同濟(jì)大學(xué)第六版高等數(shù)學(xué)上下冊(cè)課后習(xí)題答案(5)

1、.習(xí)題8-6 1. 求曲線x=t-sin t, y=1-cos t, 在點(diǎn)處的切線及法平面方程. 解 x¢(t)=1-cos t, y¢(t)=sin t, . 因?yàn)辄c(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為, 故在點(diǎn)處的切向量為. 因此在點(diǎn)處, 切線方程為 , 法平面方程為 , 即. 2. 求曲線, , z=t2在對(duì)應(yīng)于t=1的點(diǎn)處的切線及法平面方程. 解 , , z¢(t)=2t. 在t=1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處, 切向量, t=1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為, 所以在t=1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處, 切線方程為 , 即; 法平面方程為 , 即2x-8y+16z-1=0. 3. 求曲線y2=2mx, z2=m-x在點(diǎn)(x0

2、, y0, z0)處的切線及法平面方程. 解 設(shè)曲線的參數(shù)方程的參數(shù)為x, 將方程y2=2mx和z2=m-x的兩邊對(duì)x求導(dǎo), 得, ,所以, . 曲線在點(diǎn)(x0, y0, z0,)的切向量為, 所求的切線方程為,法平面方程為. 4. 求曲線在點(diǎn)(1, 1, 1)處的切線及法平面方程. 解 設(shè)曲線的參數(shù)方程的參數(shù)為x, 對(duì)x求導(dǎo)得, 即.解此方程組得, . 因?yàn)? , 所以. 所求切線方程為, 即;法平面方程為, 即16x+9y-z-24=0. 5. 求出曲線x=t, y=t2, z=t3上的點(diǎn), 使在該點(diǎn)的切線平行于平面x+2y+z=4. 解 已知平面的法線向量為n=(1, 2, 1). 因?yàn)?/p>

3、x¢=1, y¢=2t, z¢=3t2, 所以參數(shù)t對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的切向量為T=(1, 2t, 3t2). 又因?yàn)榍芯€與已知平面平行, 所以 T×n=0, 即1+4t+3t2=0,解得t=-1, . 于是所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1, 1, -1)和. 6. 求曲面ez-z+xy=3在點(diǎn)(2,1,0)處的切平面及法線方程. 解 令F(x, y, z)=ez-z+xy-3, 則n=(Fx, Fy, Fz)|(2, 1, 0)=(y, x, ez-1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),點(diǎn)(2,1, 0)處的切平面方程為1×(x-2)+2(y-1)+0&

4、#215;(z-0)=0, 即x+2y-4=0,法線方程為. 7. 求曲面ax2+by2+cz2=1在點(diǎn)(x0, y0, z0)處的切平面及法線方程. 解 令F(x, y, z)=ax2+by2+cz2-1, 則 n=(Fx, Fy, Fz)=(2ax, 2by, 2cz)=(ax, by, cz).在點(diǎn)(x0, y0, z0)處, 法向量為(ax0, by0, cz0), 故切平面方程為 ax0(x-x0)+by0(y-y0)+cz0(z-z0)=0, 即 , 法線方程為 . 8. 求橢球面x2+2y2+z2=1上平行于平面x-y+2z=0的切平面方程. 解 設(shè)F(x, y, z)=x2+2

5、y2+z2-1, 則n=(Fx, Fy, Fz)=(2x, 4y, 2z)=2(x, 2y, z). 已知切平面的法向量為(1, -1, 2). 因?yàn)橐阎矫媾c所求切平面平行, 所以, 即, ,代入橢球面方程得,解得, 則, . 所以切點(diǎn)坐標(biāo)為. 所求切平面方程為,即 . 9. 求旋轉(zhuǎn)橢球面3x2+y2+z2=16上點(diǎn)(-1, -2, 3)處的切平面與xOy面的夾角的余弦. 解 xOy面的法向?yàn)閚1=(0, 0, 1). 令F(x, y, z)=3x2+y2 +z2-16, 則點(diǎn)(-1, -2, 3)處的法向量為 n2=(Fx, Fy, Fz )|(-1, -2, 3)=(6x, 2y, 2z)|(-1, -2, 3)=(-6, -4, 6). 點(diǎn)(-1, -2, 3)處的切平面與xOy面的夾角的余弦為. 10. 試證曲面(a>0)上任何點(diǎn)處的切平面在各坐標(biāo)