x,t)nTn (t)si nx1l將非次項bshx按sin nlx展開級數(shù)，得fn(t)bshxfn(t)si n xl2bl22ashl(1)n11 n(n2 2l2)(1cos-a t)sinx ll4用別離變量法求下面問題的解:

15、2uu |x 0u |t 0u2b -tu |x lh嚴(b °)|t 0解：方程和邊界條件都是齊次的。u(x,t) X(x)T(t)代入方程及邊界條件，得由此得邊值問題T 2bTa2TX(0) X(l)些 l shxsin nl 0xdxl占2bnshlX(0)將 u(x,t)Tn(t)si nn 1lx代入原定解問題,Tn(t)滿因此得固有值Xn(x)Tn(t)Tn(0)/an 2n1 2bn()Tn (t)( 1).2ln0,Tn(0)0shl又T(t)滿足方程X(l)nsin x, n相應(yīng)的固有函數(shù)為HIQT 2bT a T 0將一般言之,故得通解其中所以再由始值,所以所求解為n代入,相應(yīng)的T (t)記作Tn (t)，得Tn