第五章 測量誤差基本知識

1、2022年3月23日星期三1地質(zhì)與測繪學(xué)院地質(zhì)與測繪學(xué)院 魏東英魏東英數(shù)字測圖原理及方法數(shù)字測圖原理及方法Principle and Methods Principle and Methods of Digital Mappingof Digital Mapping2022年3月23日星期三2第五章第五章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識5.15.1測量誤差的分類測量誤差的分類5.25.2衡量精度的標準衡量精度的標準5.35.3算術(shù)平均值及觀測值的中誤差算術(shù)平均值及觀測值的中誤差5.45.4誤差傳播定律誤差傳播定律5.55.5加權(quán)平均值及其精度評定加權(quán)平均值及其精度評定5.65.6間接平差原理

2、間接平差原理本章小結(jié)本章小結(jié)2022年3月23日星期三3 前面幾章講述的數(shù)據(jù)采集，要用到各種儀器前面幾章講述的數(shù)據(jù)采集，要用到各種儀器( (經(jīng)緯經(jīng)緯儀、水準儀、測距儀），要由人進行操作，要在儀、水準儀、測距儀），要由人進行操作，要在某種環(huán)境中工作，這些因素都會使采集到的數(shù)據(jù)某種環(huán)境中工作，這些因素都會使采集到的數(shù)據(jù)不準確，即數(shù)據(jù)中有誤差。不準確，即數(shù)據(jù)中有誤差。 例如：例如： 1）距離測量誤差）距離測量誤差 2）角度測量誤差）角度測量誤差 3）高差測量誤差）高差測量誤差5.1 5.1 測量誤差的分類測量誤差的分類2022年3月23日星期三4ABD往往D返返理論上： D往往= D返返實測中： D

3、往往 D返返1）距離測量誤差測量上一般要求測量上一般要求: D往往- D返返/D0 即當直線距離超過一個尺段時，需進行直線定線。即當直線距離超過一個尺段時，需進行直線定線。ABLAB2022年3月23日星期三13iABSASBBAABSSibah)1(1水準管軸視準軸b1bi3）水準儀）水準儀I角對測量高差的影響角對測量高差的影響-系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差SA=SB時，hAB=0aa1 總結(jié)：總結(jié)：系統(tǒng)誤差具有積累性系統(tǒng)誤差具有積累性,可以利用其規(guī)律性對觀測值可以利用其規(guī)律性對觀測值進行改正進行改正或者采用一定的或者采用一定的測量方法加以抵消測量方法加以抵消或消弱或消弱.2022年3月23日星期三14

4、2.偶然誤差偶然誤差： 在相同觀測條件下，對一觀測量進行在相同觀測條件下，對一觀測量進行多次觀測，若各觀測誤差在大小和符號上表現(xiàn)出多次觀測，若各觀測誤差在大小和符號上表現(xiàn)出偶然性，即單個誤差而言，該誤差的大小和符號偶然性，即單個誤差而言，該誤差的大小和符號沒有規(guī)律性，但就大量的誤差而言，具有一定的沒有規(guī)律性，但就大量的誤差而言，具有一定的統(tǒng)計規(guī)律統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差就稱為偶然誤差。，這種誤差就稱為偶然誤差。 例如：例如：1)1)距離測量距離測量010D9.59.4 9.7 9.5 9.6 9.3 9.2 9.6 0.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1 1 2 3 4 5 6 7

5、 N No o2022年3月23日星期三151.71.61.5 1591中絲讀數(shù)：中絲讀數(shù)： 1592 1593例如例如: 2） 讀數(shù)讀數(shù)誤差誤差(水準測量水準測量)2022年3月23日星期三16 總結(jié)總結(jié): 偶然誤差不可避免，通過多余觀測，偶然誤差不可避免，通過多余觀測，利用數(shù)理統(tǒng)計理論處理，可以求得參數(shù)的最利用數(shù)理統(tǒng)計理論處理，可以求得參數(shù)的最佳估值佳估值.例如例如: 3: 3） 照準誤差照準誤差例如例如: 4: 4） 整平誤差整平誤差2022年3月23日星期三17 3.粗差（錯誤）粗差（錯誤）：由于觀測條件的不好，使得觀：由于觀測條件的不好，使得觀測值中含有的誤差較大或超過了規(guī)定的數(shù)值，

6、這測值中含有的誤差較大或超過了規(guī)定的數(shù)值，這種誤差就稱為粗差。種誤差就稱為粗差。 例如：已知點有誤，往返高差相差懸殊。例如：已知點有誤，往返高差相差懸殊。 總結(jié)：總結(jié)：在測量工作中，一般需要進行多余觀測，在測量工作中，一般需要進行多余觀測，發(fā)現(xiàn)粗差，將其剔除或重測。發(fā)現(xiàn)粗差，將其剔除或重測。 通常，測量中需要進行多余觀測。應(yīng)當剔除觀測通常，測量中需要進行多余觀測。應(yīng)當剔除觀測值中的粗差，利用系統(tǒng)誤差的規(guī)律性將系統(tǒng)誤差值中的粗差，利用系統(tǒng)誤差的規(guī)律性將系統(tǒng)誤差消除或減弱到可以忽略不計，使觀測值主要含有消除或減弱到可以忽略不計，使觀測值主要含有偶然誤差，從而利用數(shù)理統(tǒng)計方法求得觀測值的偶然誤差，從

7、而利用數(shù)理統(tǒng)計方法求得觀測值的最可靠值。最可靠值。2022年3月23日星期三18 2 2、處理原則、處理原則粗差：即錯誤，應(yīng)避免。粗差：即錯誤，應(yīng)避免。偶然誤差：進行多余觀測，計算差值，評偶然誤差：進行多余觀測，計算差值，評定測量精度，若差值超限則返工，反之求定測量精度，若差值超限則返工，反之求得最可靠值。得最可靠值。系統(tǒng)誤差：加改正數(shù)、采用一定的測量方系統(tǒng)誤差：加改正數(shù)、采用一定的測量方法、將誤差限制在一定的范圍內(nèi)。法、將誤差限制在一定的范圍內(nèi)。2022年3月23日星期三1919 【例例】在相同的觀測條件下，觀測了在相同的觀測條件下，觀測了217217個三角形的全部內(nèi)角。個三角形的全部內(nèi)角。

8、n三角形內(nèi)角和真誤差三角形內(nèi)角和真誤差: : A A+B+B+C+C-180-180n i=1,2,3 .217 i=1,2,3 .217 2022年3月23日星期三20三、偶然誤差的特性三、偶然誤差的特性 1 1、在一定觀測條件下的有限次觀測中，偶然誤差、在一定觀測條件下的有限次觀測中，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。（的絕對值不會超過一定的限值。（有界性有界性） 2 2、絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大、絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大的誤差出現(xiàn)的頻率小。（的誤差出現(xiàn)的頻率小。（集中性集中性） 3 3、絕對值相等的正負誤差具有大致相等的出現(xiàn)頻、絕對值相等的正負誤差具有大

9、致相等的出現(xiàn)頻率。（率。（對稱性對稱性） 4 4、當觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的理論平均、當觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的理論平均值趨近于零。（值趨近于零。（抵償性抵償性） ：真誤差：真誤差 =l li i- - X X = = 1 1+2 2+ +n n 0limnn2022年3月23日星期三21 - 27-24-21-18-15-12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27(vi/n) 22221ef21(vi/n)/3每一誤差區(qū)間上方的長方形面積，每一誤差區(qū)間上方的長方形面積，代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的相對個代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的相對個數(shù)數(shù)直方圖誤差分布曲線2

10、022年3月23日星期三22正態(tài)分布曲線的特性：正態(tài)分布曲線的特性：1、 是偶函數(shù)。是偶函數(shù)。 這就是這就是偶然誤差的第三特性。對稱性偶然誤差的第三特性。對稱性)()(ff2、 愈小，愈小， 愈大。愈大。 有最大值有最大值 )(f當當=0=0時時0)(f時，當橫軸是曲線的漸近線，這就是橫軸是曲線的漸近線，這就是偶然誤差的第一、二特性偶然誤差的第一、二特性)(f)(f 拐曲線有兩個拐點，橫坐標為：曲線有兩個拐點，橫坐標為：當當 愈小時，曲線愈陡峭，誤差分布比較集中愈小時，曲線愈陡峭，誤差分布比較集中當當 愈大時，曲線愈平緩，誤差分布比較分散愈大時，曲線愈平緩，誤差分布比較分散12 2022年3月

11、23日星期三23 密度函數(shù)為密度函數(shù)為 方差方差 標準差標準差22221)(ef nnnnn2222212limlim nnnnlimlim22022年3月23日星期三245.2 5.2 衡量精度的標準衡量精度的標準一、中誤差一、中誤差 當當n n為有限值時，為有限值時，的估值即為中誤差的估值即為中誤差mm，則，則 在相同觀測條件下進行一組觀測，得出的每個在相同觀測條件下進行一組觀測，得出的每個觀測值都稱為同精度的觀測值。即每個觀測值的真觀測值都稱為同精度的觀測值。即每個觀測值的真差不同，但中誤差是相同的。差不同，但中誤差是相同的。22212nnnm L例：某班的例：某班的3 3個小組，在相同

12、觀測條件下進行四等水準測量。個小組，在相同觀測條件下進行四等水準測量。第第1 1個小組測得閉合差為個小組測得閉合差為+2+2mm,mm,第第2 2個小組測得閉合差為個小組測得閉合差為-6-6mm,mm,第三個小組測得閉合差為第三個小組測得閉合差為0 0。試判斷哪一組觀測精度高？。試判斷哪一組觀測精度高？精度相同2022年3月23日星期三25二、相對誤差二、相對誤差相對較差：相對較差：常用于衡量距離丈量的誤差。常用于衡量距離丈量的誤差。相對中誤差：相對中誤差：相對極限誤差：相對極限誤差： DDDDDDDK均均均返往1mDDmK1限限D(zhuǎn)DK12022年3月23日星期三26 例例:測量兩條直線，一條

13、測量兩條直線，一條100m，另一條另一條50m，其中誤差均為，其中誤差均為10mm試問兩條直線的觀測精試問兩條直線的觀測精度相同嗎？哪條直線的觀測精度相同嗎？哪條直線的觀測精度高？度高？KSmKsSs11 精度不相同精度不相同100m的直線的觀測精度高的直線的觀測精度高2022年3月23日星期三27三、極限誤差三、極限誤差 在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定限值，這個限值就是極限誤差。過一定限值，這個限值就是極限誤差。 按正態(tài)分布表查得，在大量同精度觀測的一組誤按正態(tài)分布表查得，在大量同精度觀測的一組誤差中，誤差區(qū)間分布概率分別為：差中，

14、誤差區(qū)間分布概率分別為：因此以兩倍中誤差作為允許的極限誤差，稱為允許因此以兩倍中誤差作為允許的極限誤差，稱為允許誤差。即誤差。即m22允2022年3月23日星期三285.3 5.3 算術(shù)平均值及觀測值的中誤差算術(shù)平均值及觀測值的中誤差一、算術(shù)平均值一、算術(shù)平均值等精度直接觀測值的最可靠等精度直接觀測值的最可靠值（最或是值）值（最或是值） 設(shè)對某未知量進行了一組等精度觀測，其真值設(shè)對某未知量進行了一組等精度觀測，其真值為為X X，觀測值分別為，觀測值分別為l l1 1、l l2 2、l ln n， 相應(yīng)的真誤差為相應(yīng)的真誤差為1 1、2 2、n n，則，則XlXlXlnn22112022年3月2

15、3日星期三29將上式求和再除以觀測次數(shù)將上式求和再除以觀測次數(shù)n n，得，得 L L為算術(shù)平均值為算術(shù)平均值根據(jù)偶然誤差的第四個特性，根據(jù)偶然誤差的第四個特性，故有故有 簡單的簡單的算術(shù)平均值算術(shù)平均值是等精度直接觀測值的是等精度直接觀測值的最可靠值最可靠值。 0limlimXLnnnXLnlim XLXnln2022年3月23日星期三30二、觀測值的改正值二、觀測值的改正值nnlLlLlL22112022年3月23日星期三31觀測值改正數(shù)特點1 1、觀測值的改正數(shù)、觀測值的改正數(shù)v v ： 以算術(shù)平均值以算術(shù)平均值為最或是值，并據(jù)為最或是值，并據(jù)此計算各觀測值的此計算各觀測值的改正數(shù)改正數(shù)

16、v ，符合，符合vv=min 的的“最最小二乘原則小二乘原則”。Vi = L - i (i=1,2,n)特點特點1 改正數(shù)總和為零：改正數(shù)總和為零：對上式取和：以 代入：通常用于計算檢核通常用于計算檢核L= nv=nL- nv =n -=0v =0特點特點2 vv符合符合“最小二乘原則最小二乘原則”：則即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvv dx(x-)=0nx-=0 x= n2022年3月23日星期三322 2、用改正數(shù)、用改正數(shù)v v計算中誤差計算中誤差用改正數(shù)用改正數(shù)v v計算中誤差（計算中誤差（ ）對對n n次觀測值的真誤差和改正數(shù)分別為次觀測值的真誤差和改正數(shù)分別為: :X

17、lXlXlnn2211nnlLlLlL2211iilLv2022年3月23日星期三33 將上兩組式對應(yīng)相加：將上兩組式對應(yīng)相加：XLXLXLNN2211設(shè)設(shè)L-X=，代入上式，并移項后得，代入上式，并移項后得nn22112022年3月23日星期三34 22n 0)(1lnLlLIni2n nnXlXnlXL上組各式分別平方，再求和上組各式分別平方，再求和其中其中 =故有故有 其中其中2022年3月23日星期三35 )(2223121222312122221222nnnnn故故jixx n22n因為因為li為獨立觀測值則為獨立觀測值則當當ij時，亦為偶然誤差。時，亦為偶然誤差。上式等號右邊的第二

18、項趨于零，故上式等號右邊的第二項趨于零，故根據(jù)偶然誤差的第四個特性，當根據(jù)偶然誤差的第四個特性，當時，時，2022年3月23日星期三36 11nmnnn于是 白塞爾公式白塞爾公式 2022年3月23日星期三37三、用改正值計算中誤差及算術(shù)平均值的中誤差三、用改正值計算中誤差及算術(shù)平均值的中誤差1 1、用改正數(shù)、用改正數(shù)v v計算中誤差計算中誤差( (白塞爾公式白塞爾公式 ) )2 2、用改正數(shù)、用改正數(shù)v v計算算術(shù)平均值（最或是值）的中誤差計算算術(shù)平均值（最或是值）的中誤差1nm)1(nnMnmM2022年3月23日星期三38 例一：例一：對某角進行了對某角進行了5 5個測回等精度觀測，個測

19、回等精度觀測，觀測結(jié)果為觀測結(jié)果為 1 1=35=3518281828 2 2=35=351825 1825 3 3=35=3518261826 4 4=35=351822 1822 5 5=35=3518241824 試求該角的平均值，一測回角的中誤差以及試求該角的平均值，一測回角的中誤差以及算術(shù)平均值的中誤差。算術(shù)平均值的中誤差。2022年3月23日星期三39解：解： 角度的平均值角度的平均值 353518251825 改正數(shù)改正數(shù) v v1 1=+3 =+3 v v2 2=0 =0 v v3 3=+1 =+1 v v4 4=-3 =-3 v v5 5=-1=-1 故有一測回角的中誤差故有

20、一測回角的中誤差 平均值的中誤差平均值的中誤差 5iiv200 . 152 . 2 nmM 2 . 215201 nm2022年3月23日星期三405.4 誤差傳播定律誤差傳播定律*問題的提出：問題的提出：* 在上節(jié)討論了如何根據(jù)同精度的觀測值的真在上節(jié)討論了如何根據(jù)同精度的觀測值的真誤差來評定觀測值精度的問題。許多未知量是不能誤差來評定觀測值精度的問題。許多未知量是不能直接觀測得到的。這些未知量是觀測值的函數(shù)，那直接觀測得到的。這些未知量是觀測值的函數(shù)，那么如何根據(jù)觀測值的中誤差而去求觀測值函數(shù)的中么如何根據(jù)觀測值的中誤差而去求觀測值函數(shù)的中誤差呢？誤差呢？ 闡述觀測值中誤差和觀測值函數(shù)的中

21、誤差之間闡述觀測值中誤差和觀測值函數(shù)的中誤差之間的關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律的關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。 2022年3月23日星期三411、倍數(shù)函數(shù)、倍數(shù)函數(shù) 設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù)z=kx z:觀測值的函數(shù)，觀測值的函數(shù)，x為觀測值，為觀測值，k為常數(shù)為常數(shù)? zxmm已知xzk )2, 1(nikiixz (1)真誤差的關(guān)系式為：真誤差的關(guān)系式為：若對若對x觀測了觀測了n次則：次則：(2)將上式平方得：將上式平方得：)2, 1(222nikiixz (3)求和，并除以求和，并除以n )2,1(222ninknxz 222,zxzxmk mmkm即(4)轉(zhuǎn)換為中誤差關(guān)系式轉(zhuǎn)換為中誤差關(guān)系式觀測值

22、與常數(shù)乘積的中誤差，等于觀測值中誤差乘以常數(shù)觀測值與常數(shù)乘積的中誤差，等于觀測值中誤差乘以常數(shù)2022年3月23日星期三42 例例5-15-1：在在1 1：50005000地形圖上量得地形圖上量得A A、B B兩點間兩點間的距離的距離d=234.5mm d=234.5mm ，中誤差，中誤差mmd d=0.2mm0.2mm，求求A A、B B兩點間的實地水平距離兩點間的實地水平距離D D及其中誤差及其中誤差mmD D。解：解： D=Md=5000D=Md=5000* *234.5/1000=1172.5m234.5/1000=1172.5m m mD D=Mm=Mmd d=5000=5000*

23、*( (0.2)/1000=0.2)/1000=1.0m1.0m 可寫成可寫成D=1172.5mD=1172.5m1.0m1.0m2022年3月23日星期三432、和或差的函數(shù)、和或差的函數(shù) 設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù)z=xy z:觀測值的函數(shù)，觀測值的函數(shù)，x、y為為獨立觀測值獨立觀測值? zyxmmm、已知yxz )2, 1(niiiiyxz (1)真誤差的關(guān)系式為：真誤差的關(guān)系式為：若對若對x、y觀測了觀測了n次則：次則：(2)將上式平方得：將上式平方得：)2 , 1(2222niiiiiiyxyxz (3)求和，并除以求和，并除以n )2 , 1(2222ninnnnyxyxz 222yxzmm

24、m (4 )轉(zhuǎn)換為中誤差關(guān)系式轉(zhuǎn)換為中誤差關(guān)系式兩觀測值代數(shù)和的中誤差，等于兩觀測值中誤差的平方和兩觀測值代數(shù)和的中誤差，等于兩觀測值中誤差的平方和由于由于x , y為獨立觀測值，因此為獨立觀測值，因此n趨近無窮時，趨近無窮時，xy / n = 02022年3月23日星期三442、和或差的函數(shù)、和或差的函數(shù) n個觀測值代數(shù)和的中誤差，等于個觀測值代數(shù)和的中誤差，等于n個觀測值中誤差的平方和個觀測值中誤差的平方和。2222212121nxxxznnmmmmxxxzxxxz 的代數(shù)和時、是一組觀測值當nmmmxxxzn 設(shè)其中誤差為為同精度觀測值時、當21n個同精度觀測值代數(shù)和的中誤差，與觀測值個

25、數(shù)個同精度觀測值代數(shù)和的中誤差，與觀測值個數(shù)n的平方根的平方根成正比。成正比。2022年3月23日星期三452、和或差的函數(shù)、和或差的函數(shù) 的中誤差？站。求觀測高差兩點觀測了、，的中誤差相等為測站的觀測高差例：在水準測量中設(shè)每站ABhnBAm水準測量中觀測高差的中誤差，與距離水準測量中觀測高差的中誤差，與距離S的平方根成正比。的平方根成正比。的中誤差？公里。求觀測高差兩點觀測了、，的中誤差相等為公里的觀測高差例：在水準測量中設(shè)每ABkmhSBAm水準測量中觀測高差的中誤差，與測站數(shù)水準測量中觀測高差的中誤差，與測站數(shù)n的平方根成正比。的平方根成正比。站mnmABh kmhmSmAB 2022年

26、3月23日星期三463、線性函數(shù)、線性函數(shù) 為常數(shù)、為獨立觀測值、式中設(shè)有線性函數(shù)：nnnnkkkxxxxkxkxkz21212211 22222221212nnzmkmkmkm 應(yīng)用倍數(shù)函數(shù)、和差函數(shù)的誤差傳播定律可得2022年3月23日星期三474、一般函數(shù)（非線性函數(shù)）、一般函數(shù)（非線性函數(shù)） 設(shè)是獨立直接觀測值設(shè)是獨立直接觀測值x x、x x、x xn n的函數(shù)，即的函數(shù)，即f f(x(x、x x、x xn n) )其中的中誤差為其中的中誤差為m mZ Z直接觀測值直接觀測值x x、x x、x xn n的中誤差為的中誤差為m m1 1、m m2 2、m mn nx xi i相應(yīng)的中誤差

27、為相應(yīng)的中誤差為i i，則的真誤差為，則的真誤差為。2022年3月23日星期三48 將上述函數(shù)式全微分將上述函數(shù)式全微分 因誤差因誤差i i及及都很小，故在上式中，可近似都很小，故在上式中，可近似用用i i及及代替及，于是有代替及，于是有 式中式中 為函數(shù)為函數(shù)f對各自變量的偏導(dǎo)數(shù)，為確定的常對各自變量的偏導(dǎo)數(shù)，為確定的常數(shù)。數(shù)。 設(shè)設(shè) = ，則上式可寫成，則上式可寫成nndxxfdxxfdxxfdZ2211nnxxfxxfxxfZ2211ixfixf finnxfxfxfZ22112022年3月23日星期三49 又設(shè)對各又設(shè)對各xi觀測了觀測了 k次，則可寫成次，則可寫成k個關(guān)系式個關(guān)系式(

28、k)nn(k)22(k)11(k)(2)nn(2)22(2)11(2)(1)nn(1)22(1)11(1)xfxfxfZxfxfxfZxfxfxfZ將以上各式兩邊平方再相加得將以上各式兩邊平方再相加得 jijinjijinnxffxfxfxfZ1,22222221212上式兩端除以上式兩端除以k kkxffkxfkxfkxfkZjijinjijinn1,222222212122022年3月23日星期三50 因為因為xi為獨立觀測值則為獨立觀測值則 當當ij時，亦為偶然誤時，亦為偶然誤差。根據(jù)偶然誤差的第四個特性差。根據(jù)偶然誤差的第四個特性 jixx0limkxjik故上式可寫成故上式可寫成)(

29、limlim1,22222221212kxffkxfkxfkxfkZjijinjijinnkk根據(jù)中誤差的定義，上式可寫成根據(jù)中誤差的定義，上式可寫成22222221212nnZfff當當k k 為有限值時，可寫成為有限值時，可寫成22222221212nnZmfmfmfm2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm即即 2022年3月23日星期三51總結(jié)總結(jié) 應(yīng)用誤差傳播定律求觀測值函數(shù)的中誤差時，應(yīng)用誤差傳播定律求觀測值函數(shù)的中誤差時，可歸納以下幾步：可歸納以下幾步：1、列出函數(shù)式、列出函數(shù)式2、對函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差和觀測值、對函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差和觀測

30、值真誤差的關(guān)系式真誤差的關(guān)系式4、寫出函數(shù)的中誤差觀測值中誤差之間的的關(guān)系式、寫出函數(shù)的中誤差觀測值中誤差之間的的關(guān)系式3、獨立性的判斷、獨立性的判斷注意單位的統(tǒng)一注意單位的統(tǒng)一2022年3月23日星期三52函數(shù)名稱函數(shù)名稱函數(shù)式函數(shù)式函數(shù)的中誤差函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)一般函數(shù)nxxxz21nnxkxkxkz2211),(21nxxxfZ kxz xzkmm22221nzmmmm2222222121nnzmkmkmkm2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm 2022年3月23日星期三534、一般函數(shù)（非線性函數(shù)）、一般函數(shù)（非線

31、性函數(shù)） 例一：設(shè)有函數(shù)例一：設(shè)有函數(shù)z=Ssin?6 .20004511905. 011.150: zSmmmmmS求已知 cossinSzszsszcmmSmmsz4 . 4)()cos()(sin2 2222 解：注意單位的統(tǒng)一2022年3月23日星期三54), 2 , 1(niXLii nXLnXLLLnn )(2121 nnLX 0lim nnnLx時，令xX 設(shè)未知量的真值為X，觀測值的真誤差為將上式相加稱為算術(shù)平均值，是未知量的最或然值算術(shù)平均值的中誤差為觀測值的中誤差的 倍n1二、誤差傳播定律及應(yīng)用誤差傳播定律及應(yīng)用nmmx n L1 x因為n L2 n Ln 1、算術(shù)平均值及

32、其中誤差、算術(shù)平均值及其中誤差 2022年3月23日星期三55,iimLXn 同 精 度 觀 測 值 中 誤 差 公 式 ：iiLxv觀測值改正數(shù)為： XxxXxnXxvvvXxvii 令2)()(2)( 0 LnLnLnxv 2xnvvn nnxxXxx )( 2221312122222xnmnmnnnx nmnvvm22 1 nvvm ) 1( nnvvmx nxnnLX二、誤差傳播定律及應(yīng)用誤差傳播定律及應(yīng)用1、算術(shù)平均值及其中誤差、算術(shù)平均值及其中誤差 2022年3月23日星期三56 1 nvvm )1( nnvvmx例：對某段距離同精度測量了4次mLmLmLmL062.25056.2

33、5068.25066.254321 試求該段距離的最或然值及其中誤差解： mnLx063.25 mmvmmvmmvmmv17534321 mmnnvvmx7) 1( Lxv 二、誤差傳播定律及應(yīng)用誤差傳播定律及應(yīng)用1、算術(shù)平均值及其中誤差、算術(shù)平均值及其中誤差 2022年3月23日星期三57 例例5-25-2：對一個三角形觀測了其中對一個三角形觀測了其中、兩個兩個角，測角中誤差分別為角，測角中誤差分別為 mm=3.5,m3.5,m=6.26.2，試求另一個角試求另一個角的中誤差。的中誤差。解：解： =180=180- 故故 mm= = = 22mm 1 . 72 . 65 . 3222022年

34、3月23日星期三58 例例5-35-3：對對ABAB兩點的距離丈量了兩點的距離丈量了n n次，丈量的次，丈量的結(jié)果分別為結(jié)果分別為l l1 1、l l2 2、l ln n，其相應(yīng)的中誤差，其相應(yīng)的中誤差分別為分別為mm1 1、mm2 2、mmn n。試求。試求ABAB兩點的平兩點的平均距離均距離L L及其中誤差及其中誤差MM。解：解： L=L= M= M= nllln21nmmmnmmmnn22221222221當當l l1 1、l l2 2、l ln n為獨立的等精度觀測值時，即為獨立的等精度觀測值時，即mm1 1=m=m2 2=m=mn n=m=m， 則則 M= nm2022年3月23日星

35、期三59 例例5-45-4：傾斜視線的視距測量公式為傾斜視線的視距測量公式為式中，式中，l l、為獨立的直接觀測量，其中誤差為獨立的直接觀測量，其中誤差分別為分別為mml l、mm，試求水平距離，試求水平距離D D的中誤差。的中誤差。解：解： 對對 全微分全微分則則 2cosklD 2cosklD dkldlkdD)2sin(cos222222)()2sin()cos(mklmkmlD2022年3月23日星期三605.5 加權(quán)平均值及其精度評定加權(quán)平均值及其精度評定 如果對某個未知量進行如果對某個未知量進行n n次同精度觀測，則其最次同精度觀測，則其最或然值即為或然值即為n n次觀測量的算術(shù)平

36、均值：次觀測量的算術(shù)平均值： niinllllnnX1211)(1在相同條件下對某段長度進行兩組丈量在相同條件下對某段長度進行兩組丈量：lll4,2,1 第一組第一組 第二組第二組lll10,6,5 算術(shù)平均值分別為算術(shù)平均值分別為LL21, 41421141)(41iillllL1051065261)(61jjllllL2022年3月23日星期三61,21mmLLmmL1422mmL262241mmL62mmL其中誤差分別為：其中誤差分別為：全部同精度觀測值的最或然值為全部同精度觀測值的最或然值為：646421LLmmmmLmmLmmLLLL22222221222121 101010541j

37、jiilllX2022年3月23日星期三62ppLpLpX2122111122121XpLLppppi在在piLiXLi值的大小體現(xiàn)了值的大小體現(xiàn)了中比重的大小，中比重的大小， 稱稱為為的權(quán)。的權(quán)。 令令iiLLimmmp2222 若有不同精度觀測值若有不同精度觀測值,21LLLn其權(quán)分別為其權(quán)分別為,11pppn該量的最或然值可擴充為該量的最或然值可擴充為： ppLXpppLpLpLpnnn212211稱之為廣義算術(shù)平均值。稱之為廣義算術(shù)平均值。2022年3月23日星期三63一、不等精度觀測值及觀測值的權(quán)一、不等精度觀測值及觀測值的權(quán)1 1、不等精度觀測值：觀測條件不同的同類觀測值。、不等精

38、度觀測值：觀測條件不同的同類觀測值。2 2、（、（1 1）權(quán)：與中誤差的平方成反比。）權(quán)：與中誤差的平方成反比。C C為任意正數(shù)為任意正數(shù)（2 2）單位權(quán)中誤差：權(quán)等于）單位權(quán)中誤差：權(quán)等于1 1的中誤差，用的中誤差，用mm0 0表示。表示。一般以一次觀測、單位長度等的測量誤差作為單位權(quán)中誤差一般以一次觀測、單位長度等的測量誤差作為單位權(quán)中誤差mm0 0。2iimCP 220iimmPiiPmm102022年3月23日星期三64 1. 1.水準測量定權(quán)水準測量定權(quán)1 1）用測站數(shù)定權(quán)）用測站數(shù)定權(quán)（用于山地）（用于山地） 已知同精度觀測已知同精度觀測Ni 個測站的水準高差個測站的水準高差hi

39、的的方差為：方差為： 22站ihNi取取C個測站的觀測高差的方差為單位權(quán)方差個測站的觀測高差的方差為單位權(quán)方差，即即 220站C按定權(quán)公式可得用測站數(shù)定權(quán)的公式按定權(quán)公式可得用測站數(shù)定權(quán)的公式 iihhNCNCPii22220站站二、常用的定權(quán)方法二、常用的定權(quán)方法2022年3月23日星期三65 已知，每公里觀測高差的方差相等時，已知，每公里觀測高差的方差相等時， S Si i 公里觀測高公里觀測高差的方差為差的方差為 22kmihSi取取C公里公里觀測高差的方差為單位權(quán)方差觀測高差的方差為單位權(quán)方差， 即即 2 km20C按定權(quán)公式可得用路線長度定權(quán)的公式按定權(quán)公式可得用路線長度定權(quán)的公式

40、： ikmikmhhSCSCiiP22220上式說明，當每公里觀測高差等精度時，水準測量高差上式說明，當每公里觀測高差等精度時，水準測量高差的權(quán)與距離成反比。的權(quán)與距離成反比。 2 2）用路線長度定權(quán)（用于平地）用路線長度定權(quán)（用于平地）2022年3月23日星期三66 1 1）鋼尺量距的權(quán)）鋼尺量距的權(quán) 設(shè)單位長度距離丈量的方差為設(shè)單位長度距離丈量的方差為2 2 ， 則丈量距離則丈量距離S Si i 的的方差為方差為 取丈量長度取丈量長度C C的方差為單位權(quán)方差，的方差為單位權(quán)方差， 即取即取 220C則按則按定權(quán)公式定權(quán)公式得得 iiSSSCSCiiP22220 上式說明，當單位長度距離丈量

41、的精度相同時，距離丈上式說明，當單位長度距離丈量的精度相同時，距離丈量的權(quán)與長度成反比。量的權(quán)與長度成反比。 2. 2.距離量測定權(quán)距離量測定權(quán)22iSSi 2022年3月23日星期三67測距儀測距的權(quán)可按定權(quán)公式直接求得測距儀測距的權(quán)可按定權(quán)公式直接求得，即即 SSP022 式中式中 為任選的單位權(quán)方差，為任選的單位權(quán)方差， 為測距方差，它包為測距方差，它包含固定誤差部分和比例誤差兩部分。即含固定誤差部分和比例誤差兩部分。即 202S610標稱標稱SSmm km2 2）光電測距的權(quán)）光電測距的權(quán)2022年3月23日星期三68 已知一組等精度的獨立觀測值已知一組等精度的獨立觀測值(方差均為方差

42、均為2)算術(shù)平均算術(shù)平均值的方差為：值的方差為： ixn22 若取若取C次觀測值的算術(shù)平均值為單位權(quán)觀測值次觀測值的算術(shù)平均值為單位權(quán)觀測值， 即取即取 C220按定權(quán)公式可得算術(shù)平均值的權(quán)按定權(quán)公式可得算術(shù)平均值的權(quán) cncPiiXXn 2 2220上式說明，算術(shù)平均值的權(quán)與觀測次數(shù)成正比。上式說明，算術(shù)平均值的權(quán)與觀測次數(shù)成正比。 3 3）等精度觀測算術(shù)平均值的權(quán)）等精度觀測算術(shù)平均值的權(quán)2022年3月23日星期三69三、加權(quán)平均值三、加權(quán)平均值現(xiàn)有三組觀測值，計算其最或然值現(xiàn)有三組觀測值，計算其最或然值 A A組：組： 123.34, 123.39, 123.35 123.34, 123

43、.39, 123.35 B B組：組： 123.31, 123.30, 123.39, 123.32 123.31, 123.30, 123.39, 123.32 C C組：組： 123.34, 123.38, 123.35, 123.39, 123.32 123.34, 123.38, 123.35, 123.39, 123.32 各組的平均值：各組的平均值：A A組：組： l lA A=123.360 =123.360 B B組：組： l lB B=123.333 =123.333 C C組：組： l lC C=123.356 =123.356 x= ? x= ?3CBAlll2022年3

44、月23日星期三70各組的平均值及其權(quán)各組的平均值及其權(quán) A A組：組： 123.360 123.360 權(quán)權(quán)P PA A=3 =3 B B組：組： 123.333 P123.333 PB B=4 =4 C C組：組： 123.356 P123.356 PC C=5=5加權(quán)平均值加權(quán)平均值: :CPBPAPlPlPlPllllllllllxCCBBAACBA54354312128743212022年3月23日星期三71 則加權(quán)平均值則加權(quán)平均值 計算加權(quán)平均值的實用公式為：計算加權(quán)平均值的實用公式為： PPLPPPLPLPLPxnnn212211PLPLxLLLii002022年3月23日星期三

45、72四、加權(quán)平均值的中誤差四、加權(quán)平均值的中誤差 不等精度觀測值的加權(quán)平均值計算公式可以不等精度觀測值的加權(quán)平均值計算公式可以寫成線性函數(shù)形式：寫成線性函數(shù)形式：根據(jù)線性函數(shù)的誤差傳播定律公式，得根據(jù)線性函數(shù)的誤差傳播定律公式，得以以 mm0 0為單位權(quán)中誤差），帶入上式得為單位權(quán)中誤差），帶入上式得 nnLPPLPPLPPx2211 2222222121)()()(nnxmPPmPPmPPmiiPmm202PmmPPPPPPmmxnx02222102022年3月23日星期三73五、單位權(quán)中誤差的計算五、單位權(quán)中誤差的計算用觀測值的改正值用觀測值的改正值v v代替真誤差代替真誤差 nPm010

46、nPvvm2022年3月23日星期三74【例例5-15-1】對某量觀測了對某量觀測了4 4次，其觀測值及相應(yīng)的次，其觀測值及相應(yīng)的權(quán)記錄于下表中，試計算加權(quán)平均值及其中誤權(quán)記錄于下表中，試計算加權(quán)平均值及其中誤差。差。 加權(quán)平均值及其中誤差加權(quán)平均值及其中誤差序號序號觀測值觀測值li（m）l（mm）PP l(mm)V（mm）PVPV V1305.533133390002305.528818+5+5253305.53414228-1-224305.53616116-3-39取取L0=305.52051791 0362022年3月23日星期三75 加權(quán)平均值加權(quán)平均值 單位權(quán)中誤差單位權(quán)中誤差 加

47、權(quán)平均值中誤差加權(quán)平均值中誤差 mmmmplPlx533.305791520.3050mmnPvv5.314361mmPM3.175.32022年3月23日星期三765.6 間接平差原理一、間接平差原理一、間接平差原理 設(shè)某平差問題有設(shè)某平差問題有t t個未知數(shù)個未知數(shù) 有有n n個觀測個觀測值值 其相應(yīng)的權(quán)為其相應(yīng)的權(quán)為 平差值方程的一般形式為平差值方程的一般形式為式中，式中，didi是方程中的常數(shù)是方程中的常數(shù) ,21txxx,21LnLL,21npppntnnnnnttdxtxbxavLdxtxbxavLdxtxbxavL2122221222112111112022年3月23日星期三77 令令 nnntntbatbatbaB222111,則平差值方程的矩陣形式為：則平差值方程的矩陣形式為：dBxVL(6-1)2022年3月23日星期三78將已知的觀測值將已知的觀測值Li Li移至等號的右方，并令移至等號的右方，并令iiiLdl即得一般形式的誤差方程為：即得一般形式的誤差方程為：ntnnnnttlxtxbxavlxtx