彈性力學—茅獻彪第三章平面問題的直角坐標解答

1、要點要點 用逆解法、用逆解法、半逆解法半逆解法求解平面彈性求解平面彈性力學問題。力學問題。3-1 3-1 多項式解答多項式解答3-2 3-2 位移分量的求出位移分量的求出3-3 3-3 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷3-4 3-4 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力3-5 3-5 級數(shù)式解答級數(shù)式解答3-6 3-6 簡支梁受任意橫向載荷簡支梁受任意橫向載荷主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容3-1 3-1 多項式解答多項式解答適用性：適用性：由一些直線邊界構(gòu)成的彈性體。由一些直線邊界構(gòu)成的彈性體。目的：目的： 考察一些簡單多項式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)考察一些簡單多項式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)(x,y) ，能解

2、決什么樣的，能解決什么樣的力學問題。力學問題。逆解法逆解法cbyaxyx),(其中：其中： a、b、c 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。檢驗檢驗(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程：是否滿足雙調(diào)和方程：0244224444yyxx顯然顯然(x,y) 滿足雙調(diào)和方程，因而可作為應(yīng)力函數(shù)。滿足雙調(diào)和方程，因而可作為應(yīng)力函數(shù)。（1）1. 一次多項式一次多項式（2）（3）對應(yīng)的應(yīng)力分量：對應(yīng)的應(yīng)力分量：02yxxyXxyx22XxXx 0YyYy 0Yyxy22若體力：若體力：X = Y =0，則有：，則有：0 xyyx結(jié)論結(jié)論1：（1）（2）一次多項式對應(yīng)于一次多項式對應(yīng)于無體力和無應(yīng)力狀態(tài)；無體力和無應(yīng)力狀態(tài)；

3、在該函數(shù)在該函數(shù)(x,y)上加上或減去一個一次多項式，對應(yīng)力無影響。上加上或減去一個一次多項式，對應(yīng)力無影響。2. 二次多項式二次多項式（1）22cybxyax其中：其中： a、b、c 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。(假定：假定：X =Y = 0 ; a 0 , b 0, c 0)檢驗檢驗(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）0, 0, 02244444yxyx04(可作為應(yīng)力函數(shù)可作為應(yīng)力函數(shù) )（3）由式（由式（2-26）計算應(yīng)力分量：）計算應(yīng)力分量：byxxy2cyx222axy222xy2c2c2a2abxy結(jié)論結(jié)論2：二次多項式對應(yīng)于二次多項式對應(yīng)于均勻應(yīng)力

4、分布。均勻應(yīng)力分布。xy0202yxy0試求圖示板的應(yīng)力函數(shù)。試求圖示板的應(yīng)力函數(shù)。例：例：xy00 xyyx0),(202),(yyx3. 三次多項式三次多項式（1）3223dycxyybxax其中其中: a、b、c 、d 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。檢驗檢驗(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）0, 0, 02244444yxyx04(可作為應(yīng)力函數(shù)可作為應(yīng)力函數(shù) )(假定：假定：X =Y = 0)（3）由式（由式（2-26）計算應(yīng)力分量：）計算應(yīng)力分量：cybxyxxy222dycxyx6222axbyxy6222結(jié)論結(jié)論3：三次多項式對應(yīng)于三次多項式對應(yīng)于線

5、性應(yīng)力分布。線性應(yīng)力分布。討論：討論：,3dy取)0(YX可算得：可算得：0 xydyx60yxy12h2hll圖示梁對應(yīng)的邊界條件：圖示梁對應(yīng)的邊界條件：:2hy0, 0 xyy: lx0,6xyxdydh3mindh3maxMM3dy可見：可見： 對應(yīng)于矩形截面梁的對應(yīng)于矩形截面梁的純彎曲問題純彎曲問題應(yīng)力分布。應(yīng)力分布。常數(shù)常數(shù) d 與彎矩與彎矩 M 的關(guān)系：的關(guān)系：220hhxdy(1)由梁端部的邊界條件：由梁端部的邊界條件：0622hhdydy(2)Mdyyhhx222226hhMdydyMhd32)2(3hMd 或yIMxyhMx312yhMx)12/(3可見：可見：此結(jié)果與材力中

6、結(jié)果相同，此結(jié)果與材力中結(jié)果相同，說明材力中純彎曲梁的應(yīng)力結(jié)果是正確的。說明材力中純彎曲梁的應(yīng)力結(jié)果是正確的。0 xydyx60yxy12h2hllMMyIMxdh3mindh3max說明：說明：(1)組成梁端力偶組成梁端力偶 M 的面力的面力須線性須線性分布分布，且中心處為零，結(jié)果才，且中心處為零，結(jié)果才是是精確的精確的。(2)若按其它形式分布，如：若按其它形式分布，如：則此結(jié)果不精確，有誤差；則此結(jié)果不精確，有誤差；但按圣維南原理，僅在兩端誤差較但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠處誤差較小。大，離端部較遠處誤差較小。(3)當當 l 遠大于遠大于 h 時，誤差較小；反之誤差較大。時

7、，誤差較?。环粗`差較大。4. 四次多項式四次多項式（1）432234eydxyycxybxax檢驗檢驗(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程是否滿足雙調(diào)和方程（2）cyx8244ax2444ey2444代入：代入：04得得033eca024824eca432234eydxyycxybxax可見，對于函數(shù)：可見，對于函數(shù)：其待定系數(shù)，須滿足下述關(guān)系才能作為應(yīng)函數(shù)：其待定系數(shù)，須滿足下述關(guān)系才能作為應(yīng)函數(shù)：033eca（3）應(yīng)力分量：應(yīng)力分量：yxxy222343dycxybx22yx22xy221262eydxycx221262axbxycy 應(yīng)力分量為應(yīng)力分量為 x、y 的二次函數(shù)。的二次函數(shù)。（4

8、）特例：特例：44eyax 212eyx0 xy212axy（須滿足：（須滿足：a + e =0）總結(jié)：總結(jié)：（多項式應(yīng)力函數(shù)（多項式應(yīng)力函數(shù) 的性質(zhì)）的性質(zhì)） （1） 多項式次數(shù)多項式次數(shù) n 4 時，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足時，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足 。04多項式次數(shù)多項式次數(shù) n 4 時，則系數(shù)時，則系數(shù)須滿足須滿足一定條件，才能滿足一定條件，才能滿足 。04多項式次數(shù)多項式次數(shù) n 越高，則系數(shù)間需滿足的條件越多。越高，則系數(shù)間需滿足的條件越多。（2） 一次多項式，對應(yīng)于一次多項式，對應(yīng)于無體力和無應(yīng)力狀態(tài)；無體力和無應(yīng)力狀態(tài)；任意應(yīng)力函數(shù)任意應(yīng)力函數(shù)(x,y)上加上加上或減

9、去一個上或減去一個一次多項式一次多項式，對應(yīng)力無影響。，對應(yīng)力無影響。二次多項式二次多項式，對應(yīng)，對應(yīng)均勻應(yīng)力均勻應(yīng)力狀態(tài)，即全部應(yīng)力為常量；狀態(tài)，即全部應(yīng)力為常量；三次多項式三次多項式，對應(yīng)于對應(yīng)于線性分布應(yīng)力線性分布應(yīng)力。（3） （4） 用多項式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)用多項式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)(x,y) 的方法的方法 逆解法（只能解決簡單逆解法（只能解決簡單直直線應(yīng)力邊界線應(yīng)力邊界問題）。問題）。按應(yīng)力求解平面問題，其基本未知量為：按應(yīng)力求解平面問題，其基本未知量為： ，本節(jié)說明，本節(jié)說明如何由如何由 求出形變分量、位移分量？求出形變分量、位移分量？xyyx,xyyx,問題：問題：3-2 3-2 位移分量

10、的求出位移分量的求出以純彎曲梁為例，說明如何由以純彎曲梁為例，說明如何由 求出形變分量、位移分量？求出形變分量、位移分量？xyyx,xyl1hMM1. 形變分量與位移分量形變分量與位移分量由前節(jié)可知，其應(yīng)力分量為：由前節(jié)可知，其應(yīng)力分量為：12/3hMyyIMx0 xy0y平面應(yīng)力情況下的物理方程：平面應(yīng)力情況下的物理方程：（1）形變分量）形變分量)(1xyyE)(1yxxEGxyxy(a)將式（將式（a）代入得：）代入得：IMyEyIMyEx10 xy(b)（2）位移分量）位移分量將式（將式（b）代入幾何方程得：）代入幾何方程得：0 xvyuxyIMyExux1IMyEyvy(c)（2）位移

11、分量）位移分量0 xvyuxyIMyExux1IMyEyvy(c)將式（將式（c）前兩式積分，得：）前兩式積分，得：)(222xfyEIMv)(1yfxyEIMu(d)將式將式 (d) 代入代入 (c) 中第三式，得：中第三式，得：)(),(21xfyf式中：式中：為待定函數(shù)。為待定函數(shù)。)()(12yfxfxEIM整理得：整理得：0)()(21xfyfxEIM（僅為（僅為 x 的函數(shù)）的函數(shù)） （僅為（僅為 y 的函數(shù)）的函數(shù)）要使上式成立，須有要使上式成立，須有)(2xfxEIM)(1yf(e)式中：式中：為常數(shù)。為常數(shù)。積分上式，得積分上式，得01)(uyyf022)(vxxEIMxf將

12、上式代入式（將上式代入式（d），得），得0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMv(f)（1）(f)討論：討論：式中：式中：u0、v0、 由位移邊界條件確定。由位移邊界條件確定。常數(shù)00 xEIMyuxx當當 x = x0 =常數(shù)常數(shù)xEIMyu（2）位移分量）位移分量0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMvxyl1hMM u 關(guān)于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉(zhuǎn)角。關(guān)于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉(zhuǎn)角。常數(shù)00 xEIMyuxxyu0|xx說明：說明： 同一截面上的各鉛垂同一截面上的各鉛垂線段轉(zhuǎn)角相同線段轉(zhuǎn)角相同。橫截面保持平面橫截面保持平面 材力中材力中“平面保

13、持平面平面保持平面”的假設(shè)成的假設(shè)成立立。（2）常數(shù)EIMxv22102222vxxEIMyEIMv將下式中的第二式對將下式中的第二式對 x 求二階導(dǎo)數(shù)：求二階導(dǎo)數(shù)：0uyxyEIMu說明：說明：在微小位移下，梁縱向纖維的曲在微小位移下，梁縱向纖維的曲率相同。即率相同。即EIMxv221 材料力學中撓曲線微分方程材料力學中撓曲線微分方程2. 位移邊界條件的利用位移邊界條件的利用（1）兩端簡支）兩端簡支02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu(f)其邊界條件：其邊界條件：000yxu000yxv將其代入將其代入(f)式，有式，有0202vlEIMl00u00vEIMl2將其代回將其代回

14、(f)式，有式，有ylxEIMu)2( 22)(2yEIMxxlEIMv(3-3)梁的撓曲線方程：梁的撓曲線方程：xxlEIMvy)(20 與材力中結(jié)果相同與材力中結(jié)果相同00ylxv（2）懸臂梁）懸臂梁02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu(f)邊界條件邊界條件0lxv0lxu22hyhh/2h/2由式（由式（f）可知，此邊界條件無法滿足。）可知，此邊界條件無法滿足。邊界條件改寫為：邊界條件改寫為：0, 000ylxylxvu（中點不動）（中點不動）00ylxxv（軸線在端部不轉(zhuǎn)動）（軸線在端部不轉(zhuǎn)動）代入式（代入式（f），有），有00u0202vllEIM0lEIM可求得：可求

15、得：00uEIMlv220EIMlyxlEIMu)( 222)(2yEIMxlEIMvyxlEIMu)( 222)(2yEIMxlEIMv(3-4)h/2h/2撓曲線方程：撓曲線方程：20)(2|xlEIMvy與材料力學中結(jié)果相同與材料力學中結(jié)果相同說明：說明： （1）求位移的過程：求位移的過程：（a）將應(yīng)力分量代入物理方程）將應(yīng)力分量代入物理方程)(1xyyE)(1yxxEGxyxy（b）再將應(yīng)變分量代入幾何方程）再將應(yīng)變分量代入幾何方程xvyuxyxuxyvy（c）再利用位移邊界條件，確定常數(shù)。）再利用位移邊界條件，確定常數(shù)。（2）若為平面應(yīng)變問題，則將材料常數(shù)若為平面應(yīng)變問題，則將材料常

16、數(shù)E、作相應(yīng)替換。作相應(yīng)替換。（3）若取固定端邊界條件為：若取固定端邊界條件為：h/2h/20, 000ylxylxvu（中點不動）（中點不動）00ylxyu（中點處豎向線段轉(zhuǎn)角為零）（中點處豎向線段轉(zhuǎn)角為零）00u得到：得到：0202vlEIMl0EIMl02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu求得：求得：00uEIMlv220EIMl此結(jié)果與前面情形相同。此結(jié)果與前面情形相同。（為什么？為什么？）（1）024422444yyxx(2-27)（2）xyyx,然后將然后將 代入式（代入式（2-26）求出應(yīng)力分量：）求出應(yīng)力分量：),(yx先由方程（先由方程（2-27）求出應(yīng)力函數(shù)：）

17、求出應(yīng)力函數(shù)：),(yxYyxy22Xxyx22yxxy2(2-26)（3）再讓再讓 滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。xyyx,04按應(yīng)力求解平面問題的基本步驟：按應(yīng)力求解平面問題的基本步驟：按應(yīng)力求解平面問題的方法：按應(yīng)力求解平面問題的方法：逆逆解解法法（1）根據(jù)問題的條件根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設(shè)各種滿足相容方程（假設(shè)各種滿足相容方程（2-27）的）的(x,y) 的形式；的形式；（2）然后利用應(yīng)力分量計算式（然后利用應(yīng)力分量計算式（2-26），求出），求出 （具有待（

18、具有待定系數(shù)）；定系數(shù)）；xyyx,（3）再利用應(yīng)力邊界條件式（再利用應(yīng)力邊界條件式（2-18），來考察這些應(yīng)力函數(shù)），來考察這些應(yīng)力函數(shù)(x,y) 對對應(yīng)什么樣的邊界面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)什么樣的邊界面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)(x,y) 可以求可以求解什么問題。解什么問題。（1）根據(jù)問題的條件根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設(shè)部分應(yīng)力分量假設(shè)部分應(yīng)力分量 的某種函數(shù)形式的某種函數(shù)形式 ；xyyx,（2）根據(jù)根據(jù) 與應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力函數(shù)(x,y)的關(guān)系及的關(guān)系及 ，求，求出出(x,y) 的形式；的形式；xyyx,04（3）最后

19、利用式（最后利用式（2-26）計算出）計算出 并讓其滿足邊界條件和并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。位移單值條件。xyyx, 半逆解法的數(shù)學基礎(chǔ)：半逆解法的數(shù)學基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法數(shù)理方程中分離變量法。半逆解法半逆解法位移分量求解：位移分量求解：（1）將已求得的應(yīng)力分量將已求得的應(yīng)力分量（2）（3）xyyx,代入物理方程，求得應(yīng)變分量代入物理方程，求得應(yīng)變分量xyyx,將應(yīng)變分量將應(yīng)變分量xyyx,代入幾何方程，并積分求得位移分量代入幾何方程，并積分求得位移分量表達式；表達式；由位移邊界條件確定表達式中常數(shù)，得最終結(jié)果。由位移邊界條件確定表達式中常數(shù)，得最終結(jié)果。3-3 3-3 簡支梁受

20、均布載荷簡支梁受均布載荷要點要點 用用半逆解法半逆解法求解梁、長板類平面問題。求解梁、長板類平面問題。xyllqlql1yzh/2h/2q1. 應(yīng)力函數(shù)的確定應(yīng)力函數(shù)的確定(1) 分析：分析：y 主要由彎矩引起；主要由彎矩引起；x 主要由剪力引起；主要由剪力引起；xy由由 q 引起（擠壓應(yīng)力）。引起（擠壓應(yīng)力）。又又 q =常數(shù)，圖示坐標系和幾何對稱，常數(shù)，圖示坐標系和幾何對稱，不隨不隨 x 變化。變化。y推得：推得：)(yfy(2)由應(yīng)力分量表達式確定應(yīng)力函數(shù)由應(yīng)力分量表達式確定應(yīng)力函數(shù) 的形式：的形式：),(yx)(22yfxy積分得：積分得：)()(1yfyxfx)()()(2212yf

21、yxfyfx(a)(b)(),(),(21yfyfyf 任意的待定函數(shù)任意的待定函數(shù)xyllqlql1yzh/2h/2q)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)(),(),(21yfyfyf 任意的待定函數(shù)任意的待定函數(shù)(3) 由由 確定：確定：04)(),(),(21yfyfyf)(22)2(224yfyx044x)()()(2)4(2)4(1)4(244yfyxfyfxy代入相容方程：代入相容方程：444224442yyxx0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfx0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxf

22、yfxxyllqlql1yzh/2h/2q方程的特點：方程的特點：關(guān)于關(guān)于 x 的二次方程，且要求的二次方程，且要求 l x l 內(nèi)方程均成立。內(nèi)方程均成立。由由“高等代數(shù)高等代數(shù)”理論，須有理論，須有x 的一、二次的系數(shù)、自由項同時為零。即：的一、二次的系數(shù)、自由項同時為零。即：0)()4(yf0)(2)()2()4(2yfyf0)()4(1yf對前兩個方程積分：對前兩個方程積分：GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c)此處略去了此處略去了f1(y)中的常數(shù)項中的常數(shù)項對第三個方程得：對第三個方程得：)(2)()2()4(2yfyfBAy412積分得：積分得：23452610

23、)(KyHyyByAyf(d)GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c)23452610)(KyHyyByAyf(d)xyllqlql1yzh/2h/2q)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)將將(c) (d) 代入代入 (b) ，有，有)()(223232GyFyEyxDCyByAyx)610(2345KyHyyByA(e)此處略去了此處略去了f2(y)中的一次項和常數(shù)項中的一次項和常數(shù)項式中含有式中含有9個待定常數(shù)。個待定常數(shù)。)()(223232GyFyEyxDCyByAyx)610(2345KyHyyByA(e)2. 應(yīng)力分量的確定應(yīng)力分量

24、的確定22yxKHyByAyFEyxBAyx2622)26()26(223222xyDCyByAy23yxxy2)23()23(22GFyEyCByAyx(f)(g)(h)3. 對稱條件與邊界條件的應(yīng)用對稱條件與邊界條件的應(yīng)用22yxKHyByAyFEyxBAyx2622)26()26(223222xyDCyByAy23yxxy2)23()23(22GFyEyCByAyx(f)(g)(h)3. 對稱條件與邊界條件的應(yīng)用對稱條件與邊界條件的應(yīng)用（1）對稱條件的應(yīng)用：）對稱條件的應(yīng)用：xyllqlql1yzh/2h/2q由由 q 對稱、幾何對稱：對稱、幾何對稱：yx, x 的偶函數(shù)的偶函數(shù)xy x

25、 的奇函數(shù)的奇函數(shù)由此得：由此得：026 FEy0232GFyEy要使上式對任意的要使上式對任意的 y 成立，須有：成立，須有：0GFExyllqlql1yzh/2h/2qKHyByAyBAyxx2622)26(2232DCyByAyy23)23(2CByAyxxy（2）邊界條件的應(yīng)用：）邊界條件的應(yīng)用：(a) 上下邊界（主要邊界）：上下邊界（主要邊界）：; 0,2xyhy;,2qhyy; 0,2yhy024823DChBhAhqDChBhAh248230432CBhhA0432CBhhA由此解得：由此解得：,23hqA, 0B2qDhqC23代入應(yīng)力公式代入應(yīng)力公式xyllqlql1yzh/

26、2h/2qKHyyhqyxhqx26463323223233qyhqyhqyxhqxyhqxy23623( i )( j )( k )(b) 左右邊界（次要邊界）：左右邊界（次要邊界）：（由于對稱，只考慮右邊界即可。）（由于對稱，只考慮右邊界即可。）, lx 未知22hyhlxxy022hyhlxx 難以滿足，需借助于圣維南原理。難以滿足，需借助于圣維南原理。靜力等效條件：靜力等效條件：軸力軸力 N = 0；彎矩彎矩 M = 0；剪力剪力 Q = ql；qldyQhhlxxy22022dyNhhlxx022dyyMhhlxxKHyyhqyxhqx26463323223233qyhqyhqyxh

27、qxyhqxy23623( i )( j )( k )0K02Kh0)2646(223323hhdyKHyyhqylhqqllyhqyhqlhy2232323620)646(24322232dyHyyhqyhqlhhhqhqlH1032qldylhqyhqlhh)236(2223可見，這一條件自動滿足?？梢姡@一條件自動滿足。qldyQhhlxxy22022dyNhhlxx022dyyMhhlxxxyllqlql1yzh/2h/2q)534()(622223hyhyqyxlhqx(p)截面上的應(yīng)力分布：截面上的應(yīng)力分布：xyxy)()(103)(3222qxlhq三次拋物線三次拋物線q2211

28、2hyhyqy22346yhxhqxy4. 與材料力學結(jié)果比較與材料力學結(jié)果比較xyllqlql1yzh/2h/2q)534()(622223hyhyqyxlhqx(p)22112hyhyqy22346yhxhqxy4. 與材料力學結(jié)果比較與材料力學結(jié)果比較材力中幾個參數(shù)材力中幾個參數(shù)：截面寬：截面寬：b=1 ,3121hI截面慣矩：截面慣矩：靜矩：靜矩：2822yhS彎矩：彎矩：)(222xlqM剪力：剪力：qxQ將其代入式將其代入式 ( p ) ，有，有53422hyhyqyIMx22112hyhyqybIQSxy（3-6）xyllqlql1yzh/2h/2q53422hyhyqyIMx2

29、2112hyhyqybIQSxy（3-6）比較，得：比較，得：（1）xxy第一項與材力結(jié)果相同，為主要項。第一項與材力結(jié)果相同，為主要項。第二項為修正項。當?shù)诙棡樾拚?。?h / l1，該，該項誤差很小，可略；當項誤差很小，可略；當 h / l較大時，較大時，須修正。須修正。（2）y為梁各層纖維間的擠壓應(yīng)力，材力為梁各層纖維間的擠壓應(yīng)力，材力中不考慮。中不考慮。（3）與材力中相同。與材力中相同。注意：注意：按式（按式（3-6），梁的左右），梁的左右邊界存在水平面力：邊界存在水平面力：lxxX53422hyhyq說明式（說明式（3-6）在兩端不）在兩端不適用。適用。解題步驟小結(jié)：解題步驟小結(jié)

30、：（1）（2）（3）根據(jù)問題的條件：幾何特點、受力特點、約束特點（面力分布規(guī)根據(jù)問題的條件：幾何特點、受力特點、約束特點（面力分布規(guī)律、對稱性等），估計律、對稱性等），估計某個應(yīng)力分量某個應(yīng)力分量（ ）的變化形）的變化形式。式。xyyx,由由 與應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系式（的關(guān)系式（2-26），求得應(yīng)），求得應(yīng)力函數(shù)力函數(shù) 的具體形式（具有待定函數(shù)）。的具體形式（具有待定函數(shù)）。xyyx,),(yx),(yx（4）（5）將具有待定函數(shù)的應(yīng)力函數(shù)將具有待定函數(shù)的應(yīng)力函數(shù) 代入相容方程：代入相容方程： 確確定定 中的待定函數(shù)形式。中的待定函數(shù)形式。),(yx04),(yx由由 與應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力函

31、數(shù) 的關(guān)系式（的關(guān)系式（2-26），求得應(yīng)），求得應(yīng)力分量力分量 。xyyx,),(yxxyyx,由邊界條件確定由邊界條件確定 中的待定常數(shù)。中的待定常數(shù)。xyyx,用半逆解法求解用半逆解法求解梁、矩形長板梁、矩形長板類彈性力學平面問題的類彈性力學平面問題的基本步驟基本步驟：應(yīng)力函數(shù)法求解平面問題的基本步驟：應(yīng)力函數(shù)法求解平面問題的基本步驟：（1）024422444yyxx(2-27)（2）xyyx,然后將然后將 代入式（代入式（2-26）求出應(yīng)力分量：）求出應(yīng)力分量：),(yx先由方程（先由方程（2-27）求出應(yīng)力函數(shù)：）求出應(yīng)力函數(shù)：),(yxYyxy22Xxyx22yxxy2(2-26)

32、（3）再讓再讓 滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。xyyx,04求解方法：求解方法：逆逆解解法法（1）根據(jù)問題的條件根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設(shè)各種滿足相容方程（假設(shè)各種滿足相容方程（2-27）的）的(x,y) 的形式；的形式；（2）然后利用應(yīng)力分量計算式（然后利用應(yīng)力分量計算式（2-26），求出），求出 （具有待（具有待定系數(shù)）；定系數(shù)）；xyyx,（3）再利用應(yīng)力邊界條件式（再利用應(yīng)力邊界條件式（2-18），來考察這些應(yīng)力函數(shù)），來考察這些應(yīng)力函數(shù)(x,y) 對對應(yīng)什么樣

33、的邊界面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)什么樣的邊界面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)(x,y) 可以求可以求解什么問題。解什么問題。 半逆解法的數(shù)學基礎(chǔ)：半逆解法的數(shù)學基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法數(shù)理方程中分離變量法。（1）根據(jù)問題的條件根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設(shè)部分應(yīng)力分量假設(shè)部分應(yīng)力分量 的某種函數(shù)形式的某種函數(shù)形式 ；xyyx,（2）根據(jù)根據(jù) 與應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力函數(shù)(x,y)的關(guān)系及的關(guān)系及 ，求，求出出(x,y) 的形式；的形式；xyyx,04（3）最后利用式（最后利用式（2-26）計算出）計算出 并讓其滿足邊界條件和并讓其滿足邊

34、界條件和位移單值條件。位移單值條件。xyyx,半逆解法半逆解法位移分量求解：位移分量求解：（1）將已求得的應(yīng)力分量將已求得的應(yīng)力分量（2）（3）xyyx,代入物理方程，求得應(yīng)變分量代入物理方程，求得應(yīng)變分量xyyx,將應(yīng)變分量將應(yīng)變分量xyyx,代入幾何方程，并積分求得位移分量代入幾何方程，并積分求得位移分量表達式；表達式；由位移邊界條件確定表達式中常數(shù)，得最終結(jié)果。由位移邊界條件確定表達式中常數(shù)，得最終結(jié)果。1. 應(yīng)力函數(shù)的確定應(yīng)力函數(shù)的確定(1) 分析：分析：y 主要由彎矩引起；主要由彎矩引起；x 主要由剪力引起；主要由剪力引起；xy由由 q 引起（擠壓應(yīng)力）。引起（擠壓應(yīng)力）。又又 q

35、=常數(shù)，圖示坐標系和幾何對稱，常數(shù)，圖示坐標系和幾何對稱，不隨不隨 x 變化。變化。y推得：推得：)(yfy(2)由應(yīng)力分量表達式確定應(yīng)力函數(shù)由應(yīng)力分量表達式確定應(yīng)力函數(shù) 的形式：的形式：),(yx)(22yfxy積分得：積分得：)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)(),(),(21yfyfyf 任意的待定函數(shù)任意的待定函數(shù)簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷xyllqlql1yzh/2h/2q)()(223232GyFyEyxDCyByAyx)610(2345KyHyyByA(e)442244442yyxx0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yf

36、yfyxfyfx0)()4(yf0)(2)()2()4(2yfyf0)()4(1yfxyllqlql1yzh/2h/2q2. 應(yīng)力分量的確定應(yīng)力分量的確定22yxKHyByAyFEyxBAyx2622)26()26(223222xyyxxy2)23()23(22GFyEyCByAyx(f)(g)(h)DCyByAy233. 由邊界條件確定待定常數(shù)由邊界條件確定待定常數(shù)xyllqlql1yzh/2h/2q附：附：應(yīng)力函數(shù)確定的應(yīng)力函數(shù)確定的“材料力學方法材料力學方法”要點：要點：利用材料力學中應(yīng)力與梁內(nèi)力的關(guān)系，假設(shè)某個利用材料力學中應(yīng)力與梁內(nèi)力的關(guān)系，假設(shè)某個應(yīng)力分量的函數(shù)形式。應(yīng)力分量的函數(shù)

37、形式。適用性：適用性：直梁、長板條等受連續(xù)分布面力、桿端集中直梁、長板條等受連續(xù)分布面力、桿端集中力、桿端集中力偶等。力、桿端集中力偶等。應(yīng)力函數(shù)?？杀硎緸椋簯?yīng)力函數(shù)常可表示為：)()(),(ygxfyx設(shè)法由邊界面力先確定設(shè)法由邊界面力先確定 其中之一，然后將其其中之一，然后將其代入代入 確定另外一個函數(shù)。確定另外一個函數(shù)。)()(ygxf或04材力中，應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系為：材力中，應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系為：)()(2yfxQxy)()(1yfxMx式中：式中： M(x) 彎矩方程；彎矩方程；Q(x) 剪力方程。剪力方程。當有橫向分布力當有橫向分布力q(x)作用時，縱向纖維間存在擠壓應(yīng)力

38、作用時，縱向纖維間存在擠壓應(yīng)力 ，y同時，橫向分布力同時，橫向分布力q(x)的擠壓作用時，對軸向應(yīng)力的擠壓作用時，對軸向應(yīng)力 也也產(chǎn)生影響。產(chǎn)生影響。x應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系可表示為：應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系可表示為：)()()()(21yfxqyfxMx)()(3yfxqy)()(4yfxQxy考慮擠壓應(yīng)力影響導(dǎo)致考慮擠壓應(yīng)力影響導(dǎo)致然后由：然后由：xyxy222xy22yx04確定應(yīng)力函數(shù)確定應(yīng)力函數(shù) 的具體形式。的具體形式。例：例：懸臂梁，厚度為單位懸臂梁，厚度為單位1，=常數(shù)。求：常數(shù)。求：應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) 及梁內(nèi)應(yīng)力。及梁內(nèi)應(yīng)力。xyObl解：解：(1) 應(yīng)力函數(shù)的確定應(yīng)力函數(shù)的確定x

39、QM取任意截面，其內(nèi)力如圖：取任意截面，其內(nèi)力如圖：bxQ)(0)()()(xlbbxlxM取取 作為分析對象，可假設(shè)：作為分析對象，可假設(shè)：xy)()()(ybfyfxQxy（a） f(y)為待定函數(shù)為待定函數(shù)xy由由 與應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力函數(shù) 的關(guān)系，有：的關(guān)系，有：)(2ybfyx（b）對對 x 積分一次，有：積分一次，有：對對 y 再積分一次，有：再積分一次，有：)()()(321xfyfybxf)()(0yfybxfy其中：其中：dyyfyf)()(02dyyfyf)()(1（c）xyOblxQM)()()(321xfyfybxf（c）04由由 確定待定函數(shù)：確定待定函數(shù)：0244224

40、44yyxx0)()()()4(3)4(2)4(1xfyfybxf（d）要使上式對任意的要使上式對任意的x，y成立，有成立，有0)()()4(3)4(2xfyf0)()4(1yf（e）（f）由式（由式（ e）求得）求得CyByAyyf231)(（g）由式（由式（ f）得）得)()4(3xf)()4(2yf（h）（i）積分式（積分式（ h）和（）和（i）得）得2232423)(xCxBxAxf2131412)(yCyByAyf（j）（k）xyOblxQM)(223242xCxBxA)(23CyByAybx)(213141yCyByA( l )包含包含9個待定常數(shù)，由邊界條件確定。個待定常數(shù)，由邊

41、界條件確定。(2) 應(yīng)力分量的確定應(yīng)力分量的確定1121222612)26(CyByABAybxyx)23(22CByAybyxxy2222222612CxBxAxy( m )(3) 利用邊界條件確定常數(shù)利用邊界條件確定常數(shù)xyOblxQM1121222612)26(CyByABAybxyx)23(22CByAybyxxy2222222612CxBxAxy(3) 利用邊界條件確定常數(shù)利用邊界條件確定常數(shù)22, 0byxybyylxxylxx, 022, 0byxybyy( o )代入可確定常數(shù)為：代入可確定常數(shù)為：0222CBA0111CBABAbC1代入式（代入式（m）得）得xyOblxQM

42、xy0 x0yxy注：注：也可利用也可利用 M（x）= 0，考慮，考慮0)()(yfxMx進行分析。此時有：進行分析。此時有：022yx)(1xfy)()(21xfxyf)(),(21xfxf為待定函數(shù)，由相容方程確定。為待定函數(shù)，由相容方程確定。llqlql1yzh/2h/2qqxxQ)(剪力：剪力：可假設(shè)剪應(yīng)力：可假設(shè)剪應(yīng)力：)(yqxfxy)(yxfy0y)(yfy3-4 3-4 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力要點要點半逆解法半逆解法（因次或量綱分析法）（因次或量綱分析法）ggxyO問題的提法：問題的提法：楔形體，下部可無限延伸。楔形體，下部可無限延伸。側(cè)面受水壓作用：側(cè)面

43、受水壓作用：g)m/N(3（水的容重）；（水的容重）；自重作用：自重作用：g)m/N(3（楔形體的容重）；（楔形體的容重）；求：楔形體應(yīng)力分布規(guī)律求：楔形體應(yīng)力分布規(guī)律 。 xyyx,1. 應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量(1) 分析：分析：(a),gg,x 的量綱為：的量綱為：,gg)m/N(3 的形式應(yīng)為：的形式應(yīng)為：xgygxgygx,的線性組合。的線性組合。x 的量綱為：的量綱為：2N/m(b) 由由 推理得：推理得：22yx應(yīng)為應(yīng)為 x、y 的三次函數(shù)。的三次函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：3223eycxyybxaxgggyxyO(2) 應(yīng)力分量應(yīng)力分量3223eyc

44、xyybxax考慮到：考慮到：X = 0，Y = （常體力）（常體力）gcybx22Xxyx22eycx62Yyxy22yxxy2gybyax26(a)顯然，上述應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程。顯然，上述應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程。2. 邊界條件的利用邊界條件的利用(1) x=0 （應(yīng)力邊界）：（應(yīng)力邊界）：gyxx000 xxygyey602 cy0c6ge代入式（代入式（a），則應(yīng)力分量為：），則應(yīng)力分量為：gggyxyON2bxxy2gyxgybyaxy26(b)(2) （應(yīng)力邊界）：（應(yīng)力邊界）： tanyx 0YX0tantanxyxxyml0tantanxxyxxmlcosl其中：其中：sin將將

45、(b)代入，有代入，有0)tan2()(bymgyl0)2()(bxmgyl0)26()2(gybyaxmbxl0)2tan6()tan2(gybyaymbyl0)2tan6(tan2gbambl0tan2bmgl)2cos(m代入，可求得：代入，可求得：gggyxyObxxy2gyxgybyaxy26(b)3cot3cot6ggacot2gb 代入式（代入式（b），有：），有：gyxyggxggy)cot()cot2cot(232cotgxyxxy(3-7)xyx)(y)( 李維（李維（Levy）解答）解答沿水平方向的應(yīng)力分布沿水平方向的應(yīng)力分布與材力結(jié)果比較：與材力結(jié)果比較：xyxy 沿水

46、平方向不變，在材力中無法求得。沿水平方向不變，在材力中無法求得。 沿水平方向線性分布，與材力中沿水平方向線性分布，與材力中偏心受壓偏心受壓公式公式算得結(jié)果相同。算得結(jié)果相同。 沿水平方向沿水平方向線性分布線性分布，材力中為，材力中為拋物線分布拋物線分布。gyxyggxggy)cot()cot2cot(232cotgxyxxy(3-7) 李維（李維（Levy）解答）解答gggyxyOxyx)(y)(沿水平方向的應(yīng)力分布沿水平方向的應(yīng)力分布結(jié)果的適用性：結(jié)果的適用性：（1）當壩的橫截面變化時，不再當壩的橫截面變化時，不再為為平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題，其結(jié)果誤，其結(jié)果誤差較大。差較大。（2）假定壩下

47、端無限延伸，可自由假定壩下端無限延伸，可自由變形。而實際變形。而實際壩高有限壩高有限，底部，底部與基礎(chǔ)相連，有與基礎(chǔ)相連，有地基約束地基約束，故，故底部處結(jié)果誤差較大底部處結(jié)果誤差較大。（3）實際壩頂實際壩頂非尖頂非尖頂，壩頂處有其它，壩頂處有其它載荷，故載荷，故壩頂處結(jié)果誤差較大壩頂處結(jié)果誤差較大。 三角形重力壩的精確分析，常借助于三角形重力壩的精確分析，常借助于有限元數(shù)值方法有限元數(shù)值方法求解。求解。工程應(yīng)用：工程應(yīng)用： 求使壩穩(wěn)定時的角度求使壩穩(wěn)定時的角度 ，稱為，稱為安息角安息角。因次分析法（量綱分析法）：因次分析法（量綱分析法）：ggxyO楔形體，下部可無限延伸。楔形體，下部可無限延

48、伸。側(cè)面受水壓作用：側(cè)面受水壓作用：g)m/N(3（水的溶重）；（水的溶重）；自重作用：自重作用：g)m/N(3（楔形體的溶重）；（楔形體的溶重）；求：楔形體應(yīng)力分布規(guī)律求：楔形體應(yīng)力分布規(guī)律 。 xyyx,分析思路：分析思路：(a),gg,x 的量綱為：的量綱為：,gg)m/N(3 的形式應(yīng)為：的形式應(yīng)為：xgygxgygx,的線性組合。的線性組合。x 的量綱為：的量綱為：2N/m(b) 由由 推理得：推理得：22yx應(yīng)為應(yīng)為 x、y 的三次函數(shù)。的三次函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：3223eycxyybxax平面問題的直角坐標解答平面問題的直角坐標解答一、多項式解答一、多項式解

49、答逆解法逆解法二、梁、長板類彈性體應(yīng)力函數(shù)方法二、梁、長板類彈性體應(yīng)力函數(shù)方法應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系可表示為：應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系可表示為：)()()()(21yfxqyfxMx)()(3yfxqy)()(4yfxQxy考慮擠壓應(yīng)力影響導(dǎo)致考慮擠壓應(yīng)力影響導(dǎo)致然后由：然后由：xyxy222xy22yx04確定應(yīng)力函數(shù)確定應(yīng)力函數(shù) 的具體形式。的具體形式。三、三角形板、楔形體的求解方法三、三角形板、楔形體的求解方法因次分析法（量綱分析法）：因次分析法（量綱分析法）：ggxyO楔形體，下部可無限延伸。楔形體，下部可無限延伸。側(cè)面受水壓作用：側(cè)面受水壓作用：g)m/N(3（水的溶重）；（水的溶重）

50、；自重作用：自重作用：g)m/N(3（楔形體的溶重）；（楔形體的溶重）；分析思路：分析思路：(a),gg,x 的量綱為：的量綱為：,gg)m/N(3 的形式應(yīng)為：的形式應(yīng)為：xgygxgygx,的線性組合。的線性組合。x 的量綱為：的量綱為：2N/m(b) 由由 推理得：推理得：22yx應(yīng)為應(yīng)為 x、y 的三次函數(shù)。的三次函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：3223eycxyybxax例：例：圖示矩形板，長為圖示矩形板，長為 l ，高為，高為 h ，體力不計，體力不計，試證以下函數(shù)是應(yīng)力函數(shù)，并指出能解決什試證以下函數(shù)是應(yīng)力函數(shù)，并指出能解決什么問題。式中么問題。式中k、q為常數(shù)。為常數(shù)

51、。xyOlhhkxyhkxy23233解：解：(1) 應(yīng)力分量：應(yīng)力分量：32212hkxyx022xyhkhkyyxxy236322邊界條件：邊界條件：02326322hkhhkhyxy02hyy顯然，上下邊界無面力作用。顯然，上下邊界無面力作用。上下邊界上下邊界(2)xyOlh:0 x01222322hhhhxdyhkxydy012223222hhhhxdyhkxyydy左邊界左邊界223222236hhhhxydyhkhkydykhkyhkyhh2233232k右邊界右邊界: lx 01222322hhhhxdyhklydy22322212hhhhxdyhklyydy2233312hhh

52、klykl223222236hhhhxydyhkhkydykhkyhkyhh2233232kkl結(jié)論：結(jié)論：可解決懸臂梁左端可解決懸臂梁左端受集中力問題。受集中力問題。例：例：圖示矩形截面簡支梁，長為圖示矩形截面簡支梁，長為 l ，高為，高為 h ，受，受有三角形分布載荷作用，體力不計。試求其有三角形分布載荷作用，體力不計。試求其應(yīng)力分布。應(yīng)力分布。解：解：（1）應(yīng)力函數(shù)形式的確定）應(yīng)力函數(shù)形式的確定梁截面上彎矩和剪力為：梁截面上彎矩和剪力為：)()()()(21yfxqyfxMx)()(3yfxqy)()(4yfxQxylxqxM3)(30lxqxQ2)(20lxqxq0)(由材料力學方法可

53、確定應(yīng)力分量的由材料力學方法可確定應(yīng)力分量的分離變量分離變量形式：形式：)()(320130yflxqyflxq)(30yflxq)(2420yflxq取應(yīng)力分量取應(yīng)力分量 分析，分析，y取應(yīng)力分量取應(yīng)力分量 與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系：與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系：y22xy)(10yflxq對此式積分：對此式積分：22xy)(10yflxq對此式積分：對此式積分：)()(210yfdxyflxqx)()(22120yfyflxq)()()(3210yfdxyfdxyflxq )()()(232120yfdxyfyflxq)()()(632130yfyxfyflxq為待定函數(shù)為待定函數(shù))(),(),(321yfy

54、fyf（2）由相容方程確定待定函數(shù)）由相容方程確定待定函數(shù)044x)()()(6)4(3)4(2)4(13044yfyxfyflxqy)(22)2(10224yflxqyx代入代入024422444yyxx0)()(2)()(6)4(310)4(2)4(130yfyflxqyxfyflxq0)()(2)()(6)4(3)2(10)4(2)4(130yfyflqyfxyflxq要使上述方程對任意的要使上述方程對任意的 x 成立，有成立，有0)()4(1yf0)(2)(210)4(2yflqyf0)()4(3yf)()()(632130yfyxfyflxq(a)(b)(c)積分式（積分式（a），得

55、），得DCyByAyyf231)(將上式代入（將上式代入（b）積分，得）積分，得GyFyyEyByAlqyf2345023610)(積分式（積分式（c），得），得233)(KyHyyf(d)(e)(f)將求得的將求得的)(),(),(321yfyfyf代入應(yīng)力函數(shù)，有代入應(yīng)力函數(shù)，有（3）計算應(yīng)力分量）計算應(yīng)力分量22yxBAylxq26630FEyByAylxq2222230KHy2622xyDCyByAylxq230yxxy2CByAylxq232220GFyEyByAylq23222340GyFyyEyByAlxq234503610DCyByAylxq2330623KyHy (g)(h)

56、（3）利用邊界條件確定待定常數(shù)）利用邊界條件確定待定常數(shù)上邊界上邊界：2hy xlqy00 xyDhChBhAlxq222230CBhhAlxq2202320412322340GFhEhBhAhlq124823DhChBhA0832CBhhA041232234GFhEhBhAh(i)(j)(k)下邊界下邊界：2hy 0y0 xy024823DhChBhA0832CBhhA041232234GFhEhBhAh(l)(m)(n)左邊界左邊界：0 x0220hhxxdy0220hhxxydy0220hhxxydy0)26(22hhdyKHy0)26(222hhdyKyHy02322222340dyG

57、FyEyByAylqhh左邊界左邊界：lx 022hhlxxdyMydyhhlxx22620lqQdyhhlxxy2220lq(o)(p)(q)(r)(s)(t)聯(lián)立求解式（聯(lián)立求解式（i）（t）,可得具體的可得具體的應(yīng)力分量應(yīng)力分量。注：注：位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件。位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件。（1）（2）試按材料力學中確定應(yīng)力的方法，寫出試按材料力學中確定應(yīng)力的方法，寫出圖示兩梁所有應(yīng)力分量形式。（含有待定函圖示兩梁所有應(yīng)力分量形式。（含有待定函數(shù)）數(shù)）課堂練習：課堂練習：3-5 3-5 級數(shù)式解答級數(shù)式解答問題的提出問題的提出多項式解答：多項式解答： 只能求解載荷只能求解載荷簡

58、單簡單，且，且連續(xù)分布連續(xù)分布的問題。的問題。不能求解載荷不能求解載荷復(fù)雜復(fù)雜，且，且間斷分布間斷分布的問題。的問題。級數(shù)式解答：級數(shù)式解答：),(yx其基本思路是將應(yīng)力函數(shù)其基本思路是將應(yīng)力函數(shù) 分解成關(guān)于分解成關(guān)于 xy 的的兩個單變量函數(shù)的乘積。兩個單變量函數(shù)的乘積。 分離變量法。分離變量法。（屬逆解法）（屬逆解法）1. 級數(shù)形式的應(yīng)力函數(shù)級數(shù)形式的應(yīng)力函數(shù)假設(shè)：假設(shè)：)(sin),(yfxyx(a)式中：式中：為任意常數(shù)，其量綱為為任意常數(shù)，其量綱為 ,1長度)(yf為為 y 的任意（待定）函數(shù)。的任意（待定）函數(shù)。)(sin)2(2224yfxyx)(sin444yfxx)(sin)

59、4(44yfxy將其代入將其代入 ：04載荷載荷復(fù)雜復(fù)雜，且，且間斷分布間斷分布的問題，可由的問題，可由級數(shù)式級數(shù)式解答解決。解答解決。有：有：)(cos),(1yfxyx442244442yyxx)(sin)(sin2)(sin)4()2(24yfxyfxyfx0)()(2)(sin4)2(2)4(yfyfyfx(b)解上述方程，得解上述方程，得0)()(2)(4)2(2)4(yfyfyf其中：其中：A、B、C、D 都是任意常數(shù)，都是任意常數(shù)， 將其代入應(yīng)力函數(shù)將其代入應(yīng)力函數(shù) ，得，得ychyshyBchysh)(DyCyAyf(c)再取如下應(yīng)力函數(shù)：再取如下應(yīng)力函數(shù)：y)chyshyBc

60、hysh(sin),(DyCyAxyx式中：式中：也為任意常數(shù)也為任意常數(shù) ,為為 y 的任意（待定）函數(shù)。的任意（待定）函數(shù)。)(1yf類似于上面的運算，可得應(yīng)力函數(shù)的另一解：類似于上面的運算，可得應(yīng)力函數(shù)的另一解：(d)顯然，將式顯然，將式(c) 與與(d)相加，仍為可作為應(yīng)力函數(shù)：相加，仍為可作為應(yīng)力函數(shù)：)chshchsh(cos),(yyDyyCyByAxyx1)chshchsh(cosmmmmmmmmmmyyDyyCyByAx)chshchsh(sin),(yDyyCyyByAxyx(e)取取 和和 的一系列值，即?。旱囊幌盗兄?，即?。簃,m)(m將由此構(gòu)成的將由此構(gòu)成的 加起來，