平面問(wèn)題差分解

1、例題例題第一節(jié)第一節(jié) 差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)第四節(jié)第四節(jié) 應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解第五節(jié)第五節(jié) 應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例 彈性力學(xué)的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件、形變與位移之間的幾何條件和形變與應(yīng)力之間的物理?xiàng)l件，建立微分方程和邊界條件。近似解法 因此，因此，彈性力學(xué)問(wèn)題屬于微分方程的彈性力學(xué)問(wèn)題屬于微分方程的邊界問(wèn)題。邊界問(wèn)題。通過(guò)求解，得出函數(shù)表示的精通過(guò)求解，得出函數(shù)表示的精確解答。確解答。 對(duì)于工程實(shí)際問(wèn)題，由于荷載和邊界對(duì)于工程實(shí)際問(wèn)題，由于荷載和邊界較復(fù)雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，較復(fù)雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，人們探討人們探討彈性力學(xué)的各種近

2、似解法，彈性力學(xué)的各種近似解法，主要主要有有變分法、差分法和有限單元法。變分法、差分法和有限單元法。近似解法)(xf21, fffxo 21 ff3f 1x2x3x)(xf差分法;d ,d1212ffffxxxx;dd1212xxffxfxf差分法將將微分方程微分方程用差分方程（代數(shù)方程）代替，用差分方程（代數(shù)方程）代替，于是，求解微分方程的問(wèn)題化為求解差分于是，求解微分方程的問(wèn)題化為求解差分方程的問(wèn)題。方程的問(wèn)題。將將導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)用有限差商來(lái)代替，用有限差商來(lái)代替，將將微分微分用有限差分來(lái)代替，用有限差分來(lái)代替，導(dǎo)數(shù)差分公式 在平面彈性體上劃分等間距h 的兩組網(wǎng)格，分別x 、y 軸。網(wǎng)格交點(diǎn)稱為

3、結(jié)點(diǎn)，h稱為步長(zhǎng)。應(yīng)用應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)公式泰勒級(jí)數(shù)公式 將將 在在 點(diǎn)展開(kāi)點(diǎn)展開(kāi)，)(xfox).()()(! 21)()()()(32oo22oooxoxxxfxxxfxfxf(a)拋物線差分公式拋物線差分公式略去式(a)中 以上項(xiàng)，分別用于結(jié)點(diǎn)1、3，;)(2)(o222oo1xfhxfhff3x,0301hxxhxx。022200)(2)(3xfhxfhff拋物線差分公式結(jié)點(diǎn)3，結(jié)點(diǎn)1，)()2(1)(),(21)(0312022310bfffhxfffhxf。拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式中心差分公式，并由此可導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)公式。從上兩式解出o點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)公式，)(3xo 拋物線差分公

4、式 差分公式差分公式()及及()是以相隔是以相隔2h的兩結(jié)點(diǎn)處的函的兩結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值來(lái)表示中間結(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱為中點(diǎn)數(shù)值來(lái)表示中間結(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱為中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式。導(dǎo)數(shù)公式。 以相鄰三結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值來(lái)表示一個(gè)端點(diǎn)處的以相鄰三結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值來(lái)表示一個(gè)端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱為端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式。一階導(dǎo)數(shù)值，可稱為端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式。 應(yīng)當(dāng)指出：中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式與端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式相比，應(yīng)當(dāng)指出：中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式與端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式相比，精度較高。因?yàn)榍罢叻从沉私Y(jié)點(diǎn)兩邊的函數(shù)變化，精度較高。因?yàn)榍罢叻从沉私Y(jié)點(diǎn)兩邊的函數(shù)變化，而后者卻只反映了結(jié)點(diǎn)一邊的函數(shù)變化。因此，我而后者卻只反映了結(jié)點(diǎn)一邊的函數(shù)變化。因此，我們總

5、是盡可能應(yīng)用前者，而只有在無(wú)法應(yīng)用前者時(shí)們總是盡可能應(yīng)用前者，而只有在無(wú)法應(yīng)用前者時(shí)才不得不應(yīng)用后者。才不得不應(yīng)用后者。線性差分公式線性差分公式在式(a)中僅取一、二項(xiàng)時(shí)，誤差量級(jí)為 。)(2xo,)(001xfhff)( , )(1)(010cffhxf線性差分公式式(c)稱為向前差分公式。向前差分公式。對(duì)結(jié)點(diǎn)1，得：,)(003xfhff)(),(1)(300dffhxf,02 T,)(bsqnT,bsTT 例11S2S 穩(wěn)定溫度場(chǎng)的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第一類邊界條件是已知邊界上的溫度值；在 上的第二類邊界條件是已知熱流密度值，其中是導(dǎo)熱系數(shù)。1S2S0)(02 T; 0)

6、(443210TTTTT1T2)(yq,)()(22yqyT(d),2)(0102hTTyT.)(22010yqhTT2T10T(e)ab40353025322224222017。0)222030(4,0)223532(4abbaTTTT13.25,53.28baTT（度）.yxf23思考題 對(duì)于單連體，按應(yīng)力函數(shù)單連體，按應(yīng)力函數(shù) 求解時(shí)，求解時(shí)， 應(yīng)滿足:)( )( .)(,)( )2()( )( ; 0 ) 1 (4bSSflmfmlaAysxyyxsyxx按 求解)( . , ,22222cyxxyxyyx按 求解)()(41)()(),2(1)()(),2(1)()(86750310

7、4220202022020220dhyxhxhyxyyx。差分法求解1.1.應(yīng)力公式應(yīng)力公式( (c) )的差分表示。的差分表示。對(duì)于o點(diǎn)， 差分法求解：差分法求解：0)(04 )(2)( 820876543210. 0)(1211109i相容方程(e)化為： 對(duì)每一內(nèi)結(jié)點(diǎn)， 為未知，均應(yīng)列出式(e)的方程 。2.2.相容方程相容方程(a)的差分的差分表示，表示，x相容方程yxy邊界條件 應(yīng)力邊界條件用 表示 取出坐標(biāo) 的正方向作為邊界線s 的正向（圖中為順時(shí)針向），當(dāng)移動(dòng) 時(shí)， 為正，而 為負(fù)，外法線的方向余弦為dsdxdy.sin,cosdsdxmdsdyl邊界條件,)(dd)(dd222

8、xfyxsxysy.)(dd)(dd222yfyxsyxsx,)(ddxfys( f ).)(ddyfxs邊界條件即將上式和式(d)代入式(b)，得)(.)()(,)()(gdsfxxdsfyyBAABBAAByx邊界條件式( f )、(g)分別是應(yīng)力邊界條件的微分、積應(yīng)力邊界條件的微分、積分形式。分形式。再將式(f )對(duì)s 積分，從固定的基點(diǎn)A到邊界任一點(diǎn)B，得 通過(guò)分部積分從A到B積分，得yyxxddd.B,d)d(duvuvvuAAyyyxxxABABAB)()(.d)(d)(BAyBAxsfxxsfyyBB邊界條件(h)由全微分 求邊界點(diǎn)求邊界點(diǎn)的的 Ax, 0)( ,)( ,AAyx

9、A)(.)(d)(,d)(,d)(idsfxxsfyysfxsfyBAyBAxBAyBBAxBBBB邊界條件AyAAx)(Ay)(邊界條件,BBx)(.)(By和邊界條件BBx)(By)(0)()(AAyxAxyxy求解步驟（2）由邊界結(jié)點(diǎn)的 、 值，求出邊界 外一行虛結(jié)點(diǎn)的 值；（1）在邊界上選定基點(diǎn)A， 令 ， 然后計(jì)算邊界上各結(jié)點(diǎn)的 、 、 ；4.4.應(yīng)力函數(shù)差分解的步驟應(yīng)力函數(shù)差分解的步驟（3）對(duì)邊界內(nèi)所有結(jié)點(diǎn)列式(e)的方程， 聯(lián)立求各結(jié)點(diǎn)的 值；求解步驟（5）按式(d)求各結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。（4）求出邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)的 值；q問(wèn)題 此題無(wú)函數(shù)式解答。應(yīng)用差分法求解。 正方形深梁正方形深梁

10、, ,上邊受均布荷載 ，下邊兩角點(diǎn)處有支承反力維持平衡，試求其應(yīng)力。1.本題具有對(duì)稱性對(duì)稱性，取y軸如圖，并取以反映對(duì)稱性。, 0)()(AAyxA取網(wǎng)格如圖。 AB間y向面力主矢量號(hào)， AB間x向面力主矢量， AB間面力對(duì)B點(diǎn)力矩，BAxBBAyBsfysfxd)(d)(BAxsfyyBBd)(BAysfxxBd)(注意符號(hào)為正.0)(04 i5. 求出應(yīng)力求出應(yīng)力，如AM線上各點(diǎn)應(yīng)力，并繪 出分布圖。4. 求出邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)的 值值。3. 對(duì)每一內(nèi)點(diǎn)列差分方程 ，求求 出出 。2. 由邊界點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)值，求出邊界外一行 虛結(jié)點(diǎn)的虛結(jié)點(diǎn)的 值值。;75. 0 ,75. 0qminqmaxxx

11、.24. 0 ,84. 1qminqmaxxx比較xx 差分法優(yōu)點(diǎn)差分法優(yōu)點(diǎn)：差分法評(píng)價(jià))(3xo )( xo 缺點(diǎn)缺點(diǎn)：差分法評(píng)價(jià)0)(02 Ta（Z向厚度 ）1AyB2FFFxaaa2.用差分法計(jì)算 圖中A點(diǎn)的應(yīng) 力分量。例題1例題2例題3例題4例題例題例題例題1 1設(shè)圖中的矩形域?yàn)?，取網(wǎng)格間距為h=2m,布置網(wǎng)格如圖，各邊界點(diǎn)的已知溫度值（度）如圖所示，試求內(nèi)結(jié)點(diǎn)a,b的穩(wěn)定溫度值。mm 46 ab40353025322224222017解：對(duì)a,b列出方程如下：. 02220304, 02235324abbaTTTT解出.(13.25 ,53.28度）baTTFaBxy3aaaA.7

12、1（Z向厚度 ）1F65. 0)()(AAyxA. 0432B.)( , 0)(3FyxB0)(Ay.1516172Fa,.0)()(;611)( ,6)(ByAyBxAxaFaF)22(2)28(204231BA0.)(7652Fa1211ll14lh1098HGEDIJBAChhhh323414323111276xy1h=l/4FF0)()(AAyxA 計(jì)算各邊界結(jié)點(diǎn)處的 、 、 值。 在A點(diǎn)及J點(diǎn)，各取 布置于兩側(cè)，以 反映荷載的對(duì)稱性，按公式（其中 即AB之間面力對(duì)B點(diǎn)的力矩，圖中以順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?F,d)(d)(,d)( ,d)(BAyBAxBBAyBBAxBsfxxsfyysf

13、xsfyBBxyByxF/2F/2F/2-Fh/2-Fh/2-Fh 計(jì)算邊界外一行結(jié)點(diǎn)的 值。, 0)(,JIBAy,)()(2,3,3,212,11,7,6,2)(,FxGED.)()(3,4,310,9,8Fh. 0282012,11,10, 98 ,7, 6, 54, 3 , 2, 10,4416228,2168162043214321FhFh對(duì)結(jié)點(diǎn)1，對(duì)結(jié)點(diǎn)2，對(duì)結(jié)點(diǎn)3，對(duì)結(jié)點(diǎn)4，.2221648,78248243214213FhFh.5206. 0 ,5056. 0,1873. 0 ,2640. 03321FhFhFhFh解出),2(1)(),2(1)(03,104,22020hhyx4lh .0528.2)( ,8912.0)(,1648.0)(;6136.0)( ,4424.0)(,4984.1)(1412lF