同濟(jì)大學(xué)第六版高等數(shù)學(xué)上下冊(cè)課后習(xí)題答案(34)

1、.10-6 1. 利用高斯公式計(jì)算曲面積分: (1), 其中S為平面x=0, y=0, z=0, x=a, y=a, z=a所圍成的立體的表面的外側(cè); 解 由高斯公式 原式 (這里用了對(duì)稱性). (2), 其中S為球面x2+y2+z2=a2的外側(cè); 解 由高斯公式 原式 . (3), 其中S為上半球體x2+y2£a2, 的表面外側(cè); 解 由高斯公式 原式 . (4)其中S界于z=0和z=3之間的圓柱體x2+y2£9的整個(gè)表面的外側(cè); 解 由高斯公式 原式. (5),其中S為平面x=0, y=0, z=0, x=1, y=1, z=1所圍成的立體的全表面的外側(cè). 解 由高斯公

2、式 原式 . 2. 求下列向量A穿過曲面S流向指定側(cè)的通量: (1)A=yzi+xzj+xyk, S為圓柱x+y2£a2(0£z£h )的全表面, 流向外側(cè); 解 P=yz, Q=xz, R=xy, . (2)A=(2x-z)i+x2yj- xz2k, S為立方體0£x£a, 0£y£a, 0£z£a,的全表面, 流向外側(cè); 解 P=2x-z, Q=x2y, R=-xz2, . (3)A=(2x+3z)i-(xz+y)j+(y2+2z)k, S是以點(diǎn)(3, -1, 2)為球心, 半徑R =3的球面, 流向

3、外側(cè). 解 P=2x+3z, Q =-(xz+y), R=y2+2z, . 3. 求下列向量A的散度: (1)A=(x2+yz)i+(y2+xz)j+(z2+xy)k; 解 P=x2+yz, Q=y2+xz, R =-z2+xy, . (2)A=exyi+cos(xy)j+cos(xz2)k; 解 P=exy, Q=cos(xy), R=cos(xz2), . (3)A=y2zi+xyj+xzk; 解 P=y2, Q=xy, R=xz, . 4. 設(shè)u (x, y, z)、v (x, y, z)是兩個(gè)定義在閉區(qū)域W上的具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù), , 依次表示u (x, y, z)、v (x,

4、y, z)沿S的外法線方向的方向?qū)?shù). 證明 ,其中S是空間閉區(qū)間W的整個(gè)邊界曲面, 這個(gè)公式叫作林第二公式. 證明 由第一格林公式(見書中例3)知 , . 將上面兩個(gè)式子相減, 即得 . 5. 利用高斯公式推證阿基米德原理: 浸沒在液體中所受液體的壓力的合力(即浮力)的方向鉛直向上, 大小等于這物體所排開的液體的重力. 證明 取液面為xOy面, z軸沿鉛直向下, 設(shè)液體的密度為r, 在物體表面S上取元素dS上一點(diǎn), 并設(shè)S在點(diǎn)(x, y, z)處的外法線的方向余弦為cosa, cosb, cosg, 則dS所受液體的壓力在坐標(biāo)軸x, y, z上的分量分別為 -rzcosadS, -rzcosb dS, -rzcosg dS,S所受的壓力利用高斯公式進(jìn)行計(jì)算得 , , , 其中|W|為物體的體