第九章 期權(quán)定價(jià)

1、第九章期權(quán)定價(jià)2022-3-239.19.1期權(quán)價(jià)格的特性期權(quán)價(jià)格的特性 一、期權(quán)價(jià)格的構(gòu)成一、期權(quán)價(jià)格的構(gòu)成 期權(quán)價(jià)格等于期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值加上時(shí)間價(jià)值。 ，內(nèi)在價(jià)值 內(nèi)在價(jià)值是指期權(quán)持有者立即行使該期權(quán)合約所賦予的權(quán)利時(shí)所能獲得的總收益。 看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為maxS-X,0 看跌期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為maxX-S,02022-3-23按照有無(wú)內(nèi)在價(jià)值，期權(quán)可呈現(xiàn)三種狀態(tài)：實(shí)值期權(quán)、虛值期權(quán)和平價(jià)期權(quán)。把（SX）時(shí)的看漲(跌)期權(quán)稱為實(shí)值期權(quán)；把的看漲（跌）期權(quán)稱為平價(jià)期權(quán)；把S）時(shí)的看漲(跌)期權(quán)稱為虛值期權(quán)；2022-3-232，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值 期權(quán)的時(shí)間價(jià)值（Time Valu

2、e）是指在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)為期權(quán)持有者帶來(lái)收益的可能性所隱含的價(jià)值。顯然，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率越高，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值就越大。X時(shí)間價(jià)值圖9.1 看漲期權(quán)時(shí)間價(jià)值與|S-X|的關(guān)系到期日時(shí)間價(jià)值5 4 3 2 1 02022-3-233,3,期權(quán)價(jià)格與內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值間的關(guān)系期權(quán)價(jià)格與內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值間的關(guān)系 期權(quán)合約的價(jià)值是由期權(quán)價(jià)格決定的，即由內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值所決定。三者之間的關(guān)系如圖9-2所示。2022-3-23A T M期權(quán)費(fèi)變動(dòng)曲線O T MI T MXIVTVTVTV0標(biāo)的資產(chǎn)市價(jià)S期權(quán)費(fèi)圖9.2 看漲期權(quán)的期權(quán)費(fèi)、內(nèi)在價(jià)值、時(shí)間價(jià)值的關(guān)系2022-3-23二、期權(quán)價(jià)

3、格的影響因素二、期權(quán)價(jià)格的影響因素（一）標(biāo)的資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)格與期權(quán)的協(xié)議價(jià)格（一）標(biāo)的資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)格與期權(quán)的協(xié)議價(jià)格對(duì)于看漲期權(quán)而言，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格越高、協(xié)議價(jià)格越低，看漲期權(quán)的價(jià)格就越高。對(duì)于看跌期權(quán)而言，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格越低、協(xié)議價(jià)格越高，看跌期權(quán)的價(jià)格就越高。2022-3-23（二）期權(quán)的有效期（二）期權(quán)的有效期 對(duì)于美式期權(quán)而言，由于它可以在有效期內(nèi)任何時(shí)間執(zhí)行，有效期越長(zhǎng)，多頭獲利機(jī)會(huì)就越大，而且有效期長(zhǎng)的期權(quán)包含了有效期短的期權(quán)的所有執(zhí)行機(jī)會(huì)，因此有效期越長(zhǎng)，期權(quán)價(jià)格越高。 對(duì)于歐式期權(quán)而言，由于它只能在期末執(zhí)行，有效期長(zhǎng)的期權(quán)就不一定包含有效期短的期權(quán)的所有執(zhí)行機(jī)會(huì)。這就使歐式期權(quán)的

4、有效期與期權(quán)價(jià)格之間的關(guān)系顯得較為復(fù)雜。 2022-3-23 但在一般情況下（即剔除標(biāo)的資產(chǎn)支付大量收益這一特殊情況），由于有效期越長(zhǎng)，標(biāo)的資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)就越大，空頭虧損的風(fēng)險(xiǎn)也越大，因此即使是歐式期權(quán)，有效期越長(zhǎng)，其期權(quán)價(jià)格也越高，即期權(quán)的邊際時(shí)間價(jià)值（Marginal Time ValueMarginal Time Value）為正值。 我們應(yīng)注意到，隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，期權(quán)時(shí)間價(jià)值的增幅是遞減的。這就是期權(quán)的邊際時(shí)間價(jià)值遞減規(guī)律。 2022-3-23（三）標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率（三）標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率是用來(lái)衡量標(biāo)的資產(chǎn)未來(lái)價(jià)格變動(dòng)不確定性的指標(biāo)。由于期權(quán)多頭的最大虧損額僅限

5、于期權(quán)價(jià)格，而最大盈利額則取決于執(zhí)行期權(quán)時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格與協(xié)議價(jià)格的差額，因此波動(dòng)率越大，對(duì)期權(quán)多頭越有利，期權(quán)價(jià)格也應(yīng)越高。 在定價(jià)時(shí)，波動(dòng)性只能通過(guò)人們對(duì)未來(lái)的價(jià)格波動(dòng)程度的估計(jì)求得，主要有兩種方法：歷史波動(dòng)法和隱含波動(dòng)法。2022-3-23（四）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（四）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率從比較靜態(tài)的角度看。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率越高，看跌期權(quán)的價(jià)值越低；而看漲期權(quán)的價(jià)值則越高。 從動(dòng)態(tài)的角度看，當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率提高時(shí)，看漲期權(quán)價(jià)格下降，而看跌期權(quán)的價(jià)格卻上升。2022-3-23（五）標(biāo)的資產(chǎn)的收益（五）標(biāo)的資產(chǎn)的收益 由于標(biāo)的資產(chǎn)分紅付息等將減少標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，而協(xié)議價(jià)格并未進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整，因此在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)

6、生收益將使看漲期權(quán)價(jià)格下降，而使看跌期權(quán)價(jià)格上升。 2022-3-23期權(quán)價(jià)格的影響因素期權(quán)價(jià)格的影響因素 變量 歐式看漲 歐式看跌 美式看漲 美式看跌標(biāo)的資產(chǎn)的市價(jià) 期權(quán)協(xié)議價(jià)格 期權(quán)的有效期 ？ ？ 波動(dòng)率 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 ？ ？ ？ ？標(biāo)的資產(chǎn)的收益 注：互補(bǔ)關(guān)系：抵消關(guān)系；？：關(guān)系不明確。2022-3-23我們首先將本章后面所用到的符號(hào)及其含義開(kāi)列如下：X：期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格； T：期權(quán)的到期時(shí)刻；t：現(xiàn)在的時(shí)刻； S：標(biāo)的資產(chǎn)在t時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格；ST：標(biāo)的資產(chǎn)在T時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格；C：美式看漲期權(quán)的價(jià)格； c：歐式看漲期權(quán)的價(jià)格；P：美式看跌期權(quán)的價(jià)格； p：歐式看跌期權(quán)的價(jià)格；r：t到T期間的市

7、場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（連續(xù)復(fù)利）； 三、期權(quán)價(jià)格的上下限三、期權(quán)價(jià)格的上下限 :標(biāo)的股票價(jià)格的波動(dòng)率，一般用標(biāo)的股票連續(xù)復(fù)利收 益率的年標(biāo)準(zhǔn)差表示。 2022-3-23 （一）期權(quán)價(jià)格的上限（一）期權(quán)價(jià)格的上限 1, 看漲期權(quán)價(jià)格的上限 對(duì)于美式和歐式看漲期權(quán)來(lái)說(shuō)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格就是看漲期權(quán)價(jià)格的上限： 其中，c代表歐式看漲期權(quán)價(jià)格，C代表美式看漲期權(quán)價(jià)格，S代表標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格。（下同）SCSc,（9.1）2022-3-23 2,看跌期權(quán)價(jià)格的上限 美式看跌期權(quán)價(jià)格（P）的上限為X： 其中，r代表T時(shí)刻到期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，t代表現(xiàn)在時(shí)刻。XP （9.2）歐式看跌期權(quán)的上限為：)(tTrXep（9.3）202

8、2-3-23（二）期權(quán)價(jià)格的下限（二）期權(quán)價(jià)格的下限 1, 歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限 （1 1）無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期）無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限權(quán)價(jià)格的下限我們考慮如下兩個(gè)組合：)(tTrXe組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為 的現(xiàn)金組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)2022-3-23由于期權(quán)的價(jià)值一定為正，因此無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格下限為： ),max(XST在T時(shí)刻，組合A 的價(jià)值為： TTSXS),max( 由于 ，因此，在t時(shí)刻組合A的價(jià)值也應(yīng)大于等于組合B，即:SXectTr)()(tTrXeSc或組合B的價(jià)值為ST。 )0 ,max()(tTrXeSc（9.4）2022-3-23例題例

9、題 考慮一個(gè)不付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，此時(shí)股票價(jià)格為20元，執(zhí)行價(jià)格為18元，期權(quán)價(jià)格為3元，距離到期日還有1年，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率10%。問(wèn)此時(shí)市場(chǎng)存在套利機(jī)會(huì)嗎？如果存在，該如何套利？（2 2）有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限）有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限)0 ,max()(tTrXeDSc（9.5）)(tTrXeD 我們只要將上述組合A的現(xiàn)金改為 ，其中D為期權(quán)有效期內(nèi)資產(chǎn)收益的現(xiàn)值，并經(jīng)過(guò)類似的推導(dǎo)，就可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限為：2022-3-232, 歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限 （1 1）無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限）無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限 考慮以下兩種組合：

10、 組合C：一份歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn) 在T時(shí)刻，組合C的價(jià)值為：max（ST，X），組合D的價(jià)值為X 。)(tTrXe組合D：金額為 的現(xiàn)金 2022-3-23 由于組合C的價(jià)值在T時(shí)刻大于等于組合D，因此組合C的價(jià)值在t時(shí)刻也應(yīng)大于等于組合D，即：)(tTrXeSpSXeptTr)( 由于期權(quán)價(jià)值一定為正，因此無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格下限為：)0,max()(SXeptTr（9.6）2022-3-23（2 2）有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限）有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限)0,max()(SXeDptTr（9.7）)(tTrXeD 我們只要將上述組合D的現(xiàn)金改為 就可得到有收益

11、資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限為： 2022-3-23四、提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性四、提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性 （一）提前執(zhí)行無(wú)收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性（一）提前執(zhí)行無(wú)收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性 1, 看漲期權(quán) 由于現(xiàn)金會(huì)產(chǎn)生收益，而提前執(zhí)行看漲期權(quán)得到的標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)收益，再加上美式期權(quán)的時(shí)間價(jià)值總是為正的，因此我們可以直觀地判斷提前執(zhí)行無(wú)收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)是不明智的。 因此，C=c （9.8）2022-3-23 根據(jù)（9.4），我們可以得到無(wú)收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價(jià)格的下限： 0 ,max)(tTrXeSC（9.9）2022-3-23 是否提前執(zhí)行無(wú)收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)，主要取決于期權(quán)的實(shí)值額（

12、X-S）、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率水平等因素。一般來(lái)說(shuō)，只有當(dāng)S相對(duì)于X來(lái)說(shuō)較低，或者r較高時(shí)，提前執(zhí)行無(wú)收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)才可能是有利的。 美式看跌期權(quán)的下限為：SXP2,看跌期權(quán)2022-3-23（二）提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性（二）提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性 1,看漲期權(quán) 由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)可較早獲得標(biāo)的資產(chǎn)，從而獲得現(xiàn)金收益，而現(xiàn)金收益可以派生利息，因此在一定條件下，提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)有可能是合理的。 由于存在提前執(zhí)行更有利的可能性，有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)價(jià)值大于等于歐式看漲期權(quán)，其下限為：0,max)(tTrXeDScC2022-3-232,看跌期權(quán)

13、 由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)意味著自己放棄收益權(quán)，因此收益使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性變小，但還不能排除提前執(zhí)行的可能性。 由于美式看跌期權(quán)有提前執(zhí)行的可能性，因此其下限為：)0,max(SXDP2022-3-23 所謂看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系是指看漲期權(quán)的價(jià)格與看跌期權(quán)的價(jià)格，必須維持在無(wú)套利機(jī)會(huì)的均衡水平的價(jià)格關(guān)系上。如果這一關(guān)系被打破，則在這兩種價(jià)格之間，就存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì)，而套利者的套利行為又必將這種不正常的價(jià)格關(guān)系拉回到正常水平。下面我們?nèi)匀挥脽o(wú)套利均衡分析法來(lái)推導(dǎo)這一關(guān)系。五、看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系五、看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系 2022-3

14、-23（一）歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系（一）歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系 1，無(wú)收益資產(chǎn)的歐式期權(quán) n考慮如下兩個(gè)組合： 組合B：一份有效期和協(xié)議價(jià)格與看漲期權(quán)相同的歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn))(tTrXe組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為 的現(xiàn)金2022-3-23 在期權(quán)到期時(shí)，兩個(gè)組合的價(jià)值均為max(ST,X)。由于歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行，因此兩組合在時(shí)刻t必須具有相等的價(jià)值，即： 這就是無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系（Parity）。 如果式（9.10 ）不成立，則存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。套利活動(dòng)將最終促使式（ 9.10 ）成立。SpXectTr)(（9

15、.10）2022-3-23套利機(jī)會(huì)套利機(jī)會(huì) 市場(chǎng)情況市場(chǎng)情況：某投資者剛剛獲得如下股票歐式期權(quán)的報(bào)價(jià)，股票市場(chǎng)價(jià)格為31美元，3個(gè)月期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為10，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格都是30美元，3個(gè)月后到期。3個(gè)月期歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價(jià)格分別為3美元和2.25美元。策略策略： 1，購(gòu)買看漲期權(quán)；2，出售看跌期權(quán)；3，賣空一股股票。26.3230325. 01 . 0)(eXectTr25.333125. 2 Sp2022-3-23 結(jié)果：結(jié)果： 這個(gè)策略給出的初始現(xiàn)金流為：31.003.002.2530.25美元。將這筆資金按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資3個(gè)月，3個(gè)月末本息和為30.25e0.1

16、*0.25=31.02美元。在3個(gè)月末，有如下兩種可能： 1，如果股票價(jià)格大于30美元，該投資者執(zhí)行看漲期權(quán)。即按照30美元價(jià)格購(gòu)買一份股票，將空頭平倉(cāng)，則可獲利31.02301.02美元。 2，如果股票價(jià)格小于30美元，該投資者的對(duì)手執(zhí)行看跌期權(quán)。即按照30美元價(jià)格購(gòu)買一份股票，將空頭平倉(cāng)，則可獲利31.02301.02美元。2022-3-23練習(xí)：練習(xí)： 若同樣的市場(chǎng)條件，但3個(gè)月期歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價(jià)格分別為3美元和1美元。問(wèn)是否有套利的機(jī)會(huì)？若有，如何構(gòu)筑套利策略？并分析套利結(jié)果。2022-3-232.2.有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)SpXeDctTr)(（9.11）

17、)(tTrXeD 在標(biāo)的資產(chǎn)有收益的情況下，我們只要把前面的組合A中的現(xiàn)金改為 ，我們就可推導(dǎo)有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系：2022-3-23（二）美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的關(guān)系（二）美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的關(guān)系 1.1.無(wú)收益資產(chǎn)情形無(wú)收益資產(chǎn)情形)(tTrXeSPCXS2.2.有收益資產(chǎn)情形有收益資產(chǎn)情形()r T tS D X C P S D Xe 2022-3-239.2 9.2 期權(quán)的定價(jià)原理期權(quán)的定價(jià)原理一，一，Black-ScholesBlack-Scholes期權(quán)定價(jià)公式期權(quán)定價(jià)公式（一）（一） Black-ScholesBlack-Scholes模型的假設(shè)

18、條件模型的假設(shè)條件(1) 期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)是股票，其現(xiàn)行價(jià)格為S。這種資產(chǎn)可以被自由買賣；(2) 期權(quán)是歐式看漲期權(quán)，在期權(quán)有效期內(nèi)其標(biāo)的資產(chǎn)不存在現(xiàn)金股利的支付。其協(xié)定價(jià)格為X，期權(quán)期限為T(mén)（以年表示）；2022-3-23(3) 市場(chǎng)不存在交易成本和稅收，所有證券均完全可以分割；(4) 市場(chǎng)不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì)；(5) 市場(chǎng)提供了連續(xù)交易的機(jī)會(huì);(6) 存在著一個(gè)固定的、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的利率，投資者可以以此利率無(wú)限制地借入或貸出；(7) 期權(quán)的標(biāo)的股票的價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布。2022-3-23 這就是著名的Black-Scholes微分分程，它適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格S的所有衍

19、生證券的定價(jià)。 rfSfSSfrStf2222212022-3-23（二）（二）Black-ScholesBlack-Scholes歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式)()d(2)(1dNXeSNctTrtTdtTtTrXSdtTtTrXSd12221)(2/()/ln()(2/()/ln(2022-3-23 由歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系，我們很容易推算出具有相同標(biāo)的資產(chǎn)、相同到期日和相同執(zhí)行價(jià)格的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格。 ()()()2()2()2()K()-S+= ()-1+K1- ()=K(-)-(-)r T tr T tr T t1r T t1r T t1pcSKeSN deN

20、 dKeS N deN deNdSNd2022-3-23例例9.1 考慮一種期權(quán)，有效期為6個(gè)月，股票價(jià)格為42美元，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為40美元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為10，波動(dòng)率為每年20。即S=42，X40，5 . 0,20. 0,10. 0tTr6278. 05 . 02 . 05 . 0)2/2 . 01 . 0()40/42ln(7693. 05 . 02 . 05 . 0)2/2 . 01 . 0()40/42ln(2221dd2022-3-23并且049.38405 . 01 . 0)(eXetTr因此，若該期權(quán)為歐式看漲期權(quán)，它的價(jià)格為：)6278. 0(049.38)7693. 0(4

21、2)()d(2)(1NNdNXeSNctTr又因?yàn)?N（0.7693）0.7791， N（0.6278）=0.7349所以 c=4.762022-3-23二、波動(dòng)率的確定方法二、波動(dòng)率的確定方法 例例9.2 假設(shè)一只股票當(dāng)前的價(jià)格為30元，6個(gè)月期國(guó)債的年利率為3，一投資者購(gòu)買一份執(zhí)行價(jià)格為35元的6個(gè)月后到期的看漲期權(quán)，假設(shè)在6個(gè)月內(nèi)股票不派發(fā)紅利。 問(wèn)題：他要支付多少期權(quán)費(fèi)？由題設(shè)知：S=30，X35，周個(gè)月256,03. 0tTr但還需要知道一個(gè)無(wú)法直接得到的變量：波動(dòng)率2022-3-23解題步驟：（1）波動(dòng)率 的計(jì)算方法一：從股票的歷史交易數(shù)據(jù)中計(jì)算波動(dòng)率 。 假設(shè)在過(guò)去n周里的第t周

22、股票收盤(pán)價(jià)為St，第t-1周的收盤(pán)價(jià)為St1，則第t周的股票復(fù)利收益率為)/ln(1tttSSr那么，周收益率的標(biāo)準(zhǔn)差可用下面的公式計(jì)算ntnrrnnt1)(12 其中： 表示這n周里的股票收益率的均值。上式得到了周收益率的標(biāo)準(zhǔn)差作為周波動(dòng)率 的估計(jì)值。由歷史的股價(jià)數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)算得到此股票的周波動(dòng)率為0.045。nttrnr1)/1 (2022-3-23我們?nèi)50周，即1年的交易周數(shù)，可得年波動(dòng)率318. 050045. 0或：每年的交易日數(shù)波動(dòng)率每年波動(dòng)率每交易日 方法二：把實(shí)際的市場(chǎng)期權(quán)價(jià)格代入BS公式而計(jì)算出的波動(dòng)率即隱含波動(dòng)率。交易員通常從交易活躍的期權(quán)中計(jì)算隱含波動(dòng)率，然后利用計(jì)算出

23、的隱含波動(dòng)率來(lái)估算基于同樣股票的不太活躍的期權(quán)的價(jià)格。更常見(jiàn)的是，可以同時(shí)得到基于同樣股票的幾種不同期權(quán)的幾個(gè)隱含波動(dòng)率，然后對(duì)這些隱含波動(dòng)率進(jìn)行恰當(dāng)?shù)募訖?quán)平均就可以計(jì)算出該股票的綜合隱含波動(dòng)率。2022-3-23 投資者可以通過(guò)對(duì)比當(dāng)前市場(chǎng)的波動(dòng)率與期權(quán)的隱含波動(dòng)率的大小來(lái)進(jìn)行期權(quán)交易。如果認(rèn)為實(shí)際的市場(chǎng)波動(dòng)率高于隱含波動(dòng)率，那么當(dāng)前的期權(quán)價(jià)格被低估了，可以買進(jìn)期權(quán)。反之可以賣出期權(quán)。（2）計(jì)算N（d1）和 N(d2)先計(jì)算：731. 05 . 0318. 0506. 0506. 05 . 0318. 05 . 0)2/318. 003. 0()35/30ln(00)(2/()/ln(122

24、21tTddtTtTrXSd2022-3-23然后查正態(tài)分布累積概率表，得到2877. 0)506. 0()(1 NdN和2327. 0)731. 0()(2 NdN（3）計(jì)算期權(quán)價(jià)格C608. 02327. 0352877. 030)()d(5 . 003. 02)(1edNXeSNctTr2022-3-23三、三、B-SB-S公式的基本推廣公式的基本推廣（一）有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價(jià)公式（一）有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價(jià)公式 （9.6）式是針對(duì)無(wú)收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的，對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)在期權(quán)到期日之前產(chǎn)生收益的情況，我們下面分兩種情況給予簡(jiǎn)單分析。 2022-3-231 1，標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生已知收益的情況

25、，標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生已知收益的情況 假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)將在時(shí)刻 產(chǎn)生已知現(xiàn)值為I的收益，且 。這時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值可分解為兩個(gè)部分：發(fā)生在 時(shí)刻的已知收益的現(xiàn)值部分和產(chǎn)生收益后到T時(shí)刻時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值的現(xiàn)值部分。其中后一部分是有風(fēng)險(xiǎn)的，記為 于是我們可以直接利用（9.6）式來(lái)定價(jià)了，只要用來(lái)代替S即可， 1t1ttT1tYSI()-r(T-t)12cSI N(d )-KeN(d )2121ln()/K)(/2)()SIrTtdddTtTt，2022-3-232 2，標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生已知收益率的情況標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生已知收益率的情況 我們假定在任何時(shí)間段dt，標(biāo)的資產(chǎn)都產(chǎn)生收益qSdt，這等價(jià)于在每一刻都將剩余股票價(jià)

26、值的比例為qdt的部分分走。以連續(xù)復(fù)利計(jì)算，意味著在期權(quán)到期日，還剩下原來(lái)資產(chǎn)價(jià)值的 。所以，在現(xiàn)在時(shí)刻t，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值由兩部分組成：比例為 的部分作為收益在到期日T之前發(fā)放，剩下比例為 的部分是一單位標(biāo)的資產(chǎn)在到期日T的價(jià)值的現(xiàn)值。 -q(T-t)e1-q(T-t)e-q(T-t)e2022-3-23()22121ln(/ ) (/2)()ln( / ) (/2)()q T tSeXrT tS Xr qT tdT tT tddT t ()()12(d )()q T tr T tCSeNXeN d 我們可用 來(lái)代替S，得到Black-Scholes偏微分方程的解 -q(T-t)YSe2022

27、-3-23 （二）期貨看漲期權(quán)的定價(jià)公式（二）期貨看漲期權(quán)的定價(jià)公式 如果標(biāo)的資產(chǎn)為各種期貨合約的話，上述期權(quán)定價(jià)公式必須做相應(yīng)修正，因?yàn)楝F(xiàn)貨期權(quán)與期貨期權(quán)有著不同的交易規(guī)則。 為此，我們?cè)O(shè)F為期貨價(jià)格， 表示期貨價(jià)格的波動(dòng)率，其他符號(hào)與上述相同，則只要期貨價(jià)格和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格一樣遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)的話，就有 -r(T-t)12cFN(d )-KN(d ) e2121ln()(/2)()F/KTtdddTtTt，2022-3-23 （三）美式期權(quán)價(jià)格的近似解（三）美式期權(quán)價(jià)格的近似解 假定標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)刻t1有收益，這里tt1T。美式看漲期權(quán)的多頭要么在臨近時(shí)刻t1執(zhí)行期權(quán)，要么在到期日時(shí)刻T執(zhí)行期

28、權(quán)。因此，這個(gè)美式看漲期權(quán)的價(jià)值可以近似地看作兩個(gè)歐式看漲期權(quán)中較大的那一個(gè)。這兩個(gè)歐式看漲期權(quán)是 1）時(shí)刻t1到期的歐式看漲期權(quán)，標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)收益； 2）時(shí)刻T到期的歐式看漲期權(quán)，標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)刻t1產(chǎn)生現(xiàn)值為I的收益 2022-3-239.3 9.3 期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法二叉樹(shù)定價(jià)法二叉樹(shù)定價(jià)法 在很多情形中，我們無(wú)法得到期權(quán)價(jià)格的解析解，這時(shí)，人們經(jīng)常采用數(shù)值方法為期權(quán)定價(jià)，其中包括二叉樹(shù)方法、蒙特卡羅模擬和有限差分方法。蒙特卡羅方法的實(shí)質(zhì)是模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，預(yù)測(cè)期權(quán)的平均回報(bào)，并由此得到期權(quán)價(jià)格的一個(gè)概率解。有限差分方法將標(biāo)的變量滿足的偏微分方程轉(zhuǎn)

29、化成差分方程來(lái)求解，具體的方法包括隱性有限差分法、顯性有限差分法等。2022-3-23一、單步二叉樹(shù)定價(jià)法一、單步二叉樹(shù)定價(jià)法 （一）一個(gè)簡(jiǎn)單案例 例例9.3 假設(shè)某只股票當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格為20元。投資者預(yù)期3個(gè)月后股價(jià)有可能是22元，也有可能是18元。再假設(shè)該股票不分紅利且無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%。投資者打算對(duì)3個(gè)月后以21元執(zhí)行價(jià)格買入股票的歐式看漲期權(quán)進(jìn)行估值。 我們知道，若到期時(shí)股票價(jià)格為22元，期權(quán)的價(jià)值為1元；若股票價(jià)格為18元，期權(quán)的價(jià)值將是0。如圖9.3所示2022-3-23圖9.3 股票價(jià)格與期權(quán)價(jià)格變動(dòng)示意圖 182022C10 在無(wú)套利假設(shè)下，二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)法的基本思路是：首先，

30、以某種方式構(gòu)造一個(gè)只包含股票和期權(quán)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合；其次，根據(jù)到期日的股票和期權(quán)價(jià)格得出組合的價(jià)值；再次，利用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的收益率只能是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，得出構(gòu)造該組合的初始成本，于是得出該期權(quán)的價(jià)格。 2022-3-23 我們首先假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合里包含一個(gè) 股股票多頭頭寸和一單位看漲期權(quán)的空頭頭寸。 根據(jù)假設(shè)，3個(gè)月后市場(chǎng)只會(huì)出現(xiàn)兩種可能結(jié)果：股票價(jià)格要么上升到22元要么下降到18元。如果股票價(jià)格上升到22元，期權(quán)的價(jià)值為1元，則組合的總價(jià)值為 ；如果股票價(jià)格下降到18元，期權(quán)的價(jià)值為0， 則組合的總價(jià)值為 。因?yàn)榻M合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合，到期日的價(jià)值是確定的。這意味著 2211822118 0.2

31、5 即2022-3-23 因此，0.25股股票多頭和一單位看漲期權(quán)空頭就組成一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的證券組合。在期權(quán)到期日，組合的價(jià)值總是 =4.5元。根據(jù)無(wú)套利均衡原理， 由于當(dāng)前的股價(jià)已知為20元，假設(shè)期權(quán)的價(jià)格為，則該組合當(dāng)前的價(jià)值為 22 0.25 10.1 0.254.5e4.3920 0.255cc54.39c0.61c 2022-3-23n（二）一般結(jié)論n設(shè)看漲期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)行價(jià)格為S，在期權(quán)到期日，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格要么上漲至現(xiàn)價(jià)的u倍，要么下跌至現(xiàn)價(jià)的d倍。這里u1、d1，如圖9.4所示。uCdC 再設(shè)當(dāng)前歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為C、執(zhí)行價(jià)格為X，在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的上述兩種變化下，其價(jià)值分別為

32、 、 。如圖9.9.5所示。2022-3-23SuSdS圖9.4 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng) CuCdC圖9.5 單期看漲期權(quán)的價(jià)值變動(dòng) 顯然0,maxXuSCu0,maxXdSCd2022-3-23為確定唯一的未知量C，我們構(gòu)造如下的一個(gè)投資組合：（a）以價(jià)格C賣出一份看漲期權(quán)；（b）買入h份標(biāo)的資產(chǎn)。其中h為套期保值比率，其大小是要保證該投資組合成為一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的投資組合。也就是說(shuō)，不管市場(chǎng)如何變化，該投資組合在到期日是的價(jià)值是確定的。 建立組合的初始成本是購(gòu)買股票的成本hS減去賣出期權(quán)收到的期權(quán)費(fèi)，即 。而標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上漲時(shí)，該投資組合的最終價(jià)值為 ；當(dāng)價(jià)格下跌時(shí)，該投資組合的最終價(jià)值為 。ChSu

33、ChuS dChdS 2022-3-23因?yàn)樵撏顿Y組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資組合。從而有： duChdSChuS即 （9.12） SduCCdSuSCChdudu)( 如果期權(quán)的有效期限里的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r，則以該組合的當(dāng)前價(jià)值 進(jìn)行無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資到期權(quán)到期日的收益應(yīng)和該投資組合的最終價(jià)值相等，即有 ChS uChuSChSr)(1 (2022-3-23從而rCurhSCu1)1 (再將h代入，得 （9.13） rCppCCdu1)1 (其中 （9.14）dudrp1 在市場(chǎng)無(wú)套利機(jī)會(huì)存在的前提下，一定有d1+ru，從而 。另外，還可以看出， 只與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的上漲或下跌幅度有關(guān)，而與某一時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的大

34、小無(wú)關(guān)。 10 pp2022-3-23 例例9.49.4 接著例9.3（如圖9.3所示），已知u=1.1，d=0.9，r=0.1，T-t=0.25，Cu=1，Cd =0。由（9.14）式，我們得出 0.1 0.250.90.6271.1 0.9ep由（9.13）式，我們得出 0.1 0.250.627 1 (1 0.627) 00.61ce 2022-3-23（三）風(fēng)險(xiǎn)中性概率 如果我們將（9.14）式中的p解釋為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升的概率，于是1-p就是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下降的概率，則標(biāo)的資產(chǎn)在T時(shí)刻的預(yù)期值由下式給出 ()(1)TE SpuSp dS()()TE Sp ud SdS再將（9.14）式

35、中的p代入上式，化簡(jiǎn)得 ()()r T tTE SSe2022-3-23 （9.14）式的p就是的風(fēng)險(xiǎn)中性概率，而（9.13）式可以表述為：在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里，期權(quán)的價(jià)值就是其未來(lái)預(yù)期值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的值。根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)，風(fēng)險(xiǎn)中性世界里的無(wú)套利均衡價(jià)格也是真實(shí)世界里的均衡價(jià)格。因而，上述的二叉樹(shù)定價(jià)法就等價(jià)于風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法。 在二叉樹(shù)定價(jià)中也沒(méi)有用到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升和下降的概率。當(dāng)然，這并不意味期權(quán)定價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升和下降的概率無(wú)關(guān)，事實(shí)上，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格未來(lái)上升和下降的概率已經(jīng)包含在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格中了。 2022-3-23 我們可以把一年分成4個(gè)3個(gè)月、或者12個(gè)1個(gè)月，或者365天每一個(gè)

36、時(shí)點(diǎn)上都對(duì)應(yīng)一個(gè)單步二叉樹(shù)，然后做和單步二叉樹(shù)定價(jià)法相同的工作：建立不同的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合或利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法求不同狀態(tài)下期權(quán)的收益，再?gòu)淖罱K的結(jié)點(diǎn)一步一步逆推，最后計(jì)算出初始狀態(tài)下期權(quán)的價(jià)格。 二、多步二叉樹(shù)定價(jià)法二、多步二叉樹(shù)定價(jià)法2022-3-23 我們先將二叉樹(shù)從單步推廣到兩步，然后再推廣到多步情形。 設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)價(jià)為S，每一期間均可能上漲至原來(lái)的u倍，或下跌至原來(lái)的d倍。這樣，在期權(quán)的有效期限內(nèi)，看漲期限的價(jià)值及其變動(dòng)如圖9.6所示： （一）兩步二叉樹(shù)定價(jià)法2022-3-23SuSdSu2SudSd2S圖9.6 兩步二叉樹(shù)中的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與期權(quán)價(jià)格變動(dòng) CuCdC2dCudC2uC2

37、022-3-23由圖很容易得到： 0,max22KSuCu0,maxKudSCud0,max22KSdCd 我們將期權(quán)到期時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的三種可能價(jià)位與看漲期權(quán)的三種可能價(jià)值對(duì)應(yīng)起來(lái)，由前面同樣的方法，可以求出： truduueCppCC)1 (2trduddeCppCC2)1 (2022-3-23在求出Cu和Cd之后，我們可用相同的方法求出C，即 （9.15） trdudueCpCppCpc22222)1 ()1 (2這就是兩步二叉樹(shù)定價(jià)公式。 例例9.59.5 假設(shè)一只不分紅股票，其當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格為20元，在二叉樹(shù)中的任一步之間，股價(jià)要么上漲10%要么下跌10%。我們假設(shè)二叉樹(shù)中每一步的時(shí)

38、間長(zhǎng)度為3個(gè)月，市場(chǎng)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%?，F(xiàn)在我們對(duì)執(zhí)行價(jià)格為21元的歐式看漲期權(quán)估值。 2022-3-23圖9.7 標(biāo)的股票價(jià)格與期權(quán)價(jià)格變動(dòng)示意圖 20221824.219.816.2CuCdC3.20.00.02022-3-23 由題設(shè)知，u=1.1，d=0.9，r=0.1， 由（9.14）式，我們得出 0.25t 23.2uC0.0udC20.0dC0.1 0.250.90.6271.1 0.9ep10.373p 將上述所有參數(shù)代入（9.15）式，可得執(zhí)行價(jià)格為21元的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為 222 0.1 0.250.6273.22 0.627 0.373 0.00.3730.01.20ce 元2022-3-23 按同樣的方法，我們可以把兩期的二叉樹(shù)模型擴(kuò)展到多期的情況。隨著期數(shù)的增加，股價(jià)變化的可能范圍越來(lái)越大，越來(lái)越接近于實(shí)際情況，所以二叉樹(shù)模型的準(zhǔn)確性也越來(lái)越高。若將期權(quán)的到期期限分割成n個(gè)小期間，則結(jié)果為（二）多步二叉樹(shù)定價(jià)法（二）多步二叉樹(shù)定價(jià)法 0!(1)!()