第3講-數(shù)學(xué)建模的插值法課件

1、1實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)內(nèi)容實(shí)驗(yàn)內(nèi)容2、掌握用數(shù)學(xué)軟件包求解插值問題。、掌握用數(shù)學(xué)軟件包求解插值問題。1、了解插值的基本內(nèi)容。、了解插值的基本內(nèi)容。11一維插值一維插值22二維插值二維插值33實(shí)驗(yàn)作業(yè)實(shí)驗(yàn)作業(yè)2拉格朗日插值拉格朗日插值分段線性插值分段線性插值三次樣條插值三次樣條插值一一 維維 插插 值值一、一、插值的定義插值的定義二、插值的方法二、插值的方法三、用三、用Matlab解插值問題解插值問題返回返回3返回返回二維插值二維插值一、一、二維插值定義二維插值定義二、網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)插值法二、網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)插值法三、用三、用MatlabMatlab解插值問題解插值問題最鄰近插值最鄰近插值分片線性插值分片線性

2、插值雙線性插值雙線性插值網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值4一維插值的定義一維插值的定義已知已知 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn), 1 , 0(),(njyxjj其中其中jx互不相同，不妨設(shè)互不相同，不妨設(shè)),10bxxxan求任一插值點(diǎn)求任一插值點(diǎn))(*jxx 處的插值處的插值.*y0 x1xnx0y1y節(jié)點(diǎn)可視為由節(jié)點(diǎn)可視為由)(xgy 產(chǎn)生產(chǎn)生g表達(dá)式復(fù)雜表達(dá)式復(fù)雜,或無封閉形式或無封閉形式,或未知或未知.。*x*y5 構(gòu)造一個(gè)構(gòu)造一個(gè)(相對簡單的相對簡單的)函數(shù)函數(shù)),(xfy 通過全部節(jié)點(diǎn)通過全部節(jié)點(diǎn), 即即), 1 ,0()(njyxfjj再用再用)(xf計(jì)算插值

3、，即計(jì)算插值，即).(*xfy 0 x1xnx0y1y*x*y返回返回6 稱為拉格朗日插值基函數(shù)拉格朗日插值基函數(shù)。n0iiiny)x(L)x(P 已知函數(shù)f(x)在n+1個(gè)點(diǎn)x0,x1,xn處的函數(shù)值為 y0,y1,yn 。求一n次多項(xiàng)式函數(shù)Pn(x)，使其滿足： Pn(xi)=yi,i=0,1,n. 解決此問題的拉格朗日插值多項(xiàng)式公式如下其中Li(x) 為n次多項(xiàng)式：)xx()xx)(xx()xx)(xx()xx()xx)(xx()xx)(xx()x(Lni1ii1ii1i0in1i1i10i拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值7拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值特別地特

4、別地:兩點(diǎn)一次兩點(diǎn)一次(線性線性)插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式: 101001011yxxxxyxxxxxL三點(diǎn)二次三點(diǎn)二次(拋物拋物)插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式: 2120210121012002010212yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL .,滿足插值條件直接驗(yàn)證可知xLn8 拉格朗日多項(xiàng)式插值的這種振蕩現(xiàn)象叫 Runge現(xiàn)象現(xiàn)象55,11)(2xxxg 采用拉格朗日多項(xiàng)式插值：選取不同插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n+1，其中n為插值多項(xiàng)式的次數(shù)，當(dāng)n分別取2,4,6,8,10時(shí)，繪出插值結(jié)果圖形.例例返回返回To MatlabTo Matlablch(larg1)lch(larg1)9分段線

5、性插值分段線性插值其它,0,)()()(1111110jjjjjjjjjjjnjjjnxxxxxxxxxxxxxxxlxlyxL計(jì)算量與n無關(guān);n越大，誤差越小.nnnxxxxgxL0),()(limxjxj-1xj+1x0 xnxoy10To MATLABxch11，xch12，xch13，xch14返回返回66,11)(2xxxg例例用分段線性插值法求插值用分段線性插值法求插值,并觀察插值誤差并觀察插值誤差.1.在在-6,6中平均選取中平均選取5個(gè)點(diǎn)作插值個(gè)點(diǎn)作插值(xch11)4.在在-6,6中平均選取中平均選取41個(gè)點(diǎn)作插值個(gè)點(diǎn)作插值(xch14)2.在在-6,6中平均選取中平均選取1

6、1個(gè)點(diǎn)作插值個(gè)點(diǎn)作插值(xch12)3.在在-6,6中平均選取中平均選取21個(gè)點(diǎn)作插值個(gè)點(diǎn)作插值(xch13)11比分段線性插值更光滑。比分段線性插值更光滑。xyxi-1 xiab 在數(shù)學(xué)上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲線)的k階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光滑性。 光滑性的階次越高，則越光滑。是否存在較低次的分段多項(xiàng)式達(dá)到較高階光滑性的方法？三次樣條插值就是一個(gè)很好的例子。三次樣條插值三次樣條插值12 三次樣條插值, 1,),()(1nixxxxsxSiii,)()3), 1 ,0()()2), 1()()10223niiiiiiixxCxSniyxSnidxcxbxaxs) 1,

7、1()()(),()(),()(111 nixsxsxsxsxsxsiiiiiiiiiiii自然邊界條件）(0)()()40 nxSxS)(,)4)3)2xSdcbaiiii)()(limxgxSng g( (x x) )為被插值函數(shù)為被插值函數(shù)。13例例66,11)(2xxxg用三次樣條插值選取用三次樣條插值選取11個(gè)基點(diǎn)計(jì)算插值個(gè)基點(diǎn)計(jì)算插值(ych)返回返回To MATLABych(larg1)14用用MATLABMATLAB作插值計(jì)算作插值計(jì)算一維插值函數(shù)：一維插值函數(shù)：yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法插值方法被插值點(diǎn)被插值點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)xixi處的插處的

8、插值結(jié)果值結(jié)果nearest ：最鄰近插值：最鄰近插值linear ： 線性插值；線性插值；spline ： 三次樣條插三次樣條插值；值；cubic ： 立方插值。立方插值。缺省時(shí)：缺省時(shí)： 分段線性插值。分段線性插值。 注意：所有的插值方注意：所有的插值方法都要求法都要求x x是單調(diào)的，并且是單調(diào)的，并且xi不能夠超過不能夠超過x的范圍。的范圍。15 例：在例：在1-121-12的的1212小時(shí)內(nèi)，每隔小時(shí)內(nèi)，每隔1 1小時(shí)測量一次小時(shí)測量一次溫度，測得的溫度依次為：溫度，測得的溫度依次為：5 5，8 8，9 9，1515，2525，2929，3131，3030，2222，2525，2727

9、，2424。試估計(jì)每隔。試估計(jì)每隔1/101/10小時(shí)的小時(shí)的溫度值。溫度值。hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline); plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:) %作圖xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius) %攝氏度16二維插值的定義二維插值的定義 xyO O第一種（網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)）：第一種（網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)）：17 已知已知 m n個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn) ),2 , 1;,.,2 , 1(),(njmi

10、zyxijji 其中其中jiyx ,互不相同，不妨設(shè)互不相同，不妨設(shè)bxxxam 21dyyycn 21 構(gòu)造一個(gè)二元函數(shù)構(gòu)造一個(gè)二元函數(shù)),(yxfz 通過全部已知節(jié)點(diǎn)通過全部已知節(jié)點(diǎn),即即再用再用),(yxf計(jì)算插值，即計(jì)算插值，即).,(*yxfz ),1 ,0;,1 ,0(),(njmizyxfijji 18第二種（散亂節(jié)點(diǎn)）：第二種（散亂節(jié)點(diǎn)）： yx0 019已知已知n個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)),.,2 , 1(),(nizyxiii 其中其中),(iiyx互不相同，互不相同， 構(gòu)造一個(gè)二元函數(shù)構(gòu)造一個(gè)二元函數(shù)),(yxfz 通過全部已知節(jié)點(diǎn)通過全部已知節(jié)點(diǎn),即即),1 ,0(),(nizyx

11、fiii 再用再用),(yxf計(jì)算插值，即計(jì)算插值，即).,(*yxfz 返回返回20 注意：注意：最鄰近插值一般不連續(xù)。具有連續(xù)性的最簡單的插值是分片線性插值。最鄰近插值最鄰近插值x y(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O O 二維或高維情形的最鄰近插值，與被插值點(diǎn)最鄰近的節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值即為所求。返回返回21 將四個(gè)插值點(diǎn)（矩形的四個(gè)頂點(diǎn)）處的函數(shù)值依次簡記為： 分片線性插值分片線性插值xy (xi, yj)(xi, yj+1)(xi+1, yj)(xi+1, yj+1)O Of (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)

12、=f3，f (xi, yj+1)=f422插值函數(shù)為：jii1ij1jy)xx(xxyyy)yy)(ff ()xx)(ff (f)y, x(fj23i121第二片(上三角形區(qū)域)：(x, y)滿足iii1ij1jy)xx(xxyyy插值函數(shù)為：)xx)(ff ()yy)(ff (f)y, x(fi43j141注意注意：(x, y)當(dāng)然應(yīng)該是在插值節(jié)點(diǎn)所形成的矩形區(qū)域內(nèi)。顯然，分片線性插值函數(shù)是連續(xù)的；分兩片的函數(shù)表達(dá)式如下：第一片(下三角形區(qū)域)： (x, y)滿足返回返回23 雙線性插值是一片一片的空間二次曲面構(gòu)成。雙線性插值函數(shù)的形式如下：)dcy)(bax()y, x(f其中有四個(gè)待定系

13、數(shù)，利用該函數(shù)在矩形的四個(gè)頂點(diǎn)（插值節(jié)點(diǎn)）的函數(shù)值，得到四個(gè)代數(shù)方程，正好確定四個(gè)系數(shù)。雙線性插值雙線性插值x y(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O O返回返回24 要求要求x0,y0 x0,y0單調(diào)；單調(diào)；x x，y y可取為矩陣，可取為矩陣，或或x x取行向量，取行向量，y y取取為列向量，為列向量，x,yx,y的值的值分別不能超出分別不能超出x0,y0 x0,y0的范圍。的范圍。z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method)被插值點(diǎn)插值方法用用MATLAB作網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值作網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值插值節(jié)點(diǎn)被插值點(diǎn)的函數(shù)值nearestneare

14、st 最鄰近插值最鄰近插值linearlinear 雙線性插值雙線性插值cubiccubic 雙三次插值雙三次插值缺省時(shí)缺省時(shí), , 雙線性插值雙線性插值25例：測得平板表面例：測得平板表面3 3* *5 5網(wǎng)格點(diǎn)處的溫度分別為：網(wǎng)格點(diǎn)處的溫度分別為： 82 81 80 82 84 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 84 84 82 85 86 試作出平板表面的溫度分布曲面試作出平板表面的溫度分布曲面z=f(x,y)z=f(x,y)的圖形。的圖形。輸入以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=82 81

15、80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86;mesh(x,y,temps)1.先在三維坐標(biāo)畫出原始數(shù)據(jù)，畫出粗糙的溫度分布曲圖.2以平滑數(shù)據(jù),在x、y方向上每隔0.2個(gè)單位的地方進(jìn)行插值.26再輸入以下命令:xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic);mesh(xi,yi,zi)畫出插值后的溫度分布曲面圖. 27 插值函數(shù)插值函數(shù)griddata格式為格式為: cz =griddata（x，y，z，cx，cy，method）用用MATLABMATLAB作散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值計(jì)算作散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值計(jì)算

16、要求要求cxcx取行向量，取行向量，cycy取為列向量。取為列向量。被插值點(diǎn)插值方法插值節(jié)點(diǎn)被插值點(diǎn)的函數(shù)值nearestnearest 最鄰近插值最鄰近插值linearlinear 雙線性插值雙線性插值cubiccubic 雙三次插值雙三次插值v4- Matlab提供的插值方法提供的插值方法缺省時(shí)缺省時(shí), , 雙線性插值雙線性插值28 例例 在某海域測得一些點(diǎn)在某海域測得一些點(diǎn)(x,y)(x,y)處的水深處的水深z z由下由下表給出，船的吃水深度為表給出，船的吃水深度為5 5英尺，在矩形區(qū)域（英尺，在矩形區(qū)域（7575，200200）* *（-50-50，150150）里的哪些地方船要避免進(jìn)

17、入。）里的哪些地方船要避免進(jìn)入。xyz129 140 103.5 88 185.5 195 1057.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.54 8 6 8 6 8 8xyz157.5 107.5 77 81 162 162 117.5-6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.59 9 8 8 9 4 929 ) 1( .150,50200,75. 2hd三次插值法作二維插值在矩形區(qū)域.1 輸入插值基點(diǎn)數(shù)據(jù)To MATLAB hd14.作出水深小于5的海域范圍,即z=5的等高線.3.3.作海底曲面圖作海底曲面圖30clearx=129 140 103.5 8

18、8 185.5 195 105.5 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5;y=7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5;z=-4 -8 -6 -8 -6 -8 -8 -9 -9 -8 -8 -9 -4 -9;cx=75:0.5:200;cy=-50:0.5:150;cz=griddata(x,y,z,cx,cy,cubic);meshz(cx,cy,cz),rotate3dxlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)%pausefigure(2),contour(cx,cy,cz,-5 -5);%等高線內(nèi)部的深度小于5米gridhold onplot(x,y,+)xlabel(X),ylabel(Y)31xy機(jī)翼下輪廓線X035791 11 21 31 41 5Y01 . 21