第13章--非平穩(wěn)時間序列模型課件

1、前言前言 在前面的章節(jié)中，所闡述的有關(guān)時間序列數(shù)據(jù)模型的內(nèi)容都假定數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的，那么，實際經(jīng)濟中的數(shù)據(jù)有沒有可能是非平穩(wěn)的？如何檢驗時間序列數(shù)據(jù)的非平穩(wěn)性？ 特別是，如果我們面對的是非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)，原有的基于平穩(wěn)數(shù)據(jù)而建立的分析方法是否仍然適用？如果不適用，我們就應(yīng)該針對非平穩(wěn)數(shù)據(jù)的特征，提出新的分析方法。本章我們將系統(tǒng)闡述非平穩(wěn)性的概念、估計與檢驗方法。13.1 認識非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)特征認識非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)特征 我們以中國國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)，經(jīng)濟增長率(g)的數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)分析相關(guān)概念，具體數(shù)據(jù)如圖： 0400008000012000016000020000024000078 80 82 84 86

2、88 90 92 94 96 98 00 02 04 06GDP圖13.1.1GDP數(shù)據(jù)圖 24681012141678 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06g圖13.1.2 經(jīng)濟增長率數(shù)據(jù)圖 從圖13.1.2可以發(fā)現(xiàn)，我國經(jīng)濟增長率數(shù)據(jù)既沒有上升趨勢，也沒有下降趨勢，而是圍繞在某個均值附近上下波動。一旦某年度的經(jīng)濟增長率偏離均值，它會隨后較快地向均值回復，也就是說，經(jīng)濟增長率具有均值回復特征。經(jīng)濟增長率的數(shù)據(jù)特征與上一章中所介紹的平穩(wěn)數(shù)據(jù)特征很相似。 與之不同的是，我國的GDP雖有一定的波動，但存在一個明顯的上升趨勢。如果我們把每年的GDP看成是

3、一個隨機變量，那么，這種上升的趨勢就使得每年GDP的均值發(fā)生變化。類似GDP這樣的數(shù)據(jù)變化特征就是本章將要介紹的非平穩(wěn)數(shù)據(jù)的一個典型特征。13.2 非平穩(wěn)時間序列與單位根過程非平穩(wěn)時間序列與單位根過程 定義：如果一個時間序列的均值或方差隨時間而變化，那么，這個時間序列數(shù)據(jù)就是非平穩(wěn)的時間序列數(shù)據(jù)；如果一個序列是非平穩(wěn)的序列，常常稱這一序列具有非平穩(wěn)性。 如果時間序列 不滿足如下平穩(wěn)性定義中的一條或幾條，則 是非平穩(wěn)的序列。tXtX （1） 的均值不隨時間變化， （2） 的方差不隨時間變化， （3）任何兩期的 與 之間的協(xié)方差僅依賴于這兩期間隔的距離或滯后長度（ ），而不依賴于其他變量（對所有的

4、 ），即 與 的協(xié)方差表述為tX()tEXtX22()()ttvar XE XtXt kXkktXt kX()()kttkEXX平穩(wěn)性定義平穩(wěn)性定義 所謂時間序列的隨機游走（random walk）即指下一期的值等于當期的值加上隨機誤差項。我們把隨機游走劃分為帶漂移的隨機游走和不帶漂移的隨機游走。 非平穩(wěn)性和隨機游走的關(guān)系 ： 假設(shè) 由一階自回歸過程所生成： 將 代入方程(13.2.1)： 這樣定義的 被稱為隨機游走，假定時間序列從第0期開始，我們就有：tY1tttYY(13.2.1)1tttYY(13.2.2)Y01titiYY(13.2.3)001( )()ttiiE YE YY2( )t

5、var Yt(13.2.4)(13.2.5)1 方程(13.2.2)中沒有截距項(這里稱為漂移項)和時間趨勢項，若在方程中分別加入漂移項和時間趨勢項，可得到另外兩種隨機游走方程： 方程(13.2.6)稱為帶漂移的單位根過程，方程(13.2.7)稱為帶漂移和時間趨勢的單位根過程。1tttYY(13.2.6)(13.2.7)1tttYt Y 050100150200250300350400450500-4-3-2-1012345050100150200250300350400450500-10-5051015202530050100150200250300350400450500050100150

6、20025030035040045050005010015020025030035040045050000.511.522.533.54x 104圖13.2.1： 10.6tttYY圖13.2.2： 1tttYY圖13.2.3： 圖13.2.4： 11tttYY11 0.3tttYtY 認識數(shù)據(jù)特征：平穩(wěn)數(shù)據(jù)和幾種單位跟數(shù)據(jù)認識數(shù)據(jù)特征：平穩(wěn)數(shù)據(jù)和幾種單位跟數(shù)據(jù)13.3. 趨勢平穩(wěn)和差分平穩(wěn)過程趨勢平穩(wěn)和差分平穩(wěn)過程 一、趨勢平穩(wěn)和差分平穩(wěn)的數(shù)據(jù)生成過程 圖13.1.1中我國的名義GDP表現(xiàn)出很強的趨勢，這種趨勢是隨機性的還是確定性的呢？還是兩者兼而有之呢？為清楚理解這一問題的含義，考慮如下模

7、型：0121tttYtY(13.3.1) (1)在模型(13.3.1)中，若 則可以得到： 模型(13.3.2)是一個不帶漂移和時間趨勢項的隨機游走，是非平穩(wěn)的單位根過程，對其取差分的形式，得到： 由于隨機誤差項( )是平穩(wěn)的，因此， 是平穩(wěn)的。換言之，一個不帶漂移的隨機游走是一個差分平穩(wěn)過程。, 1, 0, 02101tttYY(13.3.2)1()ttttYYY(13.3.3)ttY (2)在模型(13.3.1)中，若 則可以得到： 這是一個帶漂移的隨機游走過程，是非平穩(wěn)的單位根過程，將其寫成差分的形式： 這意味著時間序列的變化( )除了受 的影響外，還受誤差項 的影響，并且 將把以前時期

8、的 值累積起來，隨機誤差項對 的這種累積效應(yīng)被稱為隨機趨勢。 帶漂移的單位根過程也是差分平穩(wěn)的。 , 1, 0, 0210(13.3.4)(13.3.5)ttY01tttYY10()ttttYYY0tYttY (3)在模型(13.3.1)中，若 則可以得到： 模型(13.3.6) 所生成的數(shù)據(jù)，其均值不是常數(shù)而是時間的函數(shù)（等于 ），其方差恒定(等于 的方差) ，一旦知道了 的值，就可以準確預測 的均值及其趨勢。 一旦從中減去其均值，所得到的序列就是平穩(wěn)的，因此，由(13.3.6)生成的 稱為趨勢平穩(wěn)過程。這種除去確定性趨勢的過程稱為除趨勢。, 0, 0, 0210(13.3.6)ttYtY0

9、1ttYt01t10， (4)在模型(13.3.1)中，若 則可以得到： 這是一個帶漂移和時間趨勢的隨機游走，將模型(13.3.7)轉(zhuǎn)化成差分的形式： 可以看出， 含有時間趨勢，因此 的均值隨時間而變化， 是非平穩(wěn)的。要使 變成平穩(wěn)，需要對其進行除趨勢處理。也就是說， 是趨勢平穩(wěn)過程。, 1, 0, 0210(13.3.7)(13.3.8)tY011tttYt Y01ttYttYtYtYtY二、趨勢平穩(wěn)的檢驗方法 實際研究中一個簡單的區(qū)分趨勢平穩(wěn)和差分平穩(wěn)的方法，就是從數(shù)據(jù)中去除其所含有的確定性部分，然后檢驗其剩余部分是單位根過程還是平穩(wěn)過程。如果剩余部分是單位根過程，則說明該數(shù)據(jù)本身是差分平

10、穩(wěn)，否則該數(shù)據(jù)就是趨勢平穩(wěn)過程。 例如，對如下模型做回歸： 得到回歸殘差 ，再檢驗 的平穩(wěn)性，基于檢驗結(jié)果判斷 是否趨勢平穩(wěn)。 01ttYt(13.3.9)01ttYtttY13.4 單位根檢驗單位根檢驗 一、迪基富勒(DF)檢驗 數(shù)據(jù)的非平穩(wěn)性可能歸因于一個確定性時間趨勢，也可能是源自于數(shù)據(jù)生成過程中的隨機游走，也許兩者兼而有之，區(qū)分非平穩(wěn)數(shù)據(jù)的這兩種特征非常重要。 Nelson,Plosser(1982)等認為很多經(jīng)濟時間序列都是由單位根而不是由確定性時間趨勢來更好地近似描述。因此，近期廣受歡迎的一種非平穩(wěn)性檢驗就是所謂的單位根檢驗。 回憶我們曾討論方程(13.2.1)中的 值，它幫助我們

11、確定Y是平穩(wěn)還是非平穩(wěn)： 我們已在13.2節(jié)中定義, 如果 1時， 趨于以更快的速度爆炸性增長，此時 稱為發(fā)散過程；但當 =1， 是非平穩(wěn)的且被稱為單位根過程。 因此，迪基富勒（DF）單位根檢驗的原理：估計方程（13.4.1），并確定是否有 1, 從而判定 是否是平穩(wěn)的, 1tttYY(13.4.1)tYtYtYtYtY 首先，在方程（13.4.1）兩邊同時減去 ，得到： 定義 ，我們就得到迪基富勒（DF）檢驗最簡單的表達式： 這里 ，因此，檢驗 是否為單位根過程就轉(zhuǎn)而檢驗原假設(shè) =0。 若 =0，則 =1， 為一個單位根過程；若 0，則 1， 是平穩(wěn)的。于是我們構(gòu)造原假設(shè) : =0，備擇假設(shè)

12、 : 0。(13.4.2)1tY1111(1)tttttttYYYYY1tttYYY1tttYYv(13.4.3)1tYtYtY0H1H 如何檢驗模型(13.4.3)的原假設(shè)是否成立？ 在原假設(shè) 下，估計的 的回歸系數(shù)的t統(tǒng)計值即使在大樣本下也不服從t分布，因此，使用通常的t檢驗無法檢驗原假設(shè)是否成立。 迪基富勒的解決辦法：在原假設(shè) 1對應(yīng)的是協(xié)整檢驗。1212()()()()pCKKK TK T(13.7.5)12pTKKK三、我國進出口總額的協(xié)整分析 作為協(xié)整檢驗的一個例子，我們來分析我國進口總額(IM)和出口總額(EX)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于新中國55年統(tǒng)計資料，見圖13.7.2：123456

13、7895055606570758085909500Ln(EX)Ln(IM)圖13.7.2：我國進口總額和出口總額數(shù)據(jù) （一）對Ln(EX)和Ln(IM)做回歸 ADF檢驗表明，變量Ln(EX)、Ln(IM)都是一階單整的單位根過程，基于此，對Ln(EX)和Ln(IM)做回歸得到：()0.036 1.010()tttLn EXLn IMu (13.7.6) （二）對殘差進行單位根檢驗 對殘差 進行單位根檢驗，AIC準則選擇最優(yōu)滯后期為0 ，結(jié)果為： t = -3.43 查表13.4計算協(xié)整檢驗臨界值： 由于(13.7.7)式單位根檢驗計算的t統(tǒng)計量值為-3.43，小于計算的臨界值-3.118，因

14、此，在10%的顯著性水平下，可以拒絕回歸殘差 為單位根的原假設(shè)，所以，Ln(EX)和Ln(IM)存在協(xié)整關(guān)系。tu10.364tttuue (13.7.7)118. 355/73. 555/069. 4046. 3210. 0C u四、誤差校正模型 如果使用EG或AEG檢驗證實了若干個單位根變量存在協(xié)整關(guān)系，則意味著這些變量存在長期均衡，但在短期中，各變量不可能永久停留在長期均衡上，而是可能會偏離長期均衡，圍繞均衡波動。 由于協(xié)整關(guān)系的存在，變量一旦偏離均衡又將會逐步回復到長期均衡。這種向長期均衡的動態(tài)調(diào)節(jié)過程就是誤差校正模型(Error Correct Model, 簡稱ECM)所要闡述的內(nèi)

15、容。 假定長期利率( )和短期利率( )都是 ，它們的協(xié)整關(guān)系為： 則用于利率期限結(jié)構(gòu)的簡單誤差校正模型為： 由格蘭杰表述定理，一個完備的誤差校正模型可寫為：1tr2tr(1)I101 2tttrr(13.7.8)1101111tttru 2202112tttru (13.7.9)(13.7.10)1101111122111ppttit iit itiirrru 2202111122211ppttit iit itiirrru (13.7.11)(13.7.12) 將上述內(nèi)容擴展至協(xié)整方程中包括 個變量的情形。 如果向量 為 ，且存在協(xié)整關(guān)系 ，則向量 有一個誤差校正模型表達式： 因為(13.

16、7.13)的誤差校正模型是使用向量形式表述，因而被稱為向量誤差校正模型(Vector Error Correct Model, 簡稱VECM)。k12(,.,)tttktxxxx(1)I)0(Ixttx0111122( ).ttttpt ptxxxxxu (13.7.13)01234520022003200420052006200720082009r2r113.8 我國商業(yè)銀行利率的協(xié)整分析我國商業(yè)銀行利率的協(xié)整分析 本節(jié)我們將使用本章介紹的知識，研究長期利率和短期利率的長期均衡和短期動態(tài)調(diào)節(jié)。 以 表示長期利率， 表示短期利率，其中長期利率是指我國商業(yè)銀行90天同業(yè)拆借利率的月度加權(quán)平均值，

17、短期利率是我國商業(yè)銀行7天同業(yè)拆借利率的月度加權(quán)平均值。數(shù)據(jù)來自中國人民銀行網(wǎng)站提供的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，見圖13.8.1。1tr2tr圖13.8.1：我國同業(yè)拆借利率一、對變量進行單位根檢驗（ADF檢驗） 由于 和 的數(shù)據(jù)圖形都沒有表現(xiàn)出明顯的確定性趨勢，因此，單位根檢驗方程中應(yīng)不包含漂移項和時間趨勢項，檢驗結(jié)果見表13.5。 表13.5： ADF檢驗結(jié)果 1tr2tr變量統(tǒng)計量值5%臨界值結(jié)論-1.06-1.94單位根-11.77-1.94平穩(wěn)-0.75-1.94單位根-14.33-1.94平穩(wěn)1r1r2r2r 和和 都是都是 ，可以對可以對 和和 的關(guān)的關(guān)系進行協(xié)整分析。系進行協(xié)整分析。1r2r(

18、1)I1r2r12345620022003200420052006200720082009r1re二、協(xié)整檢驗 設(shè)定利率期限結(jié)構(gòu)的協(xié)整方程為： 使用OLS估計以上模型，記 的估計值為 。為便于分析，將 和 同時表述在圖13.8.2中：101 2tttrr(13.8.1)1rre1rre圖13.8.2： 與 數(shù)據(jù)圖re1r 估計的殘差即為 ，亦即 對 的偏離。為檢驗協(xié)整，對殘差進行平穩(wěn)性EG檢驗： t = (-5.45) 臨界值計算結(jié)果為： 殘差平穩(wěn)意味著我國的 和 存在長期均衡的協(xié)整關(guān)系，長期均衡的OLS估計為： t = (4.91) (8.51) 由于 和 具有協(xié)整關(guān)系，(13.8.3)的估計結(jié)果不是虛回歸的結(jié)果。 拒絕殘差為單位根的原假設(shè)，即殘差是平穩(wěn)的 rer 11rre10.506ttee (13.8.2)4059. 389/98. 889/967. 53377. 3) 2(205. 0C1tr2tr121.21 0.88trre(13.8.3)1tr2tr三、誤差校正模型的估計結(jié)果 由于 和 都是 ，并且存在協(xié)整關(guān)系，因此，它們之間具有誤差校正模型。 對誤差校正模型使用OLS估計得到： t =(-0.52) (-4.00) (-0.32) (-0.03) (-1.28) (0.0