2022年《等差數列前n項和公式》教學設計

1、精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -學習好資料歡迎下載等差數列的前n 項和教學設計一、設計理念讓同學在詳細的問題情境中經受學問的形成和進展，讓同學利用自己的原有認知結構中相關的學問與體會，自主地在老師的引導下促進對新學問的建構，由于建構主義學習理論認為，學習是同學積極主動地建構學問的過程在教學過程中，依據教學內容，從介紹高斯的算法開頭，探究這種方法如何推廣到一般等差數列的前n 項和的求法通過設計一些從簡潔到復雜，從特別到一般的問題，層層鋪墊，組織和啟示同學獲得公式的推導思路，并且充分引導同學綻開自主、合作、探究學習，通過生生互動和師生互動等形式，讓同學在問

2、題解決中學會摸索、學會學習同時依據我校的特點，為了促進成果優(yōu)秀同學的進展，仍設計了選做題和探究題，進一步培育優(yōu)秀生用函數觀點分析、解決問題的才能，達到了分層教學的目的二、背景分析本節(jié)課教學內容是高中課程標準試驗教科書必修5（人教 A 版）中其次章的第三節(jié)內容本節(jié)課主要爭論如何應用倒序相加法求等差數列的前n 項和以及該求和公式的應用等差數列在現實生活中比較常見，因此等差數列求和就成為我們在實際生活中常常遇到的一類問題同時，求數列前n 項和也是數列爭論的基本問題，通過對公式推導，可以讓同學進一步把握從特別到一般的爭論問題方法三、學情分析1、同學已把握的理論學問角度：同學已經學習了等差數列的定義及通

3、項公式，把握了等差數列的基本性質，有了肯定的學問預備；2、同學明白數列求和歷史角度：大部分同學對高斯算法有比較清楚的熟悉，并且知道此算法原理，但在高斯算法中數列1，2，3， 100 只是一個特別的等差數列，對于一般的等差數列的求和方法和公式同學仍是一無所知；3、同學的認知規(guī)律角度：本節(jié)課實行了循序漸進、層層深化的教學方式，以問題解答的形式，通過探究、爭論、分析、歸納而獲得學問，為同學積極摸索、自主探究搭精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -

4、學習好資料歡迎下載建了抱負的平臺，讓同學去感悟倒序相加法的和諧對稱以及使用范疇；四、教學目標1、類比高斯算法，探求等差數列前n 項和公式，懂得公式的推導方法；2、能較嫻熟地應用等差數列前n 項和公式解決相關問題；3、經受公式的推導過程，體會層層深化的探究方式，體驗從特別到一般、詳細到抽象的爭論方法，學會觀看、歸納、反思與規(guī)律推理的才能；4、通過生動詳細的現實問題，激發(fā)同學探究的愛好和欲望，樹立同學求真的士氣和自信心，增強同學學好數學的心理體驗，產生喜愛數學的情感，體驗在學習中獲得勝利； 五、教學重點與難點1、教學重點： 等差數列前 n 項和公式的推導和應用2、教學難點： 公式推導的思路3、重難

5、點解決的方法策略： 本課在設計上采納了從特別到一般、從詳細到抽象的教學策略；利用分類爭論、類比歸納的思想，層層深化；通過同學自主探究，分析、整理出推 導公式的不同思路，同時，借助多媒體的直觀演示，幫忙同學懂得，通過老師的點撥引 導、師生互動、講練結合，突出重點、突破難點；六、教學過程設計（一）創(chuàng)設情形，提出問題觀賞圖片泰姬陵：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是 17 世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建；它雄偉壯麗，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一；陵寢以寶石鑲嵌，圖案之細致令人叫絕；傳奇陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100 層，奢侈之程度

6、，可見一斑；問題 1： 你能運算出這個圖案一共花了多少顆寶石嗎？老師活動： 利用多媒體，展現泰姬陵的圖片，并截取出三角形寶石圖案，引導同學觀看寶石數目變化情形；同學活動： 觀賞之余觀看三角形中寶石變化情形并嘗試解決問題1.精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 2 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -學習好資料歡迎下載活動預設：（ 1）能得到的信息：從上到下，寶石數目以1 為公差依次遞增，構成等差數列；（ 2）需要解決的問題： 100 層中到底共有多少顆寶石？【設計意圖】（1）老師

7、先用多媒體展現彩圖出現的問題，使同學進入問題情境，激發(fā)同學的愛好，并使同學體會數學來源于生產生活；（2）以問題的提出作為引入方式，使同學帶著問題學習新課，更有目的性；（二）探究等差數列前n 項和公式老師活動： 指出此數列的求和方法在1787 年已被高斯解決，讓同學講高斯故事；同學活動： 同學依據課前的搜集簡介高斯“神速求和”的故事：小高斯上學校四年級時， 一次數學老師布置了一道數學習題：把從1 到 100 的自然數加起來，和是多少？年僅10 歲的小高斯略一思索就得到答案：5050，這使老師特別驚訝；問題 1： 高斯是采納了什么方法來奇妙地運算出答案的呢？ 老師活動： 指導同學快速找出規(guī)律；同學

8、活動： 高斯算法解決： 1 + 2 + 3 + 50 + 51 + 98 + 99 + 100=？活動預設： 高斯算法： 1+100=101,2+99=101， 50+51=101，所以原式 =50×（ 1+101）=5050問題 2： 在高斯算法中實際上利用了等差數列通項的哪種性質？ 老師活動： 引導同學摸索高斯算法的技巧性及理論依據；同學活動： 利用高斯算法運算答案，并指出算法的技巧性以及高斯算法隱匿的等差數列項的何種性質；活動預設： 構造數列： a11,a22,a9999, a100100，就有性質：等差數列 an中，如 mnpq ，就 amana paq ；【設計意圖】 高斯

9、算法首尾組合的思想揭示了等差數列“角標和相等，對應的項和相等” 的特點，為等差數列前n 項和公式的推導的“倒序相加法”做好鋪墊，開啟了更深化、更細致的爭論大門；精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 3 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -學習好資料歡迎下載問題 3： 你能否利用高斯算法解決一般等差數列的求和問題？ 方法 1：分類爭論法老師活動： 給出一般數列：設等差數列 an 前 n 項和為Sn ， Sna1a2a3an ，就如何用有限的項表示Sn ？同學活動： 類比高斯算法，分

10、小組爭論并探求等差數列前n 項和公式； 活動預設： 以小組為單位投影同學推導過程，并讓其對過程做出說明和說明；a 1a 2a 3a n2a n1a n其中 a1ana2an 1a3an 2結果猜測：（ 1）同學沒有對 n 的奇偶進行爭論，不嚴密地得出答案；（ 2）同學對 n 的奇偶進行爭論，但對于n 是奇數時的推導遇到障礙；問 題4 ： 利 用 等 差 數 列 性 質 ： 如 mnpq ， 就 amanapa；q得 出 ：a1ana2na 1a3n a2. ，到底一共有多少個a1an ？老師活動： 提出問題，引導同學爭論，并抽小組成員發(fā)表本組觀點；同學活動： 再次以小組為單位以n 的奇偶為標準

11、對前n 項和公式進行求解；活動預設：（ 1）當 n 為偶數時：S na 1a na na n122Snna 1a n 2（ 2）當 n 為奇數時：S na 1a n1a n1a n1a n11222Sn1 aaan21nn12精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 4 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -學習好資料歡迎下載問題 5： an1落單了，如何處理2an12使得我們公式能夠統(tǒng)一形式？老師活動： 提示同學觀看an12的腳標與 a1a n 腳標的關系；同學活動： 以小組為單位爭

12、論an12的處理方法；活動預設： 不難發(fā)覺， an1的腳標與2 a1an 腳標滿意如下關系：2n121 n，故有Sn1 aaan1nn122an1an1n1a 1an2222n1a 1ana 1a n22n a 1an2從而得到：無論 n 取偶數仍是奇數，都有Snna1an ；2【設計意圖】（ 1）類比高斯算法將首尾分組進行“配對”，發(fā)覺需要對 n 的奇偶進行爭論，順應同學思路，自然過渡，同學簡潔聯想，也充分表達了新課改中敬重同學主體性的原就；（ 2）引導同學發(fā)覺中間項就是對腳標數的爭論； 方法 2：倒序相加法an 1 的解決方法的過程中，進一步讓同學體會爭論數列實際上2問題 6： 對 n 的

13、奇偶爭論過于復雜，能否回避對n 的爭論呢？老師活動： 由此引入倒序相加法：S na 1a 2a 3a n2a n1a nS na na n1a n2a 3a 2a 12Sna1an a2an 1 a3an2 an2a3 an 1a2 ana1 由性質“如 mnpq ，就 amana pa q ”可得：精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 5 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -學習好資料歡迎下載2 Sn aaSn a 1a n （等差數列前 n 項和公式）2n1nn【設計意圖】（

14、1）數學問題的解決講究最優(yōu)化原就，因此引導讓同學體會到數學方法的多樣性，但需要尋求高效率的方法；（ 2）倒序相加求和法是數列求和常用方法之一，方法比公式本身更為重要，也為以后數列求和的學習做好鋪墊；1n（三）公式懂得和深化公式一、 Snn aa 2問題 1： 此公式中有哪些變量，已知哪些量可求另外量？ 老師活動： 引導同學找出變量同學活動： 觀看公式，找出變量；活動預設： 此公式中，共有四個變量：Sn , n, a1 , an ，可知三求一；【設計意圖】 讓同學從變量上懂得公式，從形式上初步明白如何由已知探求未知，在頭腦中初步建構公式的適用情形；問題 2： 此公式仍可進行怎樣的變形？老師活動：

15、 引導同學從an 下手對公式進行變形，投影同學的變形過程；同學活動： 嘗試對公式進行變形；2活動預設： 公式二、Snann1n1d【設計意圖】（1）讓同學學會在舊知與新知之間搭建橋梁，運用舊知鞏固新知，利用舊知得出新知；（ 2）體會學問之間的整體性和關聯性，感受運用舊知推導新知的勝利和歡樂；問題 3： 觀看、對比公式一、二，你能得出什么結論有利于你解題時對公式進行挑選？ 老師活動： 引導同學從兩個公式中的變量進行總結；同學活動： 總結出兩公式的區(qū)分及適用情形；活動預設：（ 1）在兩個公式，五個變量中：a1 , n, d ,an , Sn ，可知三求二精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - -

16、- - - -第 6 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -學習好資料歡迎下載（ 2）如已知 an ，優(yōu)先選用公式一，如已知d ，優(yōu)先選用公式二；【設計意圖】 通過兩公式的對比爭論，可進一步加深同學對公式的記憶，公式一、二的區(qū)分可提高同學的做題速度和質量，再一次表達了數學的簡潔美和精準性；（四）公式應用、反饋評判課堂練習之“爭分奪秒”： 1+3+5+7+9+11+13+15=11+21+31+41+51+61= -60-50-40-30-20-10=1+2+3+n=老師活動： 分析解決問題，組織同學溝通、

17、爭論，再進行公式的應用；【設計意圖】 透過此題，培育同學嫻熟地選取恰當的公式進行求解；課堂練習之“你爭我搶”1. 求等差數列 1， 4， 7，的前 100 項的和老師活動： 引導同學認真審題，找出相關已知量，將已知和未知建立聯系，將舊知與新知結合解題，尋求解題最簡便的方法，投影同學解題過程并引導同學進行評判；同學活動： 溝通、爭論，選取最優(yōu)方法；課堂練習之“男女對抗”：1已知等差數列 an 中， a， d=1 ，就該數列前 9 項和 S9 等于（）A.55B.45C.35D.252已知等差數列 an 中,a2+a8=8, 就該數列前 9 項和 S9 等于A.18B.27C.36D.45老師活動

18、： 引導同學利用通項性質求和；同學活動： 運用通項性質“等差數列 an中，如 mnpq ，就 amana paq ”巧解變式；【設計意圖】 讓同學懂得前 n 項和公式的Sn 另一變形：再次對通項性質進行鞏固；精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 7 頁，共 8 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結 - - - - - - - - - - - -學習好資料歡迎下載六、布置作業(yè)1. 課本 P46 習題 2.3 ，第 1 題（ 1）（ 3）七、板書設計一、等差數列前n 項和：3.3 等差數列前 n 項和四、課堂練習Sna1a2an二、公式的推導方法一：分類爭論法方法二：倒序相加法三、深化公式公式 1、公式 2、變形：（主板書）（副板書）（幫助性板書）八、教學反思“等差數列前n 項和”的推導不只一種方法，本節(jié)課是通過介紹高斯的算法，探究這種方法如何推廣到一般等差數列的求和該方